师德承诺书-七夕节活动策划

2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：
最值问题综合（四）


1．如图，已知二次函数
y
＝
a
（
x
﹣1）
2
+
k
（
a
＞0）的图象交
x轴于
A
，
B
两点，交
y
轴于点
C
，其 中
A
（﹣1，0）．
（1）求点
B
的坐标，并用含
a
的式子表示
k
；
（2）连接
CA
，
CB
，当∠
ACB
为锐角时，求
a
的取值范围；
（3）若
P
（0，
b
）为
y
轴上一个动点，连接
PA
，当点
C
的坐标为（0，﹣3
接写出
）时，直
PC
+
PA
的最小值．

2．如图，已知抛物线
y
＝
ax
2
+
bx
+< br>c
与直线
y
＝
抛物线
y
＝
ax
2< br>+
bx
+
c
交
y
轴于点
C
（0，﹣
（1）求抛物线的表达式及点
M
的坐标；
（2）设
P
为直 线
AB
下方的抛物线上一动点，当△
PAB
的面积最大时，求此时△
PAB
的面
积及点
P
的坐标；
（3）
Q
为
x
轴上一动点，
N
是抛物线上一点，当△
QMN
∽△
MA D
（点
Q
与点
M
对应）时，
求点
Q
的坐标 ．
x
+相交于
A
（﹣1，0），
B
（4，
m）两点，
），交
x
轴正半轴于点
D
，抛物线的顶点为
M
．

3．如图1，经过点
B
（1，0）的抛物线
y
＝
a
（
x
+1）
2
﹣与
y
轴交于点
C
，其顶点为点
G
，
过点
C
作
y
轴的垂线交抛物线对称轴于点
D
，线段
CO
上有一动点
M
，连接
DM
、
DG
．

（1）求抛物线的表达式；
（2）求
GD
+
DM
+
MO
的最小值以及相应的点
M
的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下 ，以点
A
（﹣2，0）为圆心，以
AM
长为半径作圆交
x
轴
正半轴于点
E
．在
y
轴正半轴上有一动点
P
，直线
PF
与⊙
A
相切于点
F
，连接
EF
交y
轴
于点
N
，当
PF
∥
BM
时，求< br>PN
的长．

4．如图，抛物线
y
＝
x
2
+
bx
+
c
与
x
轴交于点
A
（﹣1，0），与
y
轴交于点C
（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2） 若
P
是线段
OB
上一动点，过
P
作
y
轴的 平行线交抛物线于点
H
，交
BC
于点
N
，设
OP< br>＝
t
时，△
BCH
的面积为
S
．求
S
关于
t
的函数关系式；若
S
有最大值，请求出
S
的最大值，若没有，请说明理由．
（3）若
P
是
x
轴上一个动点， 过
P
作射线
PQ
∥
AC
交抛物线于点
Q
， 随着
P
点的运动，在
抛物线上是否存在这样的点
P
，使以
A
，
P
，
Q
，
C
为顶点的四边形为平行四边形？若存 在，
请直接写出
P
点的坐标；若不存在，请说明理由．






5．如图，函数
y
＝﹣
x
2
+
bx
+
c
的图象经过点
A
（
m，0），
B
（0，
n
）两点，
m
，
n
分别是方程
x
2
﹣2
x
﹣3＝0的两个实数根，且
m
＜
n
．
（Ⅰ）求
m
，
n
的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线
y
＝﹣
x
2
+
bx
+
c
与
x
轴的另一个交点为
C
，抛物线的顶点为
D
，连接
AB< br>，
BC
，
BD
，
CD
．求证：△
BCD∽△
OBA
；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数
y
＝﹣
x
2
+
bx
+
c
，
（1）当0≤
x
≤3时，求函数
y
的最大值和最小值；
（ 2）设函数
y
在
t
≤
x
≤
t
+1内的最大 值为
p
，最小值为
q
，若
p
﹣
q
＝3，求
t
的值．

6．如图，抛物线
y
＝﹣
x
2
+
bx< br>+
c
的图象与
x
轴交于
A
（﹣4，0）和点
B
两点，与
y
轴交于点
C
，抛物线的对称轴是
x
＝ ﹣1与
x
轴交于点
D
．
（1）求拋物线的函数表达式；
（2）若点
P
（
m
，
n
）为抛物线上一点，且﹣4＜
m
＜﹣1，过点
P
作
PE
∥
x
轴，交抛物线的< br>对称轴
x
＝﹣1于点
E
，作
PF
⊥
x
轴于点
F
，得到矩形
PEDF
，求矩形
PEDF
周长的最 大值；
（3）点
Q
为抛物线对称轴
x
＝﹣1上一点，是否存在点< br>Q
，使以点
Q
，
B
，
C
为顶点的三角
形是直角三角形？若存在，请直接写出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，已知二次函数
y
＝
x
2
+
bx
+
c
经过
A< br>，
B
两点，
BC
⊥
x
轴于点
C
，且 点
A
（﹣1，0），
C
（4，0），
AC
＝
BC< br>．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
E
是线段
AB上一动点（不与
A
，
B
重合），过点
E
作
x< br>轴的垂线，交抛物线于点
F
，当线段
EF
的长度最大时，求点
E
的坐标及
S
△
ABF
；
（3）点
P
是 抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的
P
点，使△
ABP
成为直角三角
形？若存在，求出所有点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．







8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
与
x< br>轴交于点
A
（﹣2，0），点
B
（4，
0），与
y< br>轴交于点
C
（0，2），连接
BC
，位于
y
轴右侧且 垂直于
x
轴的动直线
l
，沿
x
轴正方向从
O
运动到
B
（不含
O
点和
B
点），且分别交抛物线、线段< br>BC
以及
x
轴于点
P
，
D
，
E，连接
AC
，
BC
，
PA
，
PB
，< br>PC
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，当直线
l
运动时，求使得△
PEA
和△
AOC
相似的点
P
点的横坐 标；
（3）如图1，当直线1运动时，求△
PCB
面积的最大值；
（4） 如图2，抛物线的对称轴交
x
轴于点
Q
，过点
B
作
BG
∥
AC
交
y
轴于点
G
．点
H
、
K
分别在对称轴和
y
轴上运动，连接
PH
、
HK
，当△
PCB
的面积最大时，请直接写出
PH
+
HK
+

KG
的最小值．






9．已知点
A
（﹣4，8）和点
B
（2，
n
）在抛物线
y
＝
ax
2
上．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标，并求出
n
的值；
（Ⅱ）求点
B
关于
x
轴对称点
P
的坐标，并在
x
轴上找一点
Q
，使得
AQ
+
QB
最短，求此时
点
Q< br>的坐标；
（Ⅲ）平移抛物线
y
＝
ax
2
，记平移后 点
A
的对应点为
A
'，点
B
的对应点为
B
'，点
C
（﹣
2，0）是
x
轴上的定点．
①当抛物线向左 平移到某个位置时，
A
'
C
+
CB
'最短，求此时抛物线的 解析式；
②
D
（﹣4，0）是
x
轴上的定点，当抛物线向左平移到 某个位置时，四边形
A
'
B
'
CD
的周
长最短，求 此时抛物线的解析式（直接写出结果即可）．

10．如图，抛物线
y
＝
ax
2
+
bx
+3经过点
A
（1，0），
B
（4，0） ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点
P< br>，使得四边形
PAOC
的周长最小？若存在，
求出四边形
PAOC的周长最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点
Q
是
OB< br>上的一动点，连接
BC
，在线段
BC
上是否存在这样的点
M< br>，使△
CQM
为等腰三角形且△
BQM
是直角三角形？若存在，求出点
M
的坐标；若不存在，请说明
理由．

参考答案
1．解：（1）∵
y
＝
a（
x
﹣1）
2
+
k
的图象的对称轴为
x
＝1，
又该函数图象过点
A
（﹣1，0），
∴由对称性可知点
B
的坐标为（3，0），
把
x
＝﹣1，
y
＝0代入，得0＝
a
（﹣1﹣1）
2
+
k
，
故
k
＝﹣4
a
．

（2）解法一：当∠< br>ACB
＝90°时，∵∠
ACO
+∠
BCO
＝90°，∠BCO
+∠
OBC
＝90°，
∴∠
ACO
＝∠
CBO
，
∴△
ACO
∽△
CBO
，
∴＝
∴
OC
2
＝
OA
•
OB
＝3，
∵
C
（0，﹣3
a
），
∴9
a
2
＝3，
∴
a
＝或﹣

（舍弃），
OC
＝
∵∠
ACB
是锐角，
∴
OC
＞
． ∴
a
的取值范围为

解法二：当
x
＝0时，
y
＝﹣3
a
，
∴ 当∠
ACB
＝90°时，
AC
2
+
BC
2
＝
AB
2
，即（1+9
a
2
）+（9+9
a
2
）＝4
2
，
解得
∴
a
取，
， < br>当∠
ACB
＝90°时，则
AC
2
+
BC
2
＞
AB
2
，
∴

．

（3）如图，过点
A
作
AH
⊥
B C
于
H
，过点
P
作
PJ
⊥
BC
于
J
．
在Rt△
BOC
中，∵
∴∠
OCB
＝30°，∠
ABC
＝60°
∴
在Rt△
PCJ
中，PJ
＝
∴
AP
+
，
，
PC
，
PC
＝
AP
+
PJ
，
PC
的值最小，即 的最小值为点
A
到
BC
的∴当
A
，
P
，< br>J
共线且⊥
BC
时，
AP
+
距离
AH
，
∴
AP
+
PC
的最小值为2．

2．解： （1）把点
B
（4，
m
）代入
y
＝
∴
B< br>（4，），
x
+中，得
m
＝，
把点
A
（ ﹣1，0）、
B
（4，）、
C
（0，﹣）代入抛物线中，得，
解得 ∴抛物线的解析式为
y
＝
x
2
﹣
x
﹣，
∵
y
＝
x
2
﹣
x
﹣＝（
x
﹣1）
2
﹣2，
∴点
M
的坐标为（1，﹣2）．

（2）∵点
P
为直线
AB
下方抛物线上一动点，
∴﹣1＜
x
＜4，

如图1所示，过点
P
作
y
轴的平行线交
AB
于点
H
，

设点
P
的坐标为（
m
，
m
2
﹣
m
﹣），则点
H
（
m
，
m
+），
（
m
﹣）
2
+，
S
△
PAB
＝
∵﹣
•
HP
•（
x
B
﹣
x
A）＝
＜0，
•（﹣
m
2
+
m
+2）×5＝﹣
∴当
m
＝时，
S
最大，最大为，此时点
P
（，﹣） ．
（3）如图2所示，

令
y
＝0，解得
x
1
＝﹣1，
x
2
＝3，
∴
D
（3，0），
∵
M
（1，﹣2），
A
（﹣1，0），
∴△
AMD
为等腰直角三角形，
设点
N
的坐标为（
n
，
n
2
﹣
n
﹣），
∵△
QEN
≌△
MFQ
（
AAS
），
∴
FQ
＝
EN
＝2，
MF
＝
EQ
＝
∴

n
2
﹣
n
﹣，
n
2
﹣
n
﹣+1＝
n
+2，

解得
n
＝5或﹣1（舍），
∴点
Q
的坐标为（7，0），
根据对称性可知，点
Q
的坐标为（﹣5，0）时也满足条件，
∵△
ADM
是等腰直角三角形，
∴当点
Q
是
AD
的中点，
N
与
A
或
D
重合时，△
QMN< br>∽△
MAD
，
此时
Q
（1，0）时．
综上所述：点
Q
的坐标为（7，0）或（﹣5，0）或（1，0）．
3．解 ：（1）∵抛物线
y
＝
a
（
x
+1）
2
﹣
∴0＝4
a
﹣
∴
a
＝
∴

（2） 过点
O
作直线
l
与
x
轴夹角为α，且，α＝45°，过点< br>M
作
MH
⊥直线

．
，
，经过点
B
（1，0），
l
于
H
，

则有
∴
∴
∴
，
，
，
，
的值最小， ∴当
D
，
M
，
H
共线时，
∵
D
（﹣1，﹣），直线
l
的解析式为
y
＝﹣
x，

∴直线
DH
的解析式为
y
＝
x
﹣，
由，解得，
∴
H
（
∴
DH
＝
，﹣），< br>M
（0，﹣），
＝，
∵
DG
＝﹣
∴

+＝，
+＝． 的最小值＝
（3）如图2中，连接
BM
，延长FA
交
y
轴于
J
．

∵
A
（﹣2，0），
M
（0，﹣
∴
AM
＝
AF
＝
∵
B
（1，0），
∴直线
BM
的解析式为
y
＝
∵
PF
是⊙
A
的切线，
∴
PF
⊥
AF
，
∵
PF
∥
BM
，
∴
AF
⊥
BM
，
∴直线
AF
的解析式为
y
＝﹣

），
， ＝
x
﹣，
x
﹣，

∴
J
（0，﹣
∴
AJ
＝
），
＝
+
，
， ∴
FJ
＝
AF
+
A J
＝
∵
PF
∥
BM
，
∴∠
FPJ
＝∠
OMB
，
∴tan∠
FPJ
＝tan∠
OMB
，
∴＝，
∴＝，
∴
PF
＝
∵
AF
＝
AE
，
+，
∴∠
AFE
＝∠
AEF
，
∵∠
AFE
+ ∠
PFN
＝90°，∠
AEN
+∠
ONE
＝90°，∠PNF
＝∠
ENO
，
∴∠
PFN
＝∠
PNF
，
∴
PN
＝
PF
＝+．
4．解：（1）把点
A（﹣1，0），点
C
（0，﹣3）代入抛物线的解析式为
y
＝
x
2
+
bx
+
c
中得：
，
解得：， ∴抛物线的解析式为
y
＝
x
2
﹣2
x
﹣3；
∵
y
＝
x
2
﹣2
x
﹣3＝（
x< br>﹣1）
2
﹣4，
∴顶点的坐标为（1，﹣4）；
（2）如图1，设 直线
BC
的解析式为
y
＝
kx
+
d
（k
≠0），

当
y
＝0时，
x
2
﹣2
x
﹣3＝0，
解得：
x
1
＝3，
x
2
＝﹣1，
∴
B
（3，0），
将
B
（3，0），
C
（0，﹣3）代入
y
＝
kx
+
d
中，
得：，解得：，
∴直线
BC
的解析式为
y
＝
x
﹣3，
∵
OP
＝
t
，
设点
P
的坐标为（
t
，0），则点
N
的坐标为（
t
，
t
﹣3），< br>H
（
t
，
t
2
﹣2
t
﹣3）， < br>∴
NH
＝
t
﹣3﹣（
t
2
﹣2
t< br>﹣3）＝﹣
t
2
+3
t
，
∴
S
＝
S
△
BCH
＝
∵0≤
t
≤3，﹣
∴当t
＝
NH
•
OB
＝
，
＝﹣
t
＝﹣，
时，
S
取最大值，最大值为；
（3）分两种情况：
①当
Q
在
x
轴的上方时，如图2和图 4，四边形
ACPQ
是平行四边形，

根据
A
（﹣1，0）和
C
（0，﹣3）可知：点
Q
的纵坐 标为3，
当
y
＝3时，
x
2
﹣2
x
﹣3＝3， < br>解得：
x
1
＝1+
∴
P
（2+
，
x
2
＝1﹣，
，0）； ，0）或（2﹣
②当
Q
在
x
轴的上方时，如图3，四边形
ACQP
是平行四边形，

当
y
＝﹣3时，由对称得：
Q
（2，﹣3），
∴
P
（1，0）；
综上，
P
点的坐标为（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．
5．（< br>I
）解：∵
m
，
n
分别是方程
x
2
﹣2
x
﹣3＝0的两个实数根，且
m
＜
n
，
用因式分解法解方程：（
x
+1）（
x
﹣3）＝0，
∴
x
1
＝﹣1，
x
2
＝3，
∴
m
＝﹣1，
n
＝3，

∴
A
（﹣1，0），
B
（0，3），
把（﹣1，0），（ 0，3）代入得，
∴函数解析式为
y
＝﹣
x
2
+2
x
+3．
（
II
）证明：令
y
＝﹣
x
2
+2
x
+3＝0，即
x
2
﹣2
x
﹣3＝ 0，
解得
x
1
＝﹣1，
x
2
＝3，
∴ 抛物线
y
＝﹣
x
2
+2
x
+3与
x
轴的交点为
A
（﹣1，0），
C
（3，0），
∴
OA
＝1，
OC
＝3，
∴对称轴为
∴
∵
CD
2
＝
DB
2
+
CB
2
，
∴△
BCD
是直角三角形，且∠
DBC
＝90°，
∴∠
AOB
＝∠
DBC
，
在Rt△
AOB
和Rt△
DBC
中，
∴，
＝，，
，顶点
D
（1，﹣1+2+3），即
D
（1，4），
，，，
，解得，
∴△
BCD
∽△
OBA
；
（
III
）解：抛物线
y
＝﹣
x
2
+2
x
+3的对称轴为
x
＝1，顶点为
D
（1，4），
（1）在0≤
x
≤3范围内，
当
x
＝1时，
y< br>最大值
＝4；当
x
＝3时，
y
最小值
＝0；
（2）①当函数
y
在
t
≤
x
≤
t
+1内 的抛物线完全在对称轴的左侧，当
x
＝
t
时取得最小值
q
＝ ﹣
t
2
+2
t
+3，最大值
p
＝﹣（
t< br>+1）
2
+2（
t
+1）+3，
令
p
﹣< br>q
＝﹣（
t
+1）
2
+2（
t
+1）+3﹣ （﹣
t
2
+2
t
+3）＝3，即﹣2
t
+1＝3， 解得
t
＝﹣1．
②当
t
+1＝1时，此时
p
＝4 ，
q
＝3，不合题意，舍去；
③当函数
y
在
t
≤
x
≤
t
+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时
p＝4，令
p
﹣
q
＝4﹣（﹣
t
2
+2
t
+3）＝3，即
t
2
﹣2
t
﹣2＝0解得：
t< br>1
＝1+（舍），
t
2
＝1﹣（舍）；
（不合题意，舍去）； 或者
p
﹣
q
＝4﹣[﹣（
t
+1）
2
+2（
t
+1）+3]＝3，即
④当
t
＝1时，此时
p
＝4，
q
＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数
y
在
t
≤
x
≤
t
+1内的抛物线完全在对称轴的 右侧，当
x
＝
t
时取得最大值
p
＝﹣

t
2
+2
t
+3，最小值
q＝﹣（
t
+1）
2
+2（
t
+1）+3，
令
p
﹣
q
＝﹣
t
2
+2
t
+3﹣[ ﹣（
t
+1）
2
+2（
t
+1）+3]＝3，解得
t
＝2．
综上，
t
＝﹣1或
t
＝2．
6．解： （1）∵抛物线
y
＝﹣
x
2
+
bx
+
c< br>的对称轴是
x
＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
b
＝﹣2，
∴
y
＝﹣
x
2
﹣2
x
+
c
，
把
A
（﹣4，0）代入得：﹣16+8+
c
＝0，
∴
c
＝8，
∴拋物线的函数表达式为：
y
＝﹣
x
2
﹣2
x
+8；
（2）∵点
P
（
m，
n
）为抛物线上一点，且﹣4＜
m
＜﹣1，如图1，

∴
n
═﹣
m
2
﹣2
m
+8，
∵四边形
PEDF
是矩形，
∴矩形
PEDF
的周长＝2< br>PE
+2
PF
＝2（﹣1﹣
m
）+2（﹣
m
2
﹣2
m
+8）＝﹣2
m
2
﹣6
m
+14 ＝﹣2（
m
+
）
2
+，
∵﹣2＜0，
∴当
m
＝﹣时，矩形
PEDF
的周长有最大值是；
（3） 存在点
Q
，使以点
Q
，
B
，
C
为顶点的三 角形是直角三角形，
∵点
Q
为抛物线对称轴
x
＝﹣1上一点，
∴设
Q
（﹣1，
y
），
由对称得：
B
（2，0），
∵
C
（0，8），

∴
QB
2
＝（2+1）
2
+y
2
＝9+
y
2
，
QC
2
＝（﹣1 ）
2
+（
y
﹣8）
2
＝1+（
y
﹣8）< br>2
，
BC
2
＝2
2
+8
2
＝4+64＝68，
分三种情况：
①当∠
QCB
＝90°时，
QB
是斜边，
∴
QB
2
＝
QC
2
+
BC
2，
∴9+
y
2
＝1+（
y
﹣8）
2
+68
解得：
y
＝
∴
Q
（﹣1，

）；
②当∠
QBC
＝90°时，
QC
是斜边，
∵
QC
2
＝
BC
2
+
QB
2
，
∴1+（
y
﹣8）
2
＝68+9+
y
2
，
解得：
y
＝﹣
∴
Q
（﹣1，﹣
，
）；
③当∠
BQC
＝90°时，
BC
是斜边，
∵
BC
2
＝
BQ
2
+
QC
2
，
∴68＝1+（
y
﹣8）
2
+9+
y
2
，
解得：
y
＝4±
∴
Q
（﹣1，4+
，
）或（﹣1，4﹣）；
）或（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）． 综上，点
Q
的坐标是（﹣1，）或（﹣1，﹣
7．解：（1）∵点
A
（﹣1，0），
C
（4，0），
∴
AC
＝5，
OC
＝4，
∵
AC
＝
BC
＝5，
∴
B
（4，5），
把
A
（﹣1，0）和
B
（4，5）代入二次函数
y
＝
x
2
+
bx
+
c
中得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：
y
＝
x
2
﹣2
x
﹣3；
（2）如图1，∵直线
AB
经过点
A
（﹣1，0），
B
（4，5），

设直线
AB
的解析 式为
y
＝
kx
+
b
，
∴，解得：，
∴直线
AB
的解析式为：
y
＝
x
+1，
∵二次函数
y
＝
x
2
﹣2
x
﹣3，

∴设点
E
（
t
，
t
+1），则
F
（
t
，
t
2
﹣2
t
﹣3），
∴
EF
＝（
t
+1）﹣（
t
2
﹣2
t﹣3）＝﹣（
t
﹣
∴当
t
＝时，
EF
的最大值 为
，），
＝＝．
，
）
2
+，
∴点
E
的坐标为（
∴
S
△
ABF
＝
（3）存在， y
＝
x
2
﹣2
x
﹣3＝（
x
﹣1）< br>2
﹣4，
∴设
P
（1，
m
），
分三种情况：
①以点
B
为直角顶点时，由勾股定理得：
PB
2
+
AB
2
＝
PA
2
，
∴（4﹣1）
2
+（
m
﹣5）
2
+（4+1）
2
+5< br>2
＝（1+1）
2
+
m
2
，
解得：
m
＝8，
∴
P
（1，8）；
②以点A
为直角顶点时，由勾股定理得：
PA
2
+
AB
2＝
PB
2
，
∴（1+1）
2
+
m
2
+（4+1）
2
+5
2
＝（4﹣1）
2
+（
m
﹣5）
2
，

解得：
m
＝﹣2，
∴
P
（1，﹣2）；
③以点
P
为直角顶点时，由勾股定理得：
PB
2
+
PA
2
＝
BA
2
，
∴（1+1）
2
+
m
2
+（4﹣1）
2
+（
m
﹣5）
2
＝（4+1）
2
+5
2
，
解得：
m
＝6或﹣1，
∴
P
（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点
P
的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
8．解：（1）∵点
A
（﹣2，0），点
B
（4，0），
∴设抛物线的解析式为：
y
＝
a
（
x
+2）（
x< br>﹣4），
把点
C
（0，2）代入得：
a
＝﹣，
故 抛物线的表达式为：
y
＝﹣
（2）设
P
（
x
，﹣< br>（
x
+2）（
x
﹣4）＝﹣
x
2
+
x
+2；
x
2
+
x
+2），
∵动直线
l
在
y
轴的右侧，
P
为抛物线与
l
的交点，
∴0＜
x
＜4，
∵点
A
（﹣2，0）、
C
（0，2
∴
OA
＝2，
OC
＝2
∵
l
⊥
x
轴，
∴∠
PEA
＝∠
AOC
＝90°，
∵∠
PAE
≠∠
CAO
，
∴只有当∠
PAE＝∠
ACO
时，△
PEA
∽△
AOC
，
此时，即＝，
，
），
3
x
2
﹣2
x
﹣16＝0，
（
x
+2）（3
x
﹣8）＝0，
x
＝﹣2（舍）或
则点
P
的横坐标为
，
；
， （3）如图1，△
PCB
的面积＝

∵
OB
＝4是定值，
∴当
PD
的值最大时，△
PCB
的面积最大，
∵
B
（4，0），
C
（0，2），
设直线
BC< br>的解析式为：
y
＝
kx
+
b
，
则，
解得：，
∴直线
BC
的解析式为：
y
＝﹣
设P
（
x
，﹣
∴
PD
＝（﹣
2
x
+2，
x
2
+
x
2
+
x
+2
x
+2
），
D
（
x
，﹣
）﹣（﹣+2
x< br>+2
）＝﹣
），
+
x
＝﹣（
x
﹣2）
+，
＜0，
，此时△
PCB
的面积＝＝×4＝2；
∵﹣
∴当
x
＝2时，
PD
有最大值是
（4）如图2中，

△
AOC
中，
OA
＝2，
OC
＝2∴
AC
＝4，
∴∠
ACO
＝30°，
∵
BG
∥
AC
，
∴∠
BGO
＝∠
ACO
＝30°，
Rt△
BOG
中，
OB
＝4，
∴
OG
＝4，
，
由（3）知：△
PCB
的面积 最大时，
P
（2，2），则
OP
＝＝4，
如图2，将直线
GO
绕点
G
逆时针旋转60°，得到直线
a
，
作
PM
⊥直线
a
于
M
，
KM
′⊥直线
a于
M
′，则
PH
+
HK
+
∵
P
（2，2），
KG
＝
PH
+
HK
+
KM
′≥
PM
，
∴∠
POB
＝60°，
∵∠
MOG
＝30°，
∴∠
MOG
+∠
BOC
+∠
POB
＝180°，
∴
P
，
O
，
M
共线，
Rt△
OMG
中，
OG
＝4
∴
OM
＝6，
可得
PM
＝10，

，
MG
＝2，

∴
PH
+
HK
+
KG
的最小值为10．
9．解：（
I
）将点
A
（﹣4，8）的坐标代入
y
＝
ax
2
，
解得
a
＝，
，顶点坐标是（0，0）， ∴ 抛物线的解析式是
y
＝
将点
B
（2，
n
）的坐标代 入
y
＝
x
2
，得
n
＝＝2；
（
II
）由（
I
）知：点
B
的坐标为（2，2），
则点
B
关于
x
轴对称点
P
的坐标为（2，﹣2），

如图1，连接
AP
与
x
轴的交点为
Q
， 此时
AQ
+
BQ
最小，
设直线
AP
的解析式为< br>y
＝
kx
+
b
，
，
解得：
∴ 直线
AP
的解析式是
y
＝﹣
令
y
＝0，得
x
＝，
x
+，
即所求点
Q
的坐标是（，0）；
，0） （
III
）①∵点
C
（﹣2，0），点
Q
的坐标是（
∴
CQ
＝﹣（﹣2）＝，

故将抛物线
y
＝
x
2
向左平移个单位时，
A
′
C+
CB
′最短，
（
x
+）
2
； 此时抛物线 的函数解析式为
y
＝
②左右平移抛物线
y
＝
x
2< br>，
∵线段
A
′
B
′和
CD
的长是定值，
∴要使四边形
A
′
B
′
CD
的周长最短，只要使< br>A
′
D
+
CB
′最短；

第一种情况：如 果将抛物线向右平移，显然有
A
′
D
+
CB
′在增大， < br>∴不存在某个位置，使四边形
A
′
B
′
CD
的周长最 短；
第二种情况：设抛物线向左平移了
b
个单位，如图2，
则点
A
′和点
B
′的坐标分别为
A
′（﹣4﹣
b
，8） 和
B
′（2﹣
b
，2）．
∵
CD
＝2，
∴将点
B
′向左平移2个单位得
B
′′（﹣
b
，2），要 使
A
′
D
+
CB
′最短，只要使
A
′D
+
DB
′′
最短，
∵点
A
′关于
x
轴对称点的坐标为
A
′′（﹣4﹣
b
，﹣8），
由A
''和
B
''两点的坐标得：直线
A
′′
B
′′的解析式为
y
＝
要使
A
′
D
+
DB< br>′′最短，点
D
应在直线
A
′′
B
′′上，
将点
D
（﹣4，0）代入直线
A
′′
B
′′的解析式，解 得
b
＝．
x
+
b
+2．
∴将抛物线向左平移时 ，存在某个位置，使四边形
A
′
B
′
CD
的周长最短，
此时抛物线的函数解析式为
y
＝（
x
+）
2
．

10．解：（1）∵抛物线
y
＝
ax< br>2
+
bx
+3经过点
A
（1，0）、
B
（4 ，0），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式：
y
＝
x
+3；
（2）∵抛物线y
＝
ax
2
+
bx
+3经过点
A
（1 ，0），
B
（4，0），
∴
A
、
B
关于对称轴对称，
如图1，连接
BC
，

∴
BC
与对称轴的交点即 为所求的点
P
，此时
PA
+
PC
＝
BC
，
∴四边形
PAOC
的周长最小值为：
OC
+
OA
+
BC
，
∵
A
（1，0），
B
（4，0），
C
（0，3），
∴
OA
＝1，
OC
＝3，
BC
＝
∴
OC
+
AB
+
BC
＝1+3+5＝9，
∴在抛物线的对 称轴上存在点
P
，使四边形
PAOC
的周长最小，四边形
PAOC< br>周长的最小值
为9；
（3）设直线
BC
解析式为
y
＝
kx
+
n
，
把
B
、
C
两点坐标代入可得，解得，
＝＝5，
∴直线
BC
的解析式为
y
＝﹣
x
+3，
①当∠
BQM
＝90°时，如图2，

∵
M
在线段
BC
上
∴设
M
（
m
，﹣
m
+3），
∵∠
CMQ
＞90°，
∴只能
CM
＝
MQ
＝﹣
∵
MQ
∥
y
轴，
∴△
MQB
∽△
COB
，
∴，即，
m
+3，
解得：
m
＝
∴
M
（，

）；
②当∠
QMB
＝90°时，如图3，

∵∠
CMQ
＝90°，
∴只能
CM
＝
MQ
，
设
CM
＝
MQ
＝
m
，

∴
BM
＝5﹣
m
，
∵∠
BMQ
＝∠
COB
＝90°，∠
MBQ
＝∠
OBC
，
∴△
BMQ
∽△
BOC
，
∴
解得
m
＝
，即
，即
CM
＝
，

作
MN
∥
OB
，
∴，即，
∴
MN
＝，
∵
BC
的解析式为
y
＝﹣< br>当
x
＝
∴
M
（
时，
y
＝
， ）．
x
+3，
，
综上，在线段
BC
上存在这样的点< br>M
，使△
CQM
为等腰三角形且△
BQM
为直角三角形，点< br>M
的坐标为（

，）或（，）．