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小学数学教材的整合与拓展
-----约数与倍数一单元教学实践
一、对新教材的一些编排特点认识：
新教材板块多， 注重培养和发展学生多方面的能力，但因为板块多而带来的
知识点零碎，也确实削弱了学生的计算等基本 技能训练。教材的编排分散了学生
学习的难点，把各个知识点分布在各个年级进行教学，渗透，让教师们 普遍有新
教材碎、零散的感觉。每册教材安排的单元多，涉及面广，有的容量大，但也有
个别单 元只有2、3课时，学生刚刚学了一些知识，还没深入进去，又要出来再
学习另一个单元。到下一次再学 到这个内容，有的学生已经淡忘，每次学起需要
教师花费除计划课时之外的一定时间对过去内容进行复习 ，这对知识的系统性、
完整性，似乎有些欠缺。对于一些学习基础不太好的学生学习起来相对比较吃力，
如“统计和可能性”、“观察物体”、“认位置”等，在一、二、三、四年级中
多次出现，但是 层次不够清楚明显，很多时候都是在同一个层面上知识的重复，
建议将某些知识点合并重组相对集中在某 一个或两个年级教学，这样既节省了时
间又有利于知识建构的系统性和完整性。
二、对“倍数和因数”单元教材编排的一些想法（一 ）
“倍数和因数”这一内容原来是四年级的教学 内容，现在新教材将其放入
五年级上学期进行教学，从内容呈现形式和知识点的难度的把握，都以原先的 基
础上作出相应的调整。我感到这样的调整将原有重要给删了（如合数的分解质因
数、互质数等 ），将基础的内容难度降低，将一些技能只停留在低级状态（如找
最大公因数和最小公倍数）。
第一、片面的看待操作。“认识倍数和因数”不是从原先整除概念入手，利
用整除认识 倍数和因数。而现在通过学生的操作，利用整数乘法认识倍数和因数。
我觉得这样的改变只是形式上的花 哨，并没有实质的意义，从教材来看，学生是
通过铺长方形列出了三个乘法算式，从这三个乘法算式中， 认识了倍数和因数。
我觉得本课的教学目标是让学生自主的探究倍数和因数，而这一探究是建立在三个乘法算式上的。让我们看看教材吧，先学生铺长方形，其是学生对用12个小
正方形铺长方形是很 熟悉的。还用得着这样的操作吗？还不如直接给学生写三个
乘积是12的乘法算式好了，让学生看着这一 乘法算式来理解倍数和因数。我认

为不是任何操作都是有探究意义的，要看学生能从这一 操作中发现些什么？发现
的东西是否是学生认知的直接质材呢？而这儿安排学生操作完全没必要，可以直
接给学生几个算式即可，若能这样，还不如以前的从整除概念入手为好。
第二、练习设计单一。
我们再来看2、3、5的倍数吧，我觉得这里安排学生在百数表中画一 画、比
一比从中发现2、3、5的倍数的特征，这样的编排很好地发挥的学生探究意识和
探究能 力。但我觉得教材的编排没有注意到学生学“2、3、5的倍数的特征”是
为了什么？从后面的练习来看 ，基本上只有一种类型，即哪些数是2的倍数？哪
些数是3的倍数？哪些数是5的倍数？即使有些变化， 也就是哪些数是2的倍数
又是3的倍数？或填填方格。这种类似的练习对学生今后的学习有多少用呢？就
从学后面的质数和合数来看，学生能很好地理解对质数和合数的意义。我觉得应
该很好地利用“ 2、3、5的倍数的特征”来寻找一个数的因数，从而更快地、更
准地判断一个数是质数还是合数。但教 材的在编排“2、3、5的倍数”时提到过
因数了吗？我觉得在后面练习中最缺少“哪些数里面有因数2 或3或5”的这种
训练，而这种练习正是找因数的最快的方法。同时也为以后学习数的约分打基础。而教材给忽视啦！
第三、缺少对合数分解质因数。
教材为什么没有安排合数的分解质因 数呢？从这一点上，让我看到新教材的
编排，还只停留在学生最基本的知识点上，并没有把知识进一点升 华。求最大公
因数和最小公倍数，开始认识最大公因数和最小公倍数，当然需要找两个数因数
或 倍数的方法来发现两个数相同的因数和相同的倍数，从中发现最大的公因数和
最小的公倍数。但之以后， 我们应该将此加以训练，而不是让学生用最原始的办
法来解决找最大公因数和最小公倍数。而这样的后果 直接影响到了学生学习分数
的约分、通分，直接影响到学生分数的加减法。而要改变这一现状的话，我觉 得
需要加入合数的分解质因数的内容，让学生学会用短除法来分解质因数。
第四．教学内容无 需分块。其实教材分块的想法我们都很清楚，让学生先了
解些，慢慢地进行升华，为后继学习打下基础。 但这样分块后，把原本一个比较
系统的知识块分成两部分，学生在学习最大公因数和最小倍数之前，在学 习其他
知识时根本就用不上倍数和因数的知识，所以再轮到学最大公因数和最小倍数

时，早已将这些重要概念给忘了，这时就需教师给学生大“补”啦！帮助学生回
忆起以前的内容来， 花了时间又花了精力，不值。
三、需补充的知识点：
1、整除的概念。
长期以来 ，作为数论的基础性知识，“约数与倍数”一直是小学数学教材中
的重要内容。人们一直把数学誉为“科 学的皇后”，而把数论称作“数学的皇后”，
可见其在数学中的地位。因此，在小学阶段学习“约数和倍 数”这一数论初步知
识，不仅为分数运算和其他后续知识提供必要的工具，更重要的是让学生经历“数< br>学地思维”的过程，提高抽象思维能力。
2、分解质因数
分解质因数在中小学数学知识体系中的地位问题
目前，各套实验教材都没有将分解质因数作为 正式教学内容，相应地，求
两个数的最大公因数、最小公倍数也就不以分解质因数为基础，但是，各套教 材
又都根据《标准》的要求编排了质数和合数的认识。从概念间的前后联系看，要
学习分解质因 数，首先要了解质数和合数的概念，而认识质数和合数，其直接目
的也是为了分解质因数。如果不教学分 解质因数，在教材中安排质数、合数的认
识，意义何在？难道仅仅是为了对这两个概念有所了解？保留质 数、合数而删去
分解质因数，显然是忽略了它们之间的逻辑联系。
事实上，即使不考 虑分解质因数在数论中的重要作用，而仅仅考虑其在中
小学数学中的实用性，分解质因数对于分数运算乃 至因式运算的作用也是非常显
著的。
分解质因数的直接目标是为求最大公因数和最小公倍数提 供方法，而求最
大公因数和最小公倍数的直接目标又是为分数运算提供方法并使运算简便快捷。
不仅如此，小学数学中利用分解质因数进行分数运算的原理和方法还可
以直接推广到中学数 学中的分式计算，其基本方法也是把分式中的分母先进行因
式分解，再取它们的最小公倍式作为公分母， 如果公分母取的不是最小公倍式而
是其他公倍式，其计算程度的复杂将会大大增加。
除此之外，分解质因数的技能和原理在中学数学中的其他相关内容中也有着
直接或间接的应用。例如，整 式的因式分解是把一个多项式分解成若干单项式的

乘积，并且这些单项式不可再分解，其 原理类似于整数的分解质因数。而因式分
解又是解决多次方程的基础，如要解决x
2
- 2x-3=0，最为一般的方法就是利用因
式分解法将其转化成（x+1）(x-3)=0。从这个意义 上讲，分解质因数的原理对后
续学习的影响非常深远。
由此可见，在小学阶段编排因数和倍 数的有关内容，其直接的功能是为分数
运算提供必要的工具，但更重要的是，它提供了一种基本的数学思 想和方法，为
学生的后续学习奠定了坚实的基础。如果我们认识不到某一知识在整个数学知识
网 络中的地位，或者只看到其在小学阶段知识链中的位置，将是十分遗憾的。就
像数学知识结构中概念之间 的环环相扣一样，对学生数学知识、能力、思维等各
方面的培养也是环环相扣，一旦其中一环脱节，学生 数学发展的链条将会断裂。
短除法
对求最大公因数最小公倍数的作用
五年级教材 中，对用短除法求两数的最大公因数和最小公倍数没有作全体
要求，只要学生了解即可，然而，我觉得在 教学中有必要对此进行学习,并多次
练习加以巩固。首先，学生在用列举法找两个数的公因数或公倍数时 ，容易遗漏，
所写的数也比较多，书写麻烦。这对于学生找最大公因数和最小公倍数不利。其
次 ，教材中要求学生掌握的方法具有明显的局限性，遇到大的数怎么办？所以，
我也讲解了短除法——把对 短除法的教学要求从了解提高到人人掌握的程度。求
最大公因数时已经介绍短除法，这节课要求人人掌握 。补充内容选自老教材数学
第十册。学生掌握了短除法，找两个数的最大公因数和最小公倍数的正确率明 显
提高——很欣慰我的补充是正确的，审视课堂，也没发现给学生增加什么负担，
学生完全可以 接受。
互质数的一些知识。
（1）1和任意一个自然数都是互质数。
（2）两个相邻的自然数是互质数。
（3）两个不相同的质数也是互质数。
（4）其它的情况就要我们进行一些必要的计算来判断了。
最大公因数最小公倍数书写方法
所以，针对以上的教材内容的理解，我就将教学内容作了一些改动，

探索之一：从线性呈现走向板块探究
“学习素材要为学生留有足够的探索和交 流的空间，以有利于改变学生的学习
方式。问题的设置要具有启发性，问题的呈现要有利于展开观察、实 验、操作、
推理交流等活动。”为了使绝大多数学生能较好地掌握知识，大面积地提高教学
质量 ，现行教材将每个知识点分得较细，采用线性呈现、逐步引领的方式进行编
排。但我们认为这样的设置没 能给学生留下足够的探索空间，对“你给我多大空
间，我就有多大发展”的孩子而言，限定了他们知识构 建的顺序及规律发现的独
特性，给他们的学习划定了方向、限制了范围，不利于他们的数学思维向深度和
个性化发展。
教材《最大公因数》的例题编排，就是典型的线性呈现方式。对于这一内容，< br>我们在认真研究了教材后，作了如下的板块设计：
出示3、4、6、15、30五个数。
◎你能很快写出这五个数的约数吗？
◎从上面这些数的约数中你能理解什么是公约数和最大公 约数吗？用
自己的话试着向同桌说一说你的理解，并举例说明。
◎在上面五个数中任意找两个 数（多找几对），写出它们的最大公约数，
你能发现一些什么规律？与你的同桌交流一下，并举例验证你 的发现
是不是正确。
我的发现： 。 < br>◎只有公约数1的两个数叫做互质数，你能举出一些例子来证明哪两种
数一定互质吗？（四人小组 合作，讨论后汇报结果）
我们设想用3、4、6、15、30这五个数约数及它们约数的关系来涵 括本节课所
有的内容，让孩子自己去发现当两个数成倍数、互质、一般关系时怎样寻找它们
的最 大公约数。或许这样的设想并不能使每一个孩子都能最终获得成功，我们看
到课堂上有的孩子还需要与同 学进行“资源共享”才能掌握这些知识。但至少这
给了他们自主探究的时空，孩子们在不断地猜想、验证 、顿悟、交流中，探索能
力得到增强，个性与创新思维也得以伸展。
探索之二：从事先预设走向动态生成

出题，让学生动态生成
如学习 了100以内的质数表后，对学生最容易认为是质数的87、91、51、57让
学生分析这几个数能被 那些数整除，给以“假冒伪劣”质数，要求学生记住87=
（ ）乘（ ），学习了最大公因数时，让 学生出题，你认为你出的题能考到大
家的就成功了，学生出了（26，39）（91，39）等等，再学 习了约分后，让学生
自己出题，认为最容易错的约分题，学生不自觉地出到了39分之26等等。有意< br>识地强化最容易错的题。
找出分子和分母的最大公因数
265154163272
91
( )
68
( )
81
( )
80
( )
48
( )
96
( )
39575114122834
78
( )
76
( )
85
( )
49
( )
56
( )
91
( )
51
( )
35425726515734
75
( )
70
( )
95
( )
91
( )
68
( )
76
( )
51
( )
285152
91
( )
85
( )
90
( )

探索之三：从被动记忆走向体验过程
如《找质数》书中安排了“下面是1到100的数，（1 ）划掉1，（划掉
除2以外2的倍数，再依次划掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身不划掉）。 ”
一题，让学生按照要求划数，并观察“剩下的都是什么数？”，这一定程度地体
现出了寻找质 数的方法。但划数这一行为不是学生经过思考后的自主行为，只是
按题目要求去做，在整个过程中学生的 意识与思维并没有真正参与进去，因此他
们划数的行为是盲目的、随意的，并不能真正达到编者所预想的 目的。基于以上
认识，我们作了大胆拓展：
＊你能找出下面1～100这100个数中所有的质数吗？
（每人发一张练习纸，将这100个数每10个数一行，排成10行）
你准备怎样去找呢？自己先动手试一试。
＊你发现怎样能较快地找出100以内的所有质数？ （四人小组商讨一
下，将你们商量的结果向大家汇报一下，在实物投影上演示方法。）
＊从刚 才寻找质数的过程以及这张100以内的质数表中，你有些什么想

法或发现呢？将你的想 法或发现写下来，好吗？
我的想法与发现： 。
每一个孩子都体验了寻找质数的过程。在教学中我们发现有的孩子会一个个
去寻找质数；也 有的孩子在寻找了几个后发现了规律，用排除合数的方法迅速寻
找；当然也有一些孩子一开始也有“斗大 的馒头无从下手”之感，但经过小组内
的商讨，也逐渐理解了方法，有了较为明确的想法。而且在学生探 索的过程中我
还向他们介绍了古希腊学者埃拉托斯特尼的“筛法”，并鼓励他们：“你们现在
经 历的正是以前数学家们经历过的事，虽然方法一时不能发现，但不要灰心，再
动动脑子，你就能走向成功 。”这样的话语鼓起了学生进行数学探究的决心与信
心。很难想象如果不经历这样一个过程，孩子们能体 会到这些，能对100以内的
质数表有这样深刻的理解。
探索之四：从繁琐局限走向整合开放
第一单元倍数因数中没有学习最大公因数和最小公倍数，而在而在学习第二
单元图形的面积，第 三单元分数以后再学习找最大公因数和最小公倍数，，学生
对有关倍数知识在很长时间后又要重新回忆， 所以我将最大公因数最小公倍数的
知识提前到第一单元教学，这样做，有利于学生对知识系统的掌握，也 可以进行
这些知识的充分训练，同时训练时结合老教材（建议老师手中要有几套教材）
思考：你看教科书没有？
1、思考的问题：独立备一节课需要多少时间？一章呢？一周的课呢 ？在集
体备课时，你能做到提前不备课但知识结构体系，编者意图，课标要求都了然于
胸吗？教 师以知识育人，必须做到学有专长、术有专攻，必须精通学科专业知识，
有较丰富的知识储备。只有这样 ，才能透彻地理解教材，灵活地处理教材，准确
地使用教材。否则，教师只有“招架之功”，而无“还手 之力”，就不能达到深
入浅出、居高临下的教学效果。作为一名教师，熟练的掌握所任教学科所有年段< br>的知识结构体系、编排意图、课标要求，这是底线，是必须达到的最低要求。