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比和比例讲义


意义
比和比例知识点
比
两个数相除,又叫做两个数的比.
如，90÷60=90:60(90比60)
90 ： 60 = 1.5


前项 比号 后项 比值

（共有2个项）
比的前项和后项都乘上或除以相同
的数（0除外），比值不变。
如，90:60=（90×5）:（60×5）=1.5
90:60=（90÷15）:（60÷15）=1.5

化简比的依据
如，90:60=（90÷15）:（60÷15）
=6:4


比例
表示两个比相等的式子叫做比例。
如，90 ： 60 = 3 : 2
90 ： 60 = 3 : 2

内项


外项
（共有4个项）
在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
如，90 ： 60 = 3 : 2
90 × 2 = 60 × 3
两个外项的积
两个内项的积
各部分
名称
基本
性质
解比例的依据
如，5：x=1.6：3.2
1.6x=5×3.2
1.6x=16
x=10

整数比

化简比的方 法

比的前项和后项同时除以它们最大公因数（也可以一步一步的除）
如，18:6=（18÷6）：（6÷6）=3:1 或18:6=（18÷2）：（6÷2）
=9:3=（9÷3）：（3÷3）=3:1

先把
比的前项和后项同时乘以10、100……，变成整数比；再把整
数比化成最简比
如， 0.25:1.5=（0.25×100）：（1.5×100）=25:150=1:6
先把
比的前项和后项同时乘以它们分母的最小公倍数，变成整数
小数比

分数比

比；再把整数比化成最简比
如，
混合比

5
6
：
3
8
=（
5
6
×24）：（3
8
×24）=20:9
先把混合比变成小数比或分数比（如果比中的分数不能 化成有限
小数的，一般化为分数比），再变成整数比，最后把整数比化成最
简比
如，
5
2
：0.2=：=25:2或
25
515
2
：0 .2=2.5:0.2=25:2

判断两个比成不成比例的方法
方法一。看这两个比的比值是否相等
方法一。看两个外项的积是否会等于两个内项的积。 < br>5
6
5
6
5
6
如，：0.3中的
数比。

5
6
5
6
不能化成有限小数 ，所以把
3
10
：0.3先化为分
：0.3=：=25:9

求比值
意义 方法
比的前项除以比前项除以后项
的后项所得的商
叫做比值。
化简比
结果
结果是一个数（整数、小数、分
数），不能写成比的一般形式。
如，60:50=1.2不能写成
60:50=6:5
把两个数的比化前项和后项都 乘结果是一个比，不能写成整数和
成最简单的整数或除以相同的数小数。
比 （0除外） 18:6=3:1不能写成18:12=3


1、两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，
比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。比的后项不能为0。
2、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），
分数的大小不变。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。
3、商不变的规 律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0
除外），商不变。
4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），它们
的比值不变。
5、小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
6、公因数只有1的两个数叫做互质数。最简整数比：比的前项和后项是互质数。
7、比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。
8、比例：①表示两个比相等的式子叫做比例。如：（3：4=9：12）。
比例有四个项， 分别是两个内项和两个外项。在3：4=9：12中，其中3
与12叫做比例的外项，4与9叫做比例的 内项。比例的四个数均不能为0。
9、比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
10、比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。


典型例题：

-判断两个量是否成正比例、反比例或不成比例
一、写（写出数量关系式）
1、根据数量间的关系或公式，写出数量关系式。
如，①宽一定，长方形的面积和长是否成正 比例。根据“长方形的面积=长×宽”得
到“
长方形的面积
长
宽（一定）< br>”，因为长方形的面积和长是相关联的量，宽一定，
也就是它们的比值一定，所以“宽一定，长方 形的面积和长是成正比例”。
②圆锥的体积一定，底面积和高是否成反比例。根据“底面积×高×=圆 锥的体积”
3
1
得到“底面积×高=圆锥的体积×3”，因为底面积和高是相关联的量 ，圆锥的体积一
定，“圆锥的体积×3的结果也一定，就是底面积和高的积一定（底面积×高=圆锥的体积×3（一定）），所以圆锥的体积一定，底面积和高是成反比例。
2、注意：写出的数量关 系式，其中的一边（左边）只能有这两个相关联的量，不能
有多余的量和数字。
如，“（长＋ 宽）×2=长方形的周长”的左边就多了×2，应变为“（长＋宽）
=
长方形的周长
2
”
又如，梯形的上底和下底不变，面积和高。可以这样写关系式：
（a＋b）×h÷2=s→（a＋b）×h÷2÷h=s÷h→（a＋b）÷2 =s÷h→
s÷h=（a＋b）÷2，因为上底和下底不变，（a＋b）÷2的结果也是一定的，所以梯
形的上底和 下底不变，面积和高成正比例。
3、还有些数量之间是无法写关系式的。
如，“小明的身高和跳高的高度成正比例”是无法写出关系式的。
二、看（1、看是否相关联2、看是否能变化3、看是否商（积）一定）
1、看是否相关联：也就是一个量变化了，另一个量是否也会随着变化。
如，长方形的面积一定，长和宽就是相关联的量，因为长变化了，宽也会随着变化。
又如，圆 的周长一定，π和直径就不是相关联的量。因为不管直径怎么变，π总是
等于3.14……，不会随直径 而改变。
2、看是否能变化：也就是这两个量都是能变化的，不是固定的。
如，上例的π就不是能变化的量。
如，“边长×边长=正方形的面积（一定）”，因为正方形 的面积（一定），所以边长也
只能是固定的，不是变量。所以，正方形的面积（一定），边长和边长不成 比例。
3、看是否商（积）一定：也就是这两个量相除（或相乘）的结果是否固定不变的。
如，圆的周长和直径成正比例。因为圆的周长和直径的比值等于π，π是固定的数，
即圆的周长和直径的 比值一定的。
圆的周长
直径
π（一定）

三、列（列出几组数据）
列出几组数据，然后看这两个量是否相关联，比值或积是否一定。（如果上面两种方

法能够准确判断，可不必用这种方法。不好写关系式、无法写关系式、不好判断的
最好用这种方法。 ）
如，“长方形的周长一定，长和宽成是否正比例。”先任意列数字，如周长为18，
宽是1，长就是8，宽是2，长就是7……
长方形的周长 18 18 18 18
长 8 7 6 5
宽 1 2 3 4
然后看长和宽是否相关联，比值是否一定。
最后得出结论：长和宽是相关联的量，但它们的比 值不一定：8÷1=8，7÷2=3.5，6
÷3=2，……，所以“长方形的周长一定，长和宽不成是 正比例。”

练习：
一．填空
1、0.6=3：（ ）=（ ）÷15=（ ）成=（ ）％
1
2、1 ： 0.75的比值是（ ），把它化为最简的整数比是（ ）
2
3、比例4：9=20：45写成分数形式是（ ），根据比例的基本性质写成乘法形式
是（ ）
4、18的因数有（ ），选出其中四个数组成一个比例是（ ）
5、在比例尺1：2000000的地图上，图上1厘米表示实际距离（ ）千米。
2
6、在一个比例中，两个内项互为倒数，一个外项是 ，另一个外项是（ ）
5
7.甲数除以乙数的商是4，甲数与乙数的最简整数比是（ ）
8、我国< <国旗法>>规定，国旗的长和宽的比是3：2，学校的国旗宽是128厘米，长
应该是( )厘米。
9、三角形底一定，它的高和面积成（ ）比例。
10、用0.2 、 6、 30、 1这四个数组成两个比例式是（ ）和（ ）
2
11、某厂男职工人数是女职工的 ，女职工与男职工的人数比是（ ）
3
12、两个正方体的棱长比是3：4，它们的体积比是（ ）
13、如果3a=2b，那么a：b=（ ）：（ ）
14、从A地到B地，甲用12分钟，乙用8分钟，甲乙的速度比是( )
15、小圆的半径是2厘米，大圆的半径是3厘米，小圆和大圆的周长比是（ ），
面积比是（ ）
16、甲乙两数之比是3：4，它们的和是1.4，则甲数是（ ），乙数是（ ）
17、一个比8：15，如果后项增加60，要使比值不变，比的前项应该增加（ ）

1
18、在比例尺是 的学校平面图上，量得教室的长8厘米，宽6厘米，教室实际
200
面积是（ ）
19、男生人数比女生人数少20％，男生人数与女生人数的比是（ ）：（ ）
12
20、甲数的 等于乙数的 ，甲数与乙数的比是（ ）
35
二、判断
1、圆柱的底面积一定，它的高与体积成正比例 。 （ ）
2、圆周率是圆的直径与周长的比值。 （ ）
3、把16：2化作最简的整数比是8。 （ ）
4、如果Y=5X，则x与y成正比例。 （ ）
5、一个非0的自然数与它的倒数成反比。 （ ）
三、选择题
１、能与１.６：１.２组成比例的是 （ ）
2
Ａ、１.２：１.６ Ｂ、 ：０.３ Ｃ、３：４
5
２、一克的盐放入49克的水中，盐和盐水的比是 （ ）
Ａ、1:49 Ｂ、1：48 Ｃ、1：50
1１
３、x × ＝y× 时，x：y＝（ ）
35
1１
Ａ、 ： Ｂ、5：3 Ｃ、3：5
35
４、一本书已看总页数的６０％，没看页数与总页数的比是 （ ）
Ａ、2：3 Ｂ、3：5 Ｃ、2：5
５、花生的出油率一定，花生的质量和榨出的油的质量（ ）
Ａ、成正比例 Ｂ、成反比例 Ｃ、不成比例
四、计算
１、化简比
１．5：３.５ １
２、求出比值
１1１
３.７５：１ １.３５：２.４ ２ ：３
２3２
３、解比例
１
：１.８ ９分：０.４小时
5

０.４９１６３１
＝ ７：ｘ＝４.８：９.６ ｘ： ＝１２：
９.８ｘ４８

五、解决问题
1、房产博览会上，某楼 盘的模型是按照1：500的比例尺制作的，该楼盘1号楼模
型高7厘米，它的实际高度是多少？ 2、兰州到乌鲁木齐的铁路长约1900千米，在比例尺是1：40000000的地图上，它
的长 是多少？
3、修一条长12千米的公路，开工3天修了1.5千米。照这样计算，修完这条路还
要多少天？
4、专业户刘大伯家养鸡、鸭、鹅共1800只，这三种家禽的只数比是5：3：1。刘 大
伯家养鸡、鸭、鹅各多少只 ？
5、把一批书按4：5：6的比例分给甲、乙、丙三个班， 已知甲班比丙班少分到24
本，三个班各分到多少本书？
6、亮亮家造了新房，准备用边长是 0.4米的正方形地砖装饰客厅地面，这样需要180
块，装修老师建议改用边长0.6米的正方形地砖 铺地。请你算一算需要多少块？
六、数学思考
一艘轮船以每小时40千米的速度从甲港开往乙港，行了全程的20 %后，又行驶了1
小时，这时未行路程与已行路程的比是3：1。甲乙两港相距多少千米？













作业:

1．根据提供信息，求出这幅图的比例尺。

2、篮球场长20米，宽15米，请你用去
画出这个篮球场的平面图
3、一个圆形花坛的直径是10米，
请你用1：250的比例尺画出这个圆，
并求出这个花坛的实际的长( )米，
面积( )平方米．
4、 下图是用1:400的比例尺画出的图形．先作出平行四边形的高，并量出有关
的数据，(取整厘米数) ，再计算出这个平行四边形的实际面积．
1
500
的比例尺

5、一个学校操场是长200米．宽80米的长方形．
(1)按l：4 000的比例尺画操场平面图，长应该画_____厘米，宽应该画_____
厘米．
(2)请在下面画出操场的平面图．
6、右图是用比例尺1：100画的沙坑平面图，图中的脚印是刘鹏跳远时留下的．请你画出他的图上距离，并量量其
长度，然后算算他跳的实际距离(5分)．


7、某县人民政府门前的广场是一个长方形，长180米，宽100米。请你选 择一
个合适的比例尺，在下边的图纸内画出广场的平面图，并在图上注明长和宽。

我设计的比例尺是( )。



8、把下面左边的图形放大为原来面积的4倍，形状不变，并画在右边的方格纸中。
(4分)

9、如图，小芳家在学校( )方向上；
小星家在学校( )方向上。

10、竹子是世界上生 长最快的植物，据观察，
可以生长72厘米。如果竹子照这样的速度生
完成下面的表格。
时间(小时)
高度(厘米)
1
3
2
6
3
9

24小时
长，请你

36
15

11、图示是光明小学长方形操场的平面图。请你量出图中长方形的长和宽， 在图上
标出来，并计算出操场的实际面积。(量度时取整厘米)


12、填空与操作。

1．下图是某城市一处平面示意图。
(1)图上l厘米表示实际距离( )千米。
(2)学校位于中心广场( )面大约( )千米处。
(3)中心广场西面1千米处有一条商业街
与人民路平行，在图中画线表示商业街。


13、以世纪广场为观察点，根据下面提供的信息，在平面图上标出各个场所的位置。
(3分)
(1)市一小在世纪广场南偏东20。方向250米处；
(2)榆中在世纪广场东200米处；
(3)市二小在世纪广场北偏东3O。方向1000米处。




14、量一量下图中，小 明家到中心广场的图上距离，再根据比例尺算出它们的实际
距离。(测量图上距离时，精确到厘米。)


15、A、C两个村子，L是一条小河，现在要在小河边修一个
水站，向 A、C两村供水，在河边( )点修供水站到A、C两
供
村
的供水管道会最短。如 果这幅图的比例尺是1:20000，到A、C两村的供水管道和最短
要( )米。

16、公园在学校正北200m，书店在学校正东，动物园在学校正西40 0m处。请你在图
上标出比例尺，并画出动物园的位置。




17、某市区主要街道分布情况如下图：

动手测量出有关数，并标示出来。
（1）文明路长l800米，这幅图的比例尺是多少?
（2）光明路在文明路的南边，距文明路600米，
平行于文明路，请你画在图上。
18、量量、算算、画画。
量出你正在做的这份数学试卷(完全展 开的试卷)的长和宽(取 整厘米数)，并在
括号中选择一个合适的比例尺，再把它画在方框内。(可选择的比例尺为①1：2 ②
1：10③10：1 ④1：500)量得试卷长( )厘米，宽是( )厘米






19、埃及的金字塔是著名奇观，它给后人留下很多难解之谜，你能根据下面的信息
比例尺：( )

算出金字塔的实际高度吗?

你能想办法知道比它低3米的第二大金字塔的影长是多少米吗?
20、下面是按比例尺画出的冬冬乘出 租车从家到科技馆的路线图。已知出租车在4
千米以内(含4千米)按起步价10元计 算，超过4千米 ，每增加l千米车费就增加2
元．请你根据图，中提供的信息，算一算冬冬乘出租车从家到科技馆一共要 付车费
多少元?(测量图上距离时取整厘米数)

21、在平面内画两条互相垂 直而且相交于原点
O
的数轴，这样就建立了一个平面
直角坐标系(如下图)，平面内的 任意一个点的位置，都可以用一对数来表示．如A
点所在位置是横看第3格，竖看第2格，就记作(3， 2)，再如B是(8，7)；C是
(15，11)．

（1）由上述规律，D、E、F应分别记作
（ ）、（ ）、（ ）.
（2）G是（6，6），K是（2，8），H
是（0，9），请在图中描出这三个点.



22、要求圆锥形物体的体积，测量方法如图．请根据图中的信息(直

尺和三角板上的每相邻的两个刻度之间都表示1厘米)，求出圆锥形物体
的体积 ．
23、下面是“雅士服装”生产基地的平面示意图．生产基地的地面是一个长120
米、宽 60米的长方形．





(1)在厂房的东面要建造 一座“活动中心”楼房，楼房的地面是边长20米的正方
形．请先算出该正方形边长的图上距离，然后在 虚线框内画出该楼
房的平面图形．
(2)在生产基地的四周砌上2米高的围墙，如果用涂料粉 刷围墙的内外两面墙壁，
需要粉刷的面积是多少平方米?(围墙的厚度及大门部分忽略不计)