六年级上册《数学广角数与形》
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六年级上册《数学广角数与形》
六年级上册《数学广角──数与形》
【教材分析】 数形结
合是一种非常重要的数学思想， 把数和形结合起来解决问题，
可以
使复杂的问题变得更简单， 使抽象的问题变得更直观。
数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见。
有些情况下，
是图形中隐含着数的规律， 可利用数的规律来解
决图形的问题。
本单元的例 1
以及相关练习就属于这种情况。
例如， 第 109 页第 2 题（如下图） ，
使学生通过观察，发
现第 2 个图比第 1 个图增加 2 个小圆， 第 3 个图比第 2
个图增
加 3 个小圆， 第4 个图比第 3 个图增加 4 个小圆这样依次下去，
各个图形中的小圆个数分别是 1， 3， 6， 10， ， 即 1， 1+2， 1+2+3，
1+2+3+4， 如果是第 个图， 小圆的个数是 。
等学生将来学习了等差数列的有关知识， 就知道第个图形中小
圆的个数是 。
而有些情况下，
是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数
学原理与事实，让人一目了然。
尤其是对于小学生， 其思维的抽象程度还不够高， 经常需要借
助直观模型来帮助理解。
例如， 利用长方形模型来教学分数乘法的算理， 利用线段图来
帮助学生理解分数除法的算理，
利用面积模型来解释两位数乘两位
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数的算理、 乘法分配律、 完全平方公式等。
还有的时候， 数与形密不可分， 可用数 来解决形 的问
题， 也可用形来解决数 的问题。
例如， 解析几何中， 函数图象与方程、 方程组互为工具，互
为解释，
有机融合。
小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的
思想。
本单元教材以
为例，引导学生认识利用数和形的结合解决一些有趣的数学问题。
一、
与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》 ，
下同）
的主要区别新教材把《义务教育课程标准实验教科书数学六
年级》
上册的鸡兔同笼问题移至四年级下册， 新编数形结合 的内
容。
本册的数学广角，
编排了一个新的内容──数与形。
二、 教材例题分析例 1：
连续奇数的等差数列之和等于某平方数。
本例让学生计算从 1 开始的连续若干奇数之和。
在计算时， 即使不借助图形，也可以通过，，发现规律：
从 1 开始，
连续 个奇数之和， 就是 的平方。
但把图形与算式对应起来， 更具直观性，
更能让学生体会到数
学之美。
图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的正方形，
第 个图
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形中， 大正方形的每行、 每列都有 个小正方形， 因此，
小正方
形的总数是）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角， 每个┓
形的小正方形的个数分别是 1， 3， 5， 7， ) 。
每个图中都隐藏
着一个等式， 如第 个图中的等式就是。
从图形的角度直观理解正方形数 或平方数
的特点， 显然， 使
学生通过数与形的对照， 利用图形直观形象的特点得到关于数的规
律。
【课标解读】 一、 课标要求 《义务教育数学课程标准（2019
年版）
》 在学段目标 的第二学段 中提出：
初步形成数感和空间观念，
感受符号和几何直观的作用 在观
察、 实验、 猜想、 验证等活动中， 发展合情推理能力，
能进行
有条理的思考， 能比较清楚地表达自己的思考过程与结果
在运用数
学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值 。
《义务教育数学课程标准（2019 年版） 》 在课程内容 的
第二学段中提出：
探索给定情境中隐含的规律或变化趋势 。
二、 课标解读 基于上述内容和要求，
教师在实际教学时需注
意以下方面问题：
（一） 引导学生自主探索规律、
应用规律， 培养学生合作
交流、 抽象概括能力 形 的问题中包含着数 的规律， 数
的问
题也可以用形 来帮助解决。
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教师教学时， 通过学生的自主探究、 合作交流，
既要让学生
充分利用图形的直观、 形象特点， 用图形来表示数的规律性，
感
受化数为形的简捷性； 同时，又要让学生寻找图形中所包含的数的
规律，
用数（或代数式） 来表示图形， 建立模式， 感受用数或者
代数式表示的概括性。
总之， 要让学生在解决问题的过程体会到数与形的完美结合，
并逐步培养学生的抽象概括能力。
（二） 引导学生从多角度探索数与形的通用模式， 培养学生
的数学思想
小学阶段， 虽然不要求写出一个数列的通项公式，
但可以通过数形结合的方式， 利用图形的规律，
从不同角度用自己
的语言描述出数列的通用表达式， 进而达到渗透数形结合、
抽象概
括等数学思想的教学目的。
【重难点突破】 一、
自主探索图形中隐藏着的数的规律， 会
利用图形来解决一些有关数的问题，
并学会应用所发现的规律突破
建议：
1． 引导学生数形结合，
从不同角度寻找规律。
形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，
教学时， 要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。
既可以从数的角度出发， 让学生看看可以怎样用图形来表示数
的规律，
也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。
通过数与形的对应关系，互相印证结果，
感受数学的魅力。
例如， 教学例 1 时， 可从形引入， 先让学生说一说三幅图中
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分别有多少个小正方形？ 你是怎么发现的？ 通过学生的讨论， 学
生容易得出小正方形数为
12， 22， 32， 的结论； 也可以使学生
看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成 1，
1+3， 1+3+5， 的
结论。
也可以从数引入， 让学生通过计算， 发现
1+3=4， 1+3+5=9，
有的学生可能很快发现 4=22， 9=32，
此时老师可以引导学生用正
方形来表示这些算式， 使学生通过数与形的比照，
看到这些连续的
奇数在图形中的什么地方， 平方数代表的又是图形中的什么。
从而对规律形成更为直观的认识。
2． 充分发挥教师的指导作用，
让学生感受用形来解决数的有
关问题的直观性与简捷性。
例 2 中， 无限
的概念非常抽象， 学生不易理解。
因此， 在教学过程中，
教师要积极发挥自身的主导作用， 帮
助学生深刻理解。
比如说，
教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，
让学生根据分数的意义表示出这些加数，
使学生直观地看到最终的
结果是1 。
从而进一步感受到化数为形的直观、 形象、
简捷特点。
当然， 如果学生还是有困难，
教师也可以通过反推的方法帮助
学生理解。
二、 体会和掌握数形结合、
归纳推理、 极限等基本数学思想
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突破建议：
1． 在学生经历发现模式、
应用模式的过程中渗透数形结合、 归
纳推理等数学思想。
本单元教学通过数与形的比照， 引导学生从不同角度探索规律。
例如，通过观察与计算
1， 1+3， 1+3+5， 1+3+5+7， 既能发
现加数的规律， 又能发现和的规律。
在发现规律的基础上， 通过推理， 逐步抽象， 形成模式，
再
引导学生把规律应用于一般的情形， 解决问题。
显然， 这样的一个教学过程，
既是学生自主探究获取知识的过
程， 更是有机渗透数学思想方法的过程，
使学生在潜移默化的过程
体会与领悟推理和数形结合的思想。
2．
在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的数学经验， 培
养基本的数学思想。
例如， 在例 2 教学中， 让学生通过计算， 发现和越来越趋向
于 1， 感受什么叫无限接近
。
虽然无法一一穷举所得的结果， 但可以利用观察到的规律进行
无穷无尽 类推，
使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。