2020届江西省宜春市上高二中高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
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2020届江西省宜春市上高二中高三上学期第一次月考数学
(理)试题
一、单选题
1
.设
a,b,c
为实数
,
且
ab0
,
则下列不等式正确的是
( )
A.
11
ab
B.
ac
2
bc
2
C.
ba
ab
D.
a
2
abb
2
【答案】
D
【解析】对于
A
、
C
,令
a
2,b1,
可判断;对于
B
,取
c=0
,则
ac<
br>2
bc
2
可
判断;对于
D
,由
ab0
,可以得到
a
2
ab
,
abb
2
利用
不等式的传递性可判断
D
的正误
.
【详解】
对于
A
,令
a2,b1,
111
,1
,故
A
错误;
a2b
对于
B
,当
c=0
时,则
ac
2
bc
2
0
,故
B
错误;
对于
C
,则
对于
D
,
【点睛】
判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手:(
1
)利用不等式的性质直接判断;(2
)
利用函数式的单调性判断;(
3
)利用特殊值判断
. 2
.若集合
Ax2x13
,
B
x
1
1
ba
,
b1,a2
,则
,故
C
错误;
ab
ab
ab0,a
2
ab且
abb
2
,故
D
正确,故选
D.
<
br>
2x1
0
,则
AB
等于(
)
3x
C.
A.
1,
1
2
2,3
B.
2,3
1
,2
2
D.
1,
1
2
【答案】
D
【解析】分析:先解绝对值不等式得集合
A
,再解分式不等式得集合
B
,最后根据交集
定义求结果
.
详解:因为
2x13
,所以
32x13,1x2
因为
2x11
0
,所以
x
或
x>3,
3x2
1
,
2
第 1 页 共 17 页
因此
AB
1,
选
D.
点睛:集合的基本运算的关注点
(1)
看元素组成.集合是由元素组成的,
从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问
题的前提.
(2)
有些集合
是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于
解决.
(
3)
注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和
Venn
图.<
br>
3.不等式
A.9 B.18
【答案】C
【解析】略
4
.
若函数
f(x)
的定义域为
[2,2]
,则函数f(x1)f(12x)
的定义域为
( )
A.
C.36
•的解集为(4,b),则实数b的值为
D.48
1
,1
2
B.
,2
2
1
2
C.
2,
D.
3,
2
3
【答案】
A
<
br>【解析】因为
函数
f
x
的定义域为
2
,2
,所以函数
f
x1
f
1
2x
中有:
2x12
1
,解得<
br>x1
.
2
212x2
即
函数
f
x1
f
12x
<
br>的定义域为
故选
A.
点睛:解决复合函数定义域的要点
有两个:一是定义域指的是函数中
xx
的范围,二是
对于同一对应法则作用范围一样,
即括号中的范围是一样的
.
5
.已知全集
集合是
,,,则图中阴影部分表示的
1
,1
.
2
A
.
B
.
C
.
D
.
【答案】
C
第 2 页 共 17
页
【解析】阴影部分用集合表示为
【详解】
解:图中阴影
部分表示的集合
由
则
则
故选:
C
.
【点睛】
,
.
,
,只要求出
M
、
N
进行集合的运算即可.
,
正确理解集合
M
、
N
所表达的含义
,以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关
键.
6
.若函数
f
x
满足关系式
f
x
2f
A
.
1
【答案】
B
【解析】由消元法
求得解析式为:
f
x
【详解】
解
:
因为
f
x
2f
B.
1
1
3x
,则
f
2
的值为
x
C
.
3
2
D
.
3
2
2
x
,再求f
2
的值即可
.
x
1
3x
,
x
所以
f
3
1
2f
x
,
xx
联立可得
:
f
x
2
x
,
x
则
f
2
1(2)1
,
故选
A.
【点睛】
本题考查了消元法求函数解析式,属基础题
.
7
.关于
x
的不等式
于
A
.第一象限
【答案】
A
第 3 页 共 17 页
B
.第二象限
C
.第三象限
D
.第四象限
(xa)(xb)
0
解集为
{x|1x2 或x3}
,则点
P(ab,c)
位
(xc)
【解析】由分式不等式
的解集可得
a,b,c
的值,再判断点
P
位于的象限即可
.
【详解】
解:因为关于
x
的不等式
(xa)(xb)
0
解集为
{x|1x2 或x3}
,
(xc
)
由分式不等式的解集可得:
a1,b3,c2
,或
a3,b1,c2
,
即
ab2,
即点
P(2,2)
位于第一象限,
故选
A.
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法,属基础题
.
8
.
“
关于
x
的不等式
x
2
2axa0
对
xR
恒成立
”
的一个必要不充分条件是
A
.
0a1
【答案】
B
【解析】由命题间的充分必要性即可求解
.
【详解】
解:不等式
x
2
2axa0
对
xR
恒成立,
则
(2a)4a0
,解得
0a1
,
则
“
0a1
”
的一个必要不充分条件是
0a1
,
选项
A
为充要条件,
选项
C
为充分不必要条件,
选项
D
为既不充分也不必要条件,
故选
B.
【点睛】
本题考查了充分必要条件,属基础题
.
9
.若
正数
a,b
满足
4a3b10
,则
A
.
3
22
【答案】
A
B
.
122
2
B
.
0a1
C
.
0a
1
2
D
.
a1
或
a0
11
的最小值为( )
2abab
C
.
2
32
D
.
22
m2ab
【解析】设
,解得
amn,b2nm
,又由
4a3b10
,得
n
ab
m2n1
,再利用基本不等式,即可求解其最小值
.
第 4 页 共 17 页
【详解】
由题意,设
m2ab
,解得
amn,b2nm
其中
m
0,n0
,
nab
因为
4a3b10<
br>,所以
4
mn
3
2nm
10
,整理得
m2n1
,
又由
11
11
11
2nm2nm
m2n
332322
2ababmn
mn
mnmn
,
2nm
,即
m2n
等号成立,
mn
11
所以的最小值为
322
.
2abab
当且仅当
【点睛】
本题主要考查了换元法的应用,
以及利用基本不等式求最值问题,其中解答中合理利用
换元法,以及准确利用基本不等式求解是解答的关
键,着重考查了分析问题和解答问题
的能力,属于中档试题
.
ax
2
2y
2
10.若
x[1,2]
,
y[2,3]
时,
10
,恒成立,则
a
的取值范围( )
xy
A.
(1,)
B.
(,1)
C.
[1,)
D.
(,1)
【答案】A <
br>
y
y
【解析】试题分析:由题意可知:不等式
a2<
br>
对于
x[1,2]
,
y[2,3]
恒
x
x
成立,令
t
2
y
2
,则
1t3
,∴
at2t
在
1,3
上恒成立,
x
2
1
1
∵
y
2t
2
t2
t
,∴
y<
br>max
1
,∴
a1
.故答案为:A.
4
8
【考点】(1)函数最值的应用;(2)基本不等式在最值中的应用.
11
.若实数
x,y0
满足
x3yxy1
,求
3x
4y
的最小值为(
)
A
.
1346
【答案】
D
【解析】由题可得
y1
,所以
x
B
.
1346
C
.
1473
D
.
4
3
13y<
br>6
4
y1
13
,
,进而得出
3x4y
y1
1y
第 5 页 共 17 页
2
t1,
0,
,利用双勾函数的性质得出答案。
ty1
令,则
3
【详解】
由题可得
x
1y
13y
,当
y1时上式不成立,故
y1
所以
x
13y
1
且
x,y0
,则
y1
或
0y
1y
3
所以
3x4y
3
13y
9y36
4y4y4
y1
13
<
br>1yy1y1
2
t1,
0,
ty1
令,则
3
则有
g
t
66
6
4t
(双勾函数),令
4t
,解得
t
tt
2
2
又因为
t
1,
0,
,
3
6835
2
2
g
t
min
4
9
所以当
t
时,
2
3
33
3
3
所以
3x
4y
的最小值为
故选
D.
【点睛】
本题主要考查双勾函数,解题的关键时得出
3x4y
题。
12
.设集合
A
354
13
33
6
4
y1
13
,属于一般
y1
x,y
x4
2
y
2<
br>1,B
x,y
xt
<
br>
yat2
22
1
,如
果命题<
br>“
tR,AB
”
是真命题,则实数
a
的取值范围是
A
.
,0
4
,
3
D
.
,0
B
.
0,
4
3
C
.
0,
4
3
【答案】
C
4
,
3
【解析】由不等式有解问题可得:原命题可转化为关于实数
t
的不等式
第 6 页
共 17 页
(a
2
1)t
2
4(a2)t
160
有解,再运算即可得解
.
【详解】
解:由
“
tR,AB
”
是真命题,
即
存在实数
t
使得圆
(x4)y1
与圆
(xt)(yat
2)1
有交点,
则存在实数
t
使得
(4t)
2
(0at2)
2
2
,
即关于实数
t
的不等式
(a1)t4(a2)t160
有解,
即
16(a2)4(a1)160
,
解得
0a
故选
C.
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系及不等式有解问题,属中档题
.
二、填空题
2
(x1)
13.设函数
f(
x)
4x1
2222
22
22
4
,
3
(x1)
(x1)
,
则使得≥1的自变量的取值范围是
【答案】
【解析】略
14
.
函数
f
x
xaxlnx
aR
.则
”
函数
f
x
既有极大值又
有极小值
”
的充
2
要条件为
______
【答案】
a22
【解析】由题意可知,方程
2x
2<
br>ax10
有两不等正实数解,列方程组运算可得解
.
【详解】
解:因为
f
x
xaxlnx
aR
,
2
1
2x
2
ax1
所以
f(x)2xa
=
(
x0
),
<
br>x
x
'
由函数
f
x
既有极大值
又有极小值,
即方程
2x
2
ax10
有两不等正实数解,
第 7 页 共 17 页
a
2
80
,解得
a22
,
即
a
0
2
故答案为:
a22
.
【点睛】
本题考查了函数的极值及二次方程区间根问题,属中档题
.
15
.若函数<
br>f
x
x1xa
的最小值为
1
,
则实数
a
_________
【答案】
a0
或
2
【解析】由绝对值不等式的性质可得
x1xa
的最小值为
a1
,运算可得解
.
【详解】
解:由绝对值不等式的性质有,
x1xa(x1)(
xa)a1
,
即
a11
,
即
a0
或
2
,
故答案为:
a0
或
2
.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的性质,属中档题
.
2x2,x0
4
gxkx
fx
16
.设函数
,
kR
,
若存在唯一的整
数
x
,
2
3
x,x0
使得
f
x
g
x
x
0<
br>,则
k
的取值范围是
________
3
3
【答案】
,3
,
57
【解析】分别作出函数
yf(x)
与
yg(x)
的图像,再观察交点所在区间即可得解
.
【详解】
2x2,x0
fx
解:函数
的大致图像如图所示,
2
x,x0
当
k0
时,
x0
,
f(x)g(x)
无解,
x
0
,
f(x)g(x)
不止一个整数解,
当
k0<
br>时,如
①
所示,此时
x0
,由图像可知
f(x)g(x)
无整数解或不止一个整数
解,当
k0
时,如
②
所示,若直
线
yk
x
4
3
第 8 页 共 17 页
经过点
C
1,1
时,
此时
x0
,
f(x)g(x)
无整数解,故当
kk
AC
3
时,恰有
一个整数解
x1
,而此时
x0,
f(x)g(x)
无解,
如图
③
所示,若直线<
br>yk
x
4
经过点<
br>E
2,2
时,此时
x0
,
f(x)
g(x)
无
3
整数解,
x0
时,
f(x)g(x)
无整数解,
如图
④
所示,若直线yk
x
4
,
时,此时
x0
,
f(x)g(x)
无整
经过点
D
11
3
f(x)g(x)
恰有一个
整数解
x2
,数解,
x0
时,即
如图
⑤<
br>所示,若直线
yk
x
33
k
EA
kk
DA
,
57
4
经过点
F
3,1
时,此时
x
0
,
f(x)g(x)
无整
3
数解,
x0<
br>时,
f(x)g(x)
有两个整数解
x2和x1
,不合题意,
综上,
k
的取值范围是
,3
,
.
57
3
3
【点睛】
本题考查了函数图像的作法及数形结合的数学思想方法,属中档题
.
三、解答题
17.已知函数
(1)求不等式
(2)若不等式
【答案
】(1)
的解集;
有解,求实数的取值范围.
;(2)
,即
,可以讨论去绝对值号,
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由不等式
也可移项平方求解
(Ⅱ)由不等式有解,即
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有解.设
,则问题可转化为
出的最小值即可得解.
,即,利用绝对值不等式的性质,求
试题解析:(Ⅰ)不等式
由不等式
解得:
所以不等式
或,
的解集为
,
两边平方化简得:
.
有解,即
,
,
有解. (Ⅱ)由条件知,不等式
设
而<
br>由解得:或
,则问题可转化为
,所以的取值范围是.
【考点】绝对值不等式的解法
【方法点睛】(
1
)理解绝对值的几
何意义,表示的是数轴的上点到原点的距离
,
由
于到
1
、
2
的距离之和大于
2
,因此不再
1
和
2
之间,在1
左边和
2
的右边找
.
(
2
)
对的应
用
.
(
3
)掌握一般不等式的解法:
,
18
.已知
函数
f(x)ax
2
2xc
(
1
)求函数
f
(x)
的解析式;
(
2
)若对任意的实数
x[,]<
br>,都有
f(x)2mx1
成立,求实数
m
的取值范围.
【答案】(
1
)
a1,c2
;(
2
)
m
.
(a,cN
)
满足:
①
f(1)5
;
②
6f(2)11
.
13
22
9
4
【解析】(
1
)把条件
①
f
1
5
;
②
6f
2
11
.
代入到
f
x
中求出
a、c
即可;
fx)2mx1
恒成立,设
g
x
f
x
2mxx
2
2
1
m
x2
(
2
)不等式
(
则分
2
1m
2
1
,
2
1m
2
1
两种情况讨论,只需
3
29
g
x
max
g
3m1
即可
.
2
4
【详解】
(
1
)f
1
a2c5,c3a
……………①
第 10 页 共 17 页
又
∵
6f
2
11
,即
64ac411
……②
将①
式代入
②
式得
14
a
,又
a
,cN
*
,
a1,c2
.
f(x)x
2
2x2
33
2
(
2
)由(
1
)得
f
x
x2x
2
设
g
x
f
x
2mxx2
1m
x2
2①
当
2
1m
2
1
,即
m2
时,
g
x
max
g
29
3
29
3m
3m
1
,,故只需
24
4
解得
m
2
5
,与
m2
不合,舍去
12
②
当
<
br>2
1m
2
13
1
13
gxg
1
,即
m2
时,
max<
br>
m
,故只需
m1
,
4
2
4
99
,又
m2
,故
m
44
9
综上,
m
的取值范围为
m
4
解得
m
【点睛】
本题考查学生利用待定系数法求函数
解析式的能力,理解函数最值及几何意义的能力,
理解不等式恒成立的能力,属中档题
. 19
.已知函数
f
x
20192018
的定义域是集合
A
,
函数
1x1x
g
x
20202019
的定义域是集合
B
,
若
ABA
,
求实数
a
的取值范围
.
1axx2a
1
a0
2
【答案】
<
br>【解析】先由函数定义域的求法求集合
A,B
,
再利用集合间的关系求实数
a
的范围即
可
.
【详解】
解
:
要使函数
f(x)
有意义
,
需
1x0
1x0
解得
1x1
,即
Ax|1x1
,
要使函数
g(
x)
有意义
,
需
1ax0
x1a
即
x2a0x2a
由于
函数的定义域不是空集
,
所以有
2aa1
,
即
a1
,
所以
第 11 页 共 17 页
B
x|2axa1
,
由于
ABA
,
即
BA
,
a11
1
则有
2a1
解得
a0
,
2
a1
故实数
a
的取值范围为
【点睛】
本题考查了函数定义域的求法及集合间的关系,属中档题
.
1
a0
.
2
x12
22<
br>20
.命题
p
:实数
x
满足
x4ax3a0<
br>
a0
,命题
q
:实数
x
满足
x3
x2
0
(1)
若a=1
,且
pq
为真,求实数
x
的取值范围;
(2)
若
q
p
,求实数
a
的取值范围.<
br>
【答案】(
1
)
2,3
;(
2
)
0,
3,
3
2
【解析】【详解】试题分析:首先根
据命题的要求,解出命题
p
和命题
q
所表示的含义,
第一步
a=1
,解出一元二次不等式得出
x
的范围,再解不等式组得出命题
q
所表示的
x
的范围,由于
p
且
q
为真,说明
p<
br>、
q
均为真,求出交集;第二步,
q
是非
p
的充分条
件,先求出非
p
所表示的集合,根据
q
所表示的集合是非
p
所表示的集合的子集,求出
实数
a
的范围
.
试题解析:
(1)
由于
a
=
1
,则x
2
-
4ax
+
3a
2
<0⇔x
2<
br>-
4x
+
3<0⇔1
p
:
1
x12
得
2
q
:
2
p∧q
为真,所
以
p
,
q
均是真命题,解不
x3
x
2
0
1x3
得
2
x
的取值范围是
(2,3)
.
等式组
2x3
(2)
p
:
x
2
-4ax
+
3a
2
≥0
,
a>0
,
x<
br>2
-
4ax
+
3a
2
≥0⇔(x
-
a)(x
-
3a)≥0⇔x≤a
或
x≥3a
,所以
p:
x≤a
或
x≥3a
,
2
A=
{x|x≤a
或
x≥3a}
,由
(1)
知
q
:设
B
=
{x|2
q⇒
p,
所以
BA
,所以
3≤a
或
3a≤2
,即<
br>0+
∞)
.
第 12 页 共 17 页
2
2
或
a≥3
,所以实数
a
的取值范围是
(0,]
∪[3
,
3
3
【点睛】
根据命
题
p
或
q
,
p
且
q
,非
p
的真假,求参数的取值范围问题,首先要搞清命题
p
,
q
q
所表示
的参数的范围,
q
要求确定参数的范围;的含义,解出命题
p
,再根据题意中
p
,
同样根据
q
是非
p
的充分条件,求参数的取值
范围,要从集合的包含关系的角度去处理
.
21.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的
水电站,过去50年的水文资料显示,
水库年入流量
X
(年入流量:一年内上游来水与
库区降水之和.单位:亿立方米)都在
40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过
120的年份有35年,超过
120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并
假设各年的年入
流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电
机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量
X
限制,并有如下关系:
年入流量
X
发电量最多可运行台数
若某台发电机运行
,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损
800万元,欲使水电站年总利润
的均值达到最大,应安装发电机多少台?
【答案】(1)0.9477;(2)8620, 2. <
br>【解析】试题分析:(1)先求
P
1
P(40X80)
,
P
2
P(80X120)
,
40X80
1
80X120
2
X120
3
P3
P(X120)
,再利用二项分布求解;(2)记水电站年总利润为
Y(单位:万元)
①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机,分别求出
EY
,比较
大小,再确定应安装发电机台数.
(1)依题意,
P
1
P(40X80)
10
0.2
,
50
P2
P(80X120)
355
0.7
,
P
3
P(X120)0.1
,
5050
由二项分布,在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为:
991
01
PC
4
(1P
3
)
4
C
4
(1P
3
)
3
P
3
()
4
4()
3
0.9477
.
101010
(2)记水电站年总利润为
Y
(单位:万元)
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,
对应的年利润
Y5000
,
EY500015000
.
第 13 页 共 17 页
②安装2台发电机.
当
40
X80
时,一台发电机运行,此时
Y50008004200
,
因此
P(y4200)P(40X80)P
1
0.2
,
当
X80
时,两台发电机运行,此时
Y5000210000
,
因此
P(Y10000)P(X80)P
1
P
2<
br>0.8
.由此得
Y
的分布列如下:
Y
P
4200
0.2
10000
0.8
所以
EY420011000028840
.
③安装3台发电机.
依题意,当
40X80
时,一台发电机运行,此时
Y500016003400
,
因此
P(Y3400)P(40X80)P
1
0.2
;
当
80X120
时,两台发电机运行,此时
Y50002800
9200
,
此时
P(Y9200)P(80X120)P
20.7
,
当
X120
时,三台发电机运行,此时
y50
00315000
,
因此
P(Y15000)P(X120)P
3
0.1
,
由此得
Y
的分布列如下:
Y
P
34
0.2
9200
0.8
15000
0.1
所以
EY34000.292000.7150000.18620
.
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.
【考点】二项分布,随机变量的均值.
22
.如图,在四棱锥
PABCD
中,底面
ABCD
为平行四边形,
PA⊥
底面
ABCD,
ABC60
,
AB3
,
AD23
,
AP3
.
第 14 页 共 17 页
(1)
求证:平面
PCA⊥
平面
PCD
;
(2)
设
E
为侧棱
PC
上的一点,若直线
BE
与
底面
ABCD
所成的角为
45°
,求二面角
EABD
的
余弦值.
【答案】
(Ⅰ)
详见解析;
(Ⅱ)
5
.
5
PA⊥CD
,【解析】(
Ⅰ
)推导出
CD⊥AC
,从而
CD⊥
平面
PCA
,由此能证明平面
PCA⊥
平面<
br>PCD
.
(
Ⅱ
)以
A
为坐标原点,
AB
,
AC
,
AP
分别为
x
,
y
,
z
轴,建立空间直角坐标系,利
用向量法能求出二面角
E
﹣AB
﹣
D
的余弦值.
【详解】
解:
(Ⅰ)
在平行四边形
ABCD
中,
∠ADC=60°
,
C
D3
,
AD23
,由余弦定理
得
AC
2AD
2
CD
2
2AD?CDcos
ADC1
232233cos60
0
9
,
∴
AC2
CD
2
AD
2
,
∴∠ACD=90°
,
即
CD⊥AC
,
又
PA⊥
底面
ABCD
,
CD
底面
ABCD
,
∴PA⊥CD
,
又
ACCDC
,
∴CD⊥
平面
PCA.
又<
br>CD
平面
PCD
,
∴
平面
PCA⊥
平面
PCD.
(Ⅱ)
如图,以
A
为坐标原点,
AB,
AC
,
AP
所在直线分别为
x
轴,
y
轴,
z
轴,建立空
间直角坐标系
.
则
A
0,0,0
,
B
3,0,0
,
C
0,3,0
,
D3,3,0
,
P
0,0,3
.
第 15 页 共 17 页
设
E
x,y,z
,
PEλPC
0λ1
,
则
x
,y,z3
λ
0,3,3
∴x=0
,
y3λ
,
z33λ
,即点
E
的坐标为
0,3λ,33λ
∴
BE3,3λ,33λ
又平面
ABCD
的一个法
向量为
n
0,0,1
cosBE,
n
∴sin45°
解得
λ
33λ
39λ
33λ
2
2
1
3
∴<
br>点
E
的坐标为
0,1,2
,
∴
AE
0,1,2
,
AB
设平面
EAB的法向量为
m
x,y,z
3,0,0
,
m?AB0
x0
由
得
y2z0
m?AE0
令
z=1<
br>,得平面
EAB
的一个法向量为
m
0,2,1
∴
cosm,n
m?n15
.
mn5
5
又二面角
E-AB-D
的平面角为锐角,
所以,二面角
E-AB-D
的余弦值为
【点睛】
本题考查
面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面
间的位置关系等基础知识,
考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
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5
5
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