中国地质大学北京-美国留学生活

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初中数学《最值问题》典型例题
一、解决几何最值问题的通常思路

两点之间线段最短；

直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取
到最值）

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题
的关键．通过转化减少变量，向三 个定理靠拢进而解决问题；直接调
用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

几何最值问题中的基本模型举例

轴
图
A
B
AB
A
P
l
B

对
形

称
原
最
理

P
l

M
N
l

两点之间线段
最短

两点之间线段最
短

三角形三边关
系

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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值

A
，
B
为 定点，
l
A
，
B
为定点，
l
为定直线，
P
为
为定直线，
MN
为
特直线
l
上的一
直线
l
上的一条
征

个动点，求
动线段，求
AM
+
BN
A
，
B
为定点，
l
为定直线，
P
为
直线
l
上的一个
动点，求
|
AP
-BP
|的最大
的最小值

值

先平移
AM或
BN
AP
+
BP
的最小
值

作其中一个定
转
点关于定直线
化

使
M
，
N
重合，然作其中一个定
后作其中一个定
点关于定直线
l
的 对称点

点关于定直线
l
的对称点

l
的对称点

折图
叠形

M
B
A
B'
N
C

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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最原
两点之间线段最短

值

理

在△
ABC
中，
M
，< br>N
两点分别是边
AB
，
BC
上的动点，
特
将 △
BMN
沿
MN
翻折，
B
点的对应点为
B'
，连接
AB'
，
征

求
AB'
的最小值．

转
转化成求
AB'
+
B'N
+
NC
的最小值

化

二、典型题型

1．如图：点
P
是∠
AOB
内一定 点，点
M
、
N
分别在边
OA
、
OB
上运动 ，

若∠
AOB
=45°，
OP
=
3
为 ．






2
，则△
PMN
的周长的最小值
【分析】作
P
关于
OA
，
OB的对称点
C
，
D
．连接
OC
，
OD
．

则当
M
，
N
是
CD
与
OA，
OB
的交点时，△
PMN
的周长最短，

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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最短的值是
CD
的长．根据对称的性质可 以证得：△
COD
是等腰直角三
角形，据此即可求解．

【解答】解 ：作
P
关于
OA
，
OB
的对称点
C
，D
．连接
OC
，
OD
．则当
M
，
N< br>是
CD
与
OA
，
OB
的交点时，△
PMN< br>的周长最短，最短的值是
CD
的长．

∵
PC
关于
OA
对称，

∴∠
COP=2∠
AOP
，
OC
=
OP

同理，∠
DOP
=2∠
BOP
，
OP
=
OD

∴ ∠
COD
=∠
COP
+∠
DOP
=2（∠
AOP< br>+∠
BOP
）=2∠
AOB
=90°，
OC
=
OD
．

∴△
COD
是等腰直角三角形．

则< br>CD
=
2
OC
=
2
×3
2
=6．< br>AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△
PMN
周
长最小 的条件是解题的关键．



2．如图，当四边形
PABN
的周长最小时，
a
= ．

【分析】因为
AB
，
PN
的长度都是固定的，所以求出
PA
+
NB
的长度就行
了．问题就是
PA
+
NB
什么时候最短．

把
B
点向左平移2个单位到
B′点；作
B
′关于
x
轴的对称点
B
″，连
接< br>AB
″，交
x
轴于
P
，从而确定
N
点位置， 此时
PA
+
NB
最短．


AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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设直线
AB
″的解析式为
y=
kx
+
b
，待定系数法求直线解析式．即可求得
a
的 值．

【解答】解：将
N
点向左平移2单位与
P
重合，点< br>B
向左平移2单位
到
B
′（2，﹣1），

作
B
′关于
x
轴的对称点
B
″，根据作法知点
B
″ （2，1），

设直线
AB
″的解析式为
y
=
kx
+
b
，

则


12kb
， 解得

3kb
k
=4，
b
=﹣7．

∴
y
=4
x
﹣7．当
y
=0时，
x
=< br>7
，即
P
（
7
，0），
a
=
7．

444
故答案填：
7
．

4
【题后思考】考查关于
X
轴的对称点，两点之间线段最短等知识．


AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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3．如图，
A
、
B
两点 在直线的两侧，点
A
到直线的距离
AM
=4，点
B
到
直线的距离
BN
=1，且
MN
=4，
P
为直线上的动点， |
PA
﹣
PB
|的最大值
为 ．
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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A
D
M
B′
N
B
P

【分析】作 点
B
于直线
l
的对称点
B
′，则
PB
=< br>PB
′因而|
PA
﹣
PB
|=|
PA
﹣PB
′|，则当
A
，
B
′、
P
在一条直线上时 ，|
PA
﹣
PB
|的值最大．根据
平行线分线段定理即可求得
PN
和
PM
的值然后根据勾股定理求得
PA
、
PB
′的值，进而求得|
PA
﹣
PB
|的最大值．

【解答】 解：作点
B
于直线
l
的对称点
B
′，连
AB
′并延长交直线
l
于
P
．

∴
B
′
N
=
BN
=1，

过D
点作
B
′
D
⊥
AM
，

利用勾股定理求出
AB
′=5

∴|
PA
﹣
PB
|的最大值=5．

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等， 熟知“两
点之间线段最短”是解答此题的关键．


4．动手操作：在矩形 纸片
ABCD
中，
AB
=3，
AD
=5．如图所示，折叠纸
片，使点
A
落在
BC
边上的
A
′处，折痕为
PQ
，当点
A
′在
BC
边上移
动时，折痕的端点
P
、
Q
也随之移动．若限定点
P
、
Q
分别在
AB
、
AD
边上移动，则点
A
′在
BC
边上可移 动的最大距离为 ．



【分析】本题关键在于找到两 个极端，即
BA
′取最大或最小值时，点
P
或
Q
的位置．经 实验不难发现，分别求出点
P
与
B
重合时，
BA
′取
最大值3和当点
Q
与
D
重合时，
BA
′的最小值1．所以 可求点
A
′在
BC
边上移动的最大距离为2．

【解答】解 ：当点
P
与
B
重合时，
BA
′取最大值是3，

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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当点
Q
与
D
重合时（如 图），由勾股定理得
A
′
C
=4，此时
BA
′取最小
值为1．

则点
A
′在
BC
边上移动的最大距离为3﹣1=2．

故答案为：2


【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾 股定理的
应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成
错误．


5．如图，直角梯形纸片
ABCD
，
AD
⊥
A B
，
AB
=8，
AD
=
CD
=4，点
E< br>、
F
分
别在线段
AB
、
AD
上，将△
AEF
沿
EF
翻折，点
A
的落点记为
P
．当P
落在直角梯形
ABCD
内部时，
PD
的最小值等于 ．
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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【分析】如图，经分析、探究，只有当直径
EF< br>最大，且点
A
落在
BD
上时，
PD
最小；根据勾股定 理求出
BD
的长度，问题即可解决．

【解答】解：如图，

∵当点
P
落在梯形的内部时，∠
P
=∠
A
=90°，
∴四边形
PFAE
是以
EF
为直径的圆内接四边形，

∴只有当直径
EF
最大，且点
A
落在
BD
上时，< br>PD
最小，

此时
E
与点
B
重合；

由题意得：
PE
=
AB
=8，

由勾股定理得：


BD
2
=8
2
+6
2
=80，

∴
BD
=
4
∴
PD
=
4
5
，
58
．

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折 变换为方法，以考查
全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓
住图形 在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．


6．如图，∠
MON
=90°，矩形
ABCD
的顶点
A
、
B
分别在边< br>OM
，
ON
上，
当
B
在边
ON
上运 动时，
A
随之在
OM
上运动，矩形
ABCD
的形状保持不< br>变，其中
AB
=2，
BC
=1，运动过程中，点
D
到 点
O
的最大距离
为 ．

【分析】取
AB
的中点
E
，连接
OD
、
OE
、
DE
，根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半可得
OE
=
AB
， 利用勾股定理列式求出
DE
，然后根
据三角形任意两边之和大于第三边可得
O D
过点
E
时最大．

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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【解答】解：如图，取
AB
的中点
E
，连接
OD
、
OE
、
DE
，

∵∠
MON
=90°，
AB
=2

∴
OE
=
AE
=
1
AB
=1，

2
∵
BC
=1，四边形
ABCD
是矩形，

∴
AD
=
BC
=1，

∴
DE
=
2
，

根据三角形的三边关系，
OD
＜
OE
+
DE
，

∴当
OD
过点
E
是最大，最大值为
2
+1．
AHA12GAGGAGAGGA FFFFAFAF

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故答案为：
2
+1．


【题后思考】本题考查了矩形的性 质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出
O D
过
AB
的中点时值最大是解题的关键．


7．如图， 线段
AB
的长为4，
C
为
AB
上一动点，分别以
A C
、
BC
为斜边
在
AB
的同侧作等腰直角△
ACD
和等腰直角△
BCE
，那么
DE
长的最小值
是 ．


【分析】设
AC
=
x
，
BC=4﹣
x
，根据等腰直角三角形性质，得出
CD
=
2
2
x
，
CD
′=
2
2
（4﹣
x
）， 根据勾股定理然后用配方法即可求解．

【解答】解：设
AC
=
x< br>，
BC
=4﹣
x
，

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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∵△
ABC
，△
BCD
′均为等腰直角三角形，

∴
CD
=
2
2
x
，
CD
′=
2< br>2
（4﹣
x
），

∵∠
ACD
=45°，∠
BCD
′=45°，

∴∠
DCE
=90°，

∴
DE
=
CD< br>+
CE
=
1
x
+
1
（4﹣
x
）=
x
﹣4
x
+8=（
x
﹣2）+4，

2222222
22
∵根据二次函数的最值，

∴当
x
取2时，
DE
取最小值，最小值为：4．

故答案为：2．

【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大 ，
关键是掌握用配方法求二次函数最值．


8．如图，菱形
AB CD
中，
AB
=2，∠
A
=120°，点
P
，Q
，
K
分别为线段
BC
，
CD
，
BD
上的任意一点，则
PK
+
QK
的最小值为 ．

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点
P< br>关于
BD
的对称点
P
′，
连接
P
′
Q
与
BD
的交点即为所求的点
K
，然后根据直线外一点到直线
的所有连线中垂直线段最短的性质可知
P
′
Q
⊥
CD
时< br>PK
+
QK
的最小值，
然后求解即可．

【解答】解：如图，∵
AB
=2，∠
A
=120°，
∴点
P
′到
CD
的距离为2×
∴
PK
+
QK
的最小值为
故答案为：
3
．
3
．


3
2
=
3
，

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

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【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确 定最短路线问题，熟
记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．


9．如图所示，正方形
ABCD
的边长为1，点
P
为边
BC
上的任意一点（可
与
B
、
C
重合），分别过
B
、
C
、
D
作射线
AP
的垂线，垂足分别为
B
′、
C
′、
D
′，则
BB< br>′+
CC
′+
DD
′的取值范围是 ．

【分析】首先连接
AC
，
DP
．由正方形
ABCD
的边长为1，即可得：
S
△
ADP
=
1
S
2

正方形
ABCD
=
1
，
S
△
ABP< br>+
S
△
ACP
=
S
△
ABC
=1
S
正方形
ABCD
=
1
，继而可得
1
AP
•
2222
2
，即可求得答案．

（
BB< br>′+
CC
′+
DD
′）=1，又由1≤
AP
≤
【解答】解：连接
AC
，
DP
．

∵四边形
ABCD
是正方形，正方形
ABCD
的边长为1，

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∴
AB
=
CD
，
S
正方形
ABCD
=1，

∵
S
△
AD P
=
1
S
正方形
ABCD
=
1
，
S
△
ABP
+
S
△
ACP
=
S
△
ABC
=
1
S
正方形
ABCD
=
1
，

2222
∴
S
△
ADP
+
S
△
ABP
+
S
△
ACP
=1，

∴1
AP
•
BB
′+
1
22
AP
•CC
′+
1
2
AP
•
DD
′=
12
AP
•（
BB
′+
则
BB
′+
CC
′+
DD
′=
2
AP
，

∵1≤
AP
≤
2
，

∴当
P
与
B
重合时，有最大值2；

当
P
与
C
重合时，有最小值
2
．

∴
2
≤
BB
′+
CC
′+
DD
′≤2．

故答案为：
2
≤
BB
′+
CC
′+DD
′≤2．


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CC
′+
DD
′）=1，

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【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问 题．此题
难度较大，解题的关键是连接
AC
，
DP
，根据题意得到< br>S
△
ADP
+
S
△
ABP
+
S△
ACP
=1，
继而得到
BB
′+
CC
′+< br>DD
′=
2
AP
．


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10．如图，菱形
ABCD
中，∠
A
=60°，
AB
=3，⊙
A
、⊙
B
的半径分别 为2
和1，
P
、
E
、
F
分别是边
CD、⊙
A
和⊙
B
上的动点，则
PE
+
PF
的最小值
是 ．


【分析】利用菱形的性质以及相切两 圆的性质得出
P
与
D
重合时
PE
+
PF
的 最小值，进而求出即可．

【解答】解：由题意可得出：当
P
与
D< br>重合时，
E
点在
AD
上，
F
在
BD
上，此时
PE
+
PF
最小，

连接
BD
，

∵菱形
ABCD
中，∠
A
=60°，

∴
AB
=
AD
，则△
ABD
是等边三角形，

∴
BD
=
AB
=
AD
=3，

∵⊙
A
、⊙
B
的半径分别为2和1，

∴
PE
=1，
DF
=2，

∴
PE
+
PF
的最小值是3．

故答案为：3．

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【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相 切两圆的性质等知识，
根据题意得出
P
点位置是解题关键．

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