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2020届江西省宜春市上高二中高三上学期第一次月考数学
（理）试题

一、单选题
1
．设
a,b,c
为实数
,
且
ab0
,
则下列不等式正确的是
( )
A.
11


ab
B.
ac
2
bc
2
C.
ba


ab
D.
a
2
abb
2

【答案】
D
【解析】对于
A
、
C
，令
a 2,b1,
可判断；对于
B
，取
c=0
，则
ac< br>2
bc
2
可
判断；对于
D
，由
ab0
，可以得到
a
2
ab
，
abb
2
利用 不等式的传递性可判断
D
的正误
.
【详解】

对于
A
，令
a2,b1,
111
,1
，故
A
错误；

a2b
对于
B
，当
c=0
时，则
ac
2
bc
2
0
，故
B
错误；

对于
C
，则
对于
D
，
【点睛】
判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（
1
）利用不等式的性质直接判断；（2
）
利用函数式的单调性判断；（
3
）利用特殊值判断
. 2
．若集合
Ax2x13
，
B

x
1 1
ba

，
b1,a2
，则

，故
C
错误；

ab
ab
ab0,a
2
ab且
abb
2
，故
D
正确，故选
D.
< br>
2x1

0

，则
AB
等于（

）

3x

C.


A.

1,


1


2

2,3

B.

2,3



1

,2



2

D.

1,


1



2

【答案】
D
【解析】分析：先解绝对值不等式得集合
A
，再解分式不等式得集合
B
，最后根据交集
定义求结果
.
详解：因为
2x13
，所以
32x13,1x2

因为
2x11
0
，所以
x
或
x>3,
3x2


1


，

2

第 1 页 共 17 页
因此
AB

1,

选
D.
点睛：集合的基本运算的关注点

(1)
看元素组成．集合是由元素组成的， 从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问
题的前提．

(2)
有些集合 是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于
解决．

( 3)
注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和
Venn
图．< br>
3．不等式
A.9 B．18
【答案】C
【解析】略
4
．
若函数
f(x)
的定义域为
[2,2]
，则函数f(x1)f(12x)
的定义域为
( )
A.


C．36
•的解集为(4，b)，则实数b的值为
D.48

1

,1



2

B.

,2


2

1



2

C.

2,
D.

3,


2


3


【答案】
A
< br>【解析】因为
函数
f

x

的定义域为
2 ,2
，所以函数
f

x1

f

1 2x

中有：


2x12
1
，解得< br>x1
.

2

212x2
即
函数
f

x1

f

12x
< br>的定义域为


故选
A.
点睛：解决复合函数定义域的要点 有两个：一是定义域指的是函数中
xx
的范围，二是
对于同一对应法则作用范围一样， 即括号中的范围是一样的
.
5
．已知全集
集合是

，，，则图中阴影部分表示的

1

,1

.
2


A
．
B
．
C
．
D
．

【答案】
C
第 2 页 共 17 页

【解析】阴影部分用集合表示为
【详解】

解：图中阴影 部分表示的集合
由
则
则
故选：
C
．

【点睛】

，

．

，
，只要求出
M
、
N
进行集合的运算即可．

，


正确理解集合
M
、
N
所表达的含义 ，以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关
键．

6
．若函数
f

x

满足关系式
f

x

2f

A
．
1
【答案】
B
【解析】由消元法 求得解析式为：
f

x


【详解】

解
:
因为
f

x

2f

B．
1


1


3x
，则
f

2

的值为

x

C
．

3

2
D
．
3

2
2
x
，再求f

2

的值即可
.
x

1


3x
，


x

所以
f

3

1

2f x

，


xx

联立可得
:
f

x


2
x
，

x
则
f

2

1(2)1
，

故选
A.
【点睛】

本题考查了消元法求函数解析式，属基础题
.
7
．关于
x
的不等式
于

A
．第一象限

【答案】
A
第 3 页 共 17 页
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限

(xa)(xb)
0
解集为
{x|1x2 或x3}
，则点
P(ab,c)
位
(xc)

【解析】由分式不等式 的解集可得
a,b,c
的值，再判断点
P
位于的象限即可
.
【详解】

解：因为关于
x
的不等式
(xa)(xb)
0
解集为
{x|1x2 或x3}
，

(xc )
由分式不等式的解集可得：
a1,b3,c2
，或

a3,b1,c2
，

即
ab2,

即点
P(2,2)
位于第一象限，

故选
A.
【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，属基础题
.
8
．
“
关于
x
的不等式
x
2
2axa0
对
xR
恒成立
”
的一个必要不充分条件是

A
．
0a1

【答案】
B
【解析】由命题间的充分必要性即可求解
.
【详解】

解：不等式
x
2
2axa0
对
xR
恒成立，

则
(2a)4a0
，解得
0a1
，

则
“
0a1
”
的一个必要不充分条件是
0a1
，

选项
A
为充要条件，

选项
C
为充分不必要条件，

选项
D
为既不充分也不必要条件，

故选
B.
【点睛】

本题考查了充分必要条件，属基础题
.
9
．若 正数
a，b
满足
4a3b10
，则
A
．
3 22

【答案】
A
B
．
122

2
B
．
0a1
C
．
0a
1

2
D
．
a1
或
a0

11

的最小值为（ ）

2abab
C
．
2
32
D
．
22


m2ab
【解析】设

，解得
amn,b2nm
，又由
4a3b10
，得
n ab

m2n1
，再利用基本不等式，即可求解其最小值
.
第 4 页 共 17 页

【详解】

由题意，设


m2ab
，解得
amn,b2nm
其中
m 0,n0
，


nab
因为
4a3b10< br>，所以
4

mn

3

2nm

10
，整理得
m2n1
，

又由
11 11

11

2nm2nm





m2n

332322
2ababmn

mn

mnmn
，

2nm

，即
m2n
等号成立，

mn
11

所以的最小值为
322
.
2abab
当且仅当
【点睛】

本题主要考查了换元法的应用， 以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用
换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关 键，着重考查了分析问题和解答问题
的能力，属于中档试题
.
ax
2
2y
2
10．若
x[1,2]
，
y[2,3]
时，
10
，恒成立，则
a
的取值范围（ ）
xy
A．
(1,)
B．
(,1)
C．
[1,)
D．
(,1)

【答案】A < br>
y

y
【解析】试题分析：由题意可知：不等式
a2< br>

对于
x[1,2]
，
y[2,3]
恒
x

x
成立，令
t
2
y
2
，则
1t3
，∴
at2t
在

1,3

上恒成立，
x
2

1

1
∵
y 2t
2
t2

t


，∴
y< br>max
1
，∴
a1
．故答案为：A．

4

8
【考点】（1）函数最值的应用；（2）基本不等式在最值中的应用.
11
．若实数
x,y0
满足
x3yxy1
，求
3x 4y
的最小值为（

）

A
．
1346

【答案】
D
【解析】由题可得
y1
，所以
x
B
．
1346
C
．
1473
D
．
4

3
13y< br>6
4

y1

13
，

，进而得出
3x4y
y1
1y
第 5 页 共 17 页

2

t1,

0,

，利用双勾函数的性质得出答案。

ty1
令，则

3

【详解】

由题可得
x

1y

13y
，当
y1时上式不成立，故
y1

所以
x
13y
1

且
x,y0
，则
y1
或
0y

1y
3
所以
3x4y
3

13y

9y36
4y4y4

y1

13
< br>1yy1y1
2

t1,

0,


ty1
令，则

3

则有
g

t


66
6

4t
（双勾函数），令
4t
，解得
t
tt
2
2


又因为
t

1,



0,

，

3


6835

2

2
g

t

min
4



9
所以当
t
时，
2
3

33



3
3
所以
3x 4y
的最小值为

故选
D.
【点睛】

本题主要考查双勾函数，解题的关键时得出
3x4y
题。

12
．设集合
A
354
13

33
6
4

y1

13
，属于一般
y1

x,y

x4

2
y
2< br>1,B


x,y

xt

< br>
yat2

22
1
，如

果命题< br>“
tR,AB
”
是真命题，则实数
a
的取值范围是

A
．

,0


4
,


3

D
．

,0

B
．

0，




4

3

C
．

0，


4


3


【答案】
C

4

,



3
【解析】由不等式有解问题可得：原命题可转化为关于实数
t
的不等式
第 6 页 共 17 页

(a
2
1)t
2
4(a2)t 160
有解，再运算即可得解
.
【详解】

解：由
“
tR,AB
”
是真命题，

即 存在实数
t
使得圆
(x4)y1
与圆
(xt)(yat 2)1
有交点，

则存在实数
t
使得
(4t)
2
(0at2)
2
2
，

即关于实数
t
的不等式
(a1)t4(a2)t160
有解，

即
16(a2)4(a1)160
，

解得
0a
故选
C.
【点睛】

本题考查了圆与圆的位置关系及不等式有解问题，属中档题
.


二、填空题
2


(x1)
13．设函数
f( x)



4x1
2222
22
22
4
，

3
(x1)
(x1)
， 则使得≥1的自变量的取值范围是
【答案】
【解析】略

14
． 函数
f

x

xaxlnx

aR
．则
”
函数
f

x

既有极大值又 有极小值
”
的充
2
要条件为
______
【答案】
a22

【解析】由题意可知，方程
2x
2< br>ax10
有两不等正实数解，列方程组运算可得解
.
【详解】

解：因为
f

x

xaxlnx

aR

，

2
1
2x
2
ax1
所以
f(x)2xa
=
（
x0
），
< br>x
x
'
由函数
f

x

既有极大值 又有极小值，

即方程
2x
2
ax10
有两不等正实数解，

第 7 页 共 17 页


a
2
80


，解得
a22
，

即

a

 0

2
故答案为：
a22
.
【点睛】

本题考查了函数的极值及二次方程区间根问题，属中档题
.
15
．若函数< br>f

x

x1xa
的最小值为
1
， 则实数
a
_________
【答案】
a0
或
2

【解析】由绝对值不等式的性质可得
x1xa
的最小值为
a1
，运算可得解
.
【详解】

解：由绝对值不等式的性质有，
x1xa(x1)( xa)a1
，

即
a11
，

即
a0
或
2
，

故答案为：
a0
或
2
.
【点睛】

本题考查了绝对值不等式的性质，属中档题
.

2x2,x0
4

gxkx
fx
16
．设函数


，



kR

,
若存在唯一的整 数
x
，
2
3


x,x0
使得
f

x

g

x

x
0< br>，则
k
的取值范围是
________

3
3


【答案】

,3



,


57
【解析】分别作出函数
yf(x)
与
yg(x)
的图像，再观察交点所在区间即可得解
.
【详解】


2x2,x0
fx
解：函数


的大致图像如图所示，

2
x,x0

当
k0
时，
x0
，
f(x)g(x)
无解，
x 0
，
f(x)g(x)
不止一个整数解，

当
k0< br>时，如
①
所示，此时
x0
，由图像可知
f(x)g(x)
无整数解或不止一个整数
解，当
k0
时，如
②
所示，若直 线
yk

x


4



3

第 8 页 共 17 页

经过点
C

1,1

时，

此时
x0
，
f(x)g(x)
无整数解，故当
kk
AC
3
时，恰有
一个整数解
x1
，而此时
x0，
f(x)g(x)
无解，

如图
③
所示，若直线< br>yk

x


4


经过点< br>E

2,2

时，此时
x0
，
f(x) g(x)
无
3

整数解，
x0
时，

f(x)g(x)
无整数解，

如图
④
所示，若直线yk

x


4

,

时，此时
x0
，
f(x)g(x)
无整

经过点
D

11
3


f(x)g(x)
恰有一个 整数解
x2
，数解，
x0
时，即

如图
⑤< br>所示，若直线
yk

x
33

k
EA
kk
DA

，
57


4


经过点
F

3,1

时，此时
x 0
，
f(x)g(x)
无整
3

数解，
x0< br>时，

f(x)g(x)
有两个整数解
x2和x1
，不合题意，

综上，
k
的取值范围是

,3



,

.
57

3

3



【点睛】

本题考查了函数图像的作法及数形结合的数学思想方法，属中档题
.

三、解答题
17．已知函数
（1）求不等式
（2）若不等式
【答案 】（1）
的解集；
有解，求实数的取值范围.
；（2）
，即

，可以讨论去绝对值号，
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由不等式
也可移项平方求解
（Ⅱ）由不等式有解，即
第 9 页 共 17 页
有解.设

，则问题可转化为
出的最小值即可得解.
，即，利用绝对值不等式的性质，求
试题解析：（Ⅰ）不等式
由不等式
解得：
所以不等式
或，
的解集为
，
两边平方化简得：
.
有解，即
，
，
有解. （Ⅱ）由条件知，不等式
设
而< br>由解得：或
，则问题可转化为
，所以的取值范围是.
【考点】绝对值不等式的解法

【方法点睛】（
1
）理解绝对值的几 何意义，表示的是数轴的上点到原点的距离
,
由
于到
1
、
2
的距离之和大于
2
，因此不再
1
和
2
之间，在1
左边和
2
的右边找
.
（
2
）
对的应 用
.
（
3
）掌握一般不等式的解法：
，
18
．已知 函数
f(x)ax
2
2xc
（
1
）求函数
f (x)
的解析式；

（
2
）若对任意的实数
x[,]< br>，都有
f(x)2mx1
成立，求实数
m
的取值范围．

【答案】（
1
）
a1,c2
；（
2
）
m
.
(a,cN

)
满足：
①
f(1)5
；
②
6f(2)11
.
13
22
9

4
【解析】（
1
）把条件
①
f

1

5
；
②
6f

2

11
.
代入到
f

x

中求出
a、c
即可；

fx）2mx1
恒成立，设
g

x

f

x

2mxx
2
2

1 m

x2

（
2
）不等式
（
则分

2

1m

2
1
，

2

1m

2
1
两种情况讨论，只需

3

29
g

x

max
g
 
3m1
即可
.

2

4
【详解】

（
1
）f

1

a2c5,c3a
……………①
第 10 页 共 17 页

又
∵
6f

2

11
，即
64ac411
……②
将①
式代入
②
式得

14
a
，又
a ,cN
*
，
a1,c2
.
f(x)x
2
2x2

33
2
（
2
）由（
1
）得
f

x

x2x 2

设
g

x

f

x

2mxx2

1m

x2

2①
当

2

1m

2
1
，即
m2
时，
g

x

max
g
29

3

29
3m

3m 1
，，故只需

24
4

解得
m
2 5
，与
m2
不合，舍去

12
②
当
< br>2

1m

2
13

1

13
gxg
1
，即
m2
时，

max< br>
m
，故只需
m1
，

4
2

4
99
，又
m2
，故
m

44
9
综上，
m
的取值范围为
m

4
解得
m
【点睛】

本题考查学生利用待定系数法求函数 解析式的能力，理解函数最值及几何意义的能力，
理解不等式恒成立的能力，属中档题
. 19
．已知函数
f

x


20192018

的定义域是集合
A
,
函数
1x1x
g

x


20202019

的定义域是集合
B
,
若
ABA
,
求实数
a
的取值范围
.
1axx2a
1
a0

2
【答案】
< br>【解析】先由函数定义域的求法求集合
A,B
，

再利用集合间的关系求实数
a
的范围即
可
.
【详解】

解
:
要使函数
f(x)
有意义
,
需


1x0

1x0

解得
1x1

，即
Ax|1x1

，

要使函数
g( x)
有意义
,
需



1ax0

x1a

即

x2a0x2a

由于 函数的定义域不是空集
,
所以有
2aa1
,
即
a1
,
所以
第 11 页 共 17 页

B

x|2axa1

，

由于
ABA
，

即
BA
，


a11

1
则有

2a1

解得
a0
,
2

a1

故实数
a
的取值范围为

【点睛】

本题考查了函数定义域的求法及集合间的关系，属中档题
.
1
a0
.
2

x12

22< br>20
．命题
p
：实数
x
满足
x4ax3a0< br>
a0

，命题
q
：实数
x
满足

x3


x2
0

(1)
若a＝1
，且
pq
为真，求实数
x
的取值范围；
(2)
若
q

p
，求实数
a
的取值范围．< br>
【答案】（
1
）

2,3

；（
2
）

0,



3,


3


2


【解析】【详解】试题分析：首先根 据命题的要求，解出命题
p
和命题
q
所表示的含义，
第一步
a=1
，解出一元二次不等式得出
x
的范围，再解不等式组得出命题
q
所表示的
x
的范围，由于
p
且
q
为真，说明
p< br>、
q
均为真，求出交集；第二步，
q
是非
p
的充分条
件，先求出非
p
所表示的集合，根据
q
所表示的集合是非
p
所表示的集合的子集，求出
实数
a
的范围
.
试题解析：

(1)
由于
a
＝
1
，则x
2
－
4ax
＋
3a
2
<0⇔x
2< br>－
4x
＋
3<0⇔1所以
p
：
1 ，解不等式组

x12


得
2，所以
q
：
2，由于
p∧q
为真，所 以
p
，
q
均是真命题，解不

x3

x 2
0


1x3

得
2 ，所以实数
x
的取值范围是
(2,3)
．

等式组

2x3

(2)
p
：
x
2
－4ax
＋
3a
2
≥0
，
a>0
，
x< br>2
－
4ax
＋
3a
2
≥0⇔(x
－
a)(x
－
3a)≥0⇔x≤a
或
x≥3a
，所以
p：
x≤a
或
x≥3a
，
2，设
A＝
{x|x≤a
或
x≥3a}
，由
(1)
知
q
：设
B
＝
{x|2．由于
q⇒
p，
所以
BA
，所以
3≤a
或
3a≤2
，即< br>0＋
∞)
．

第 12 页 共 17 页
2
2
或
a≥3
，所以实数
a
的取值范围是
(0,]
∪[3
，
3
3

【点睛】

根据命 题
p
或
q
，
p
且
q
，非
p
的真假，求参数的取值范围问题，首先要搞清命题
p
，
q
q
所表示 的参数的范围，
q
要求确定参数的范围；的含义，解出命题
p
，再根据题意中
p
，
同样根据
q
是非
p
的充分条件，求参数的取值 范围，要从集合的包含关系的角度去处理
.
21．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的 水电站，过去50年的水文资料显示，
水库年入流量
X
(年入流量：一年内上游来水与 库区降水之和.单位：亿立方米）都在
40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过 120的年份有35年，超过
120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并 假设各年的年入
流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电 机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
X
限制，并有如下关系:
年入流量
X

发电量最多可运行台数

若某台发电机运行 ，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损
800万元，欲使水电站年总利润 的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2. < br>【解析】试题分析：（1）先求
P
1
P(40X80)
，
P
2
P(80X120)
，
40X80

1
80X120

2
X120

3
P3
P(X120)
，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为
Y（单位：万元）
①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出
EY
，比较
大小，再确定应安装发电机台数.
（1）依题意，
P
1
P(40X80)
10
0.2
，
50
P2
P(80X120)
355
0.7
，
P
3
P(X120)0.1
，
5050
由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：
991
01
PC
4
(1P
3
)
4
C
4
(1P
3
)
3
P
3
()
4
4()
3
0.9477
.
101010
（2）记水电站年总利润为
Y
（单位：万元）
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润
Y5000
，
EY500015000
.
第 13 页 共 17 页

②安装2台发电机.
当
40 X80
时，一台发电机运行，此时
Y50008004200
，
因此
P(y4200)P(40X80)P
1
0.2
，
当
X80
时，两台发电机运行，此时
Y5000210000
，
因此
P(Y10000)P(X80)P
1
P
2< br>0.8
.由此得
Y
的分布列如下：
Y

P


4200
0.2
10000
0.8
所以
EY420011000028840
.
③安装3台发电机.
依题意，当
40X80
时，一台发电机运行，此时
Y500016003400
，
因此
P(Y3400)P(40X80)P
1
0.2
；
当
80X120
时，两台发电机运行，此时
Y50002800 9200
，
此时
P(Y9200)P(80X120)P
20.7
，
当
X120
时，三台发电机运行，此时
y50 00315000
，
因此
P(Y15000)P(X120)P
3
0.1
，

由此得
Y
的分布列如下：
Y

P


34
0.2
9200
0.8
15000
0.1
所以
EY34000.292000.7150000.18620
.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
【考点】二项分布，随机变量的均值.
22
．如图，在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
为平行四边形，
PA⊥
底面
ABCD，
ABC60
，
AB3
，
AD23
，
AP3
．

第 14 页 共 17 页

(1)
求证：平面
PCA⊥
平面
PCD
；

(2)
设
E
为侧棱
PC
上的一点，若直线
BE
与 底面
ABCD
所成的角为
45°
，求二面角
EABD
的 余弦值．

【答案】
(Ⅰ)
详见解析；
(Ⅱ)
5
.
5
PA⊥CD
，【解析】（
Ⅰ
）推导出
CD⊥AC
，从而
CD⊥
平面
PCA
，由此能证明平面
PCA⊥
平面< br>PCD
．

（
Ⅱ
）以
A
为坐标原点，
AB
，
AC
，
AP
分别为
x
，
y
，
z
轴，建立空间直角坐标系，利
用向量法能求出二面角
E
﹣AB
﹣
D
的余弦值．

【详解】

解：
(Ⅰ)
在平行四边形
ABCD
中，
∠ADC=60°
，
C D3
，
AD23
，由余弦定理
得

AC
2AD
2
CD
2
2AD?CDcos

ADC1 232233cos60
0
9
，

∴
AC2
CD
2
AD
2
，
∴∠ACD=90°
， 即
CD⊥AC
，

又
PA⊥
底面
ABCD
，
CD

底面
ABCD
，
∴PA⊥CD
，

又
ACCDC
，
∴CD⊥
平面
PCA.
又< br>CD

平面
PCD
，
∴
平面
PCA⊥
平面
PCD.
(Ⅱ)
如图，以
A
为坐标原点，
AB，
AC
，
AP
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立空
间直角坐标系
.
则
A
0,0,0

，
B

3,0,0
，
C

0,3,0

，
D3,3,0
，
P

0,0,3

.

第 15 页 共 17 页

设
E

x,y,z

，
PEλPC

0λ1

，

则

x ,y,z3

λ

0,3,3


∴x=0
，
y3λ
，
z33λ
，即点
E
的坐标为
0,3λ,33λ


∴
BE3,3λ,33λ

又平面
ABCD
的一个法 向量为
n

0,0,1



cosBE, n
∴sin45°
解得
λ

33λ
39λ

33λ

2
2

1

3
∴< br>点
E
的坐标为

0,1,2

，
∴
AE

0,1,2

，
AB
设平面
EAB的法向量为
m

x,y,z



3,0,0
，



m?AB0

x0

由

得

y2z0
m?AE0


令
z=1< br>，得平面
EAB
的一个法向量为
m

0,2,1


∴
cosm,n
m?n15

.
mn5
5
又二面角
E-AB-D
的平面角为锐角，

所以，二面角
E-AB-D
的余弦值为
【点睛】

本题考查 面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面
间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

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5

5

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