新年快乐祝福短信-15的月亮

初中：平面解析几何必备公式


（文李文龙）
初三的同学们现在应该学习二次函数了吧。再此之前你
必须把平面解析几何的一些常识和公式弄清楚。
本文将从我们熟知的定理出发，通过一系列证明，最后
得出好用的结论。记住这些结论，从 初三到高三你就可以自
由的畅游在坐标系中，游刃有余。
以下内容有的很基础，有的则需 借助高中知识，对于学
生学习水平的要求也不一样，我以精英班★★★，目标班★★
和提高班★ 为要求，每一部分后面会有能力等级的标注。学
习★是考试必备的技能，学习★★能让你做题更快，学习 ★★★
可以让你做题方法增多。文章较长，因此 建议先收藏再慢
慢学
目录
（一）两点之间
1、求距离★
2、取中点★
3、算斜率★★
4、速求解析式★★
5、构造圆★★★

（二）点线之间
1、距离公式
① 利用圆方程 ★★★
② 利用斜率关系★★
③ 利用相似★★
（三）两线之间
1、平行★★★
2、垂直★★

（一）两点之间
在坐标系下给出两个已知的定点可以算出那些东西呢？
以下结论不要错过！
1，求距离 ★
如下图坐标系中有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），
求线段AB的长度

我们分别作水平和竖直线如下图所示，
可以得到Rt△ABC，其中C（x2,y1），
这样AC的长为丨x2-x1丨
由于不知道x2和x1谁大，线段长度为正，因此需要加
绝对值。
同理BC长为丨y2-y1丨。

根据勾股定理可知

举例：A（2,1），B（-2，4）则
这样就免去画图了，一步出答案。因此必须记住这个公
式。
2，取中点 ★
坐标系中有两点A（x1，y1） 和B（x2，y2），求AB
中点C的坐标
若A和B在x轴同侧，如下图，则y1和y2都大于零

我们向横轴作垂线，AD=y1，BF=y2，
四边形ADFB是直角梯形，
CE是中位线，y=CE=（y1+y2）2，
同理都向纵轴作做垂线，可得x=（x1+x2）2
若A和B在x轴两侧，如图，y1＜0，y2＞0

我们作水平和竖直辅助线如下图：BN=y2-y1，
CM为△ABN中位线，CM=（y2-y1）2。
而EM=-y1
则y=CE=（y2-y1）2-（-y1）=（y1+y2）2。
同理x=（x1+x2）2

因此，给定平面的两点我们就可以求出其中点坐标
x=（x1+x2）2
y=（y1+y2）2
就是算术平均数！这在二次函数利用 对称轴求对称点很
实用，反过来，让你求点A关于点B的对称点也可以利用这
个公式。
3，算斜率 ★★
如下图，已知A（x1,y1）B（x2,y2），求AB直线解析
式的k

利用待定系数法设AB：y=kx+b，将A（x1,y1）B（x2,y2）
带入得
两式相减并化简得
这样我们就可以快速求出直线斜率了：纵坐标之差除以
横坐标之差注意 要对应，若2纵坐标的在前面，则对应的2
的横坐标也应该在前面。
举例，若A（-2,5），B（1，-4），则
4，速求解析式 ★★
如下图，已知A（x1,y1）B（x2,y2），求AB直线解析
式。

我相 信小伙伴们用待定系数法求这个一定很666，但每

次都重复同样的步骤烦不烦？如何快 速写出来解析式呢？
首先根据上面的推导你已经知道这个直线的斜率k了
我假设AB上有任意一点C（x,y）则AC的斜率也是k，
那么
由于x1，y1和k是已知数，C（x,y）代表AB上的任意
点，故AB的解析式为
如果用BC算，也可以写成
举例，若A（-2,5），B（1,-4），则口算可知k=-3
若利用点A，可得AB解析式为：y-5=-3（x+2）
若利用点B，可得AB解析式为：y+4=-3（x-1）
化简完是一样的。这样求解析式可以为 我们省去解二元
一次方程组，我们知道一个点和一个斜率就可以写出解析式，
这种表示解析式的 方法我们又称为 “点斜式”
把解析式写成点斜式有什么好处？
比如过点A（2,5）的直线与抛物线y=-x²-2x-3只
有一个交点，求直线解析式
我们就可以直接设直线为y-5=k（x-2），然后和抛物线
联立，令△=0即可
5，构造圆 ★★★
如下图，已知A（x1,y1）B（x2,y2），以A为圆心，AB
为半径做圆，求这个圆的表达式

设C（x,y）是圆上任意一点，我们只需要找到x与y的
等式关系即可
因为AB=AC，而AB的长我们可求，也就是圆的半径r
整理得
这就是圆的标准方程
举例：若A（2,1），B（-2，4），可求AB=5，则以A为
圆心，AB为半径的圆的表达式为
（x-2）²+（y-1）²=5
同问：掌握圆的表达式有什么用？
这时候假如让你求某条直线和这个圆相交的问题，就可
以转化为直线与圆的表达式联立解一元二次方程求交点的
问题了，避免了作几何辅助线，可以把几何问题 通过建立直
角坐标系转变为代数问题。

（二）点线之间
1，距离公式
给定一个点，和一条直线，比较常见的是求点到直线的
距离
如图所示，已知直线y=kx+b（以下简称直线）和点P
（x0，y0）。其中，k,b,x0,y0 都是常数。求P到直线的距离
PQ
下面我将跟大家分享三种求法

① 利用圆方程 ★★★
假设PQ=r，那么以P为圆心r为半径的圆为
和直线y=kx+b联立，因为直线与圆相切，故 只有一个
交点，因此这个方程组只有一个解，利用△=0，可以解出r
但这毕竟用了圆的方程以前没学过，不好理解，那我们
换一个。
② 利用斜率关系★★
相信很多同学知道两直线垂直，斜率乘积得-1这个事吧！
因为PQ和直线垂直，则PQ的斜率为 -1k，因此PQ
的解析式为
再与直线y=kx+b联立，可得交点Q的坐标，再根据两
点之间的距离公式得出PQ的长。
以上两种思路都涉及到了一点点以前没涉及到的知识
（其实也不难理解）。大家可以想想，点是定的，直 线是定
的，说明距离也是定的，那么有没有现成的点到直线距离公
式？我以后直接套公式不就得 了？
当然有！接下来我用初中方法给大家推导
③ 利用相似★★
如下图，过P作x轴的垂线，交直线于A，交x轴与B，
设直线与x轴交于C，
易证△A PQ∽△ACB，我们只需要利用四个已知参数k，b，

x0，y0表示出线段AP，A C，BC。再通过相似的比例关系
可以求出PQ

我们先求AP

这里需要注意，直线和点P是任意的，因此A和P的
纵坐标不一定谁大，所以线段AP的长 度需要加绝对值
接下来求BC

最后求AC

准备工作都做完啦，因为△APQ∽△ACB

上面这个红色的式子就是点到直线的距离公式，其实很
好记
先把直线y=kx+b变成kx+b-y=0的形式，然后把x和y
换成给定点的坐标，
再除以根号下1+k²，就可以了注意加绝对值。
举例，求点P（2,3）到直线y=2x+3的距离
先把y=2x+3变成2x+3-y=0，然 后把P（2,3）带入得
2×2+3-3=4，再除以根号5即可

（三）两线之间
两条线的关系，常考的是平行和垂直
1、平行★★★
两条平行线的斜率k相等，截距b不等。这是常识，不
多讲了，使我们感 兴趣的是两条平行线间的距离怎么求？
如下图我们想求两平行线之间的距离PQ，因为我们知道点到直线的距离，所以在b2的直线上任取一点P（x0，
kx0+b2）。再利用点到直线距离 求出PQ即可


红色的就是两条平行线的距离公式，更好记，用截距的
距离除以根号下1+k²
举例：求y=3x-1与y=3x-7的距离
2，垂直★★
两直线垂直只需要知道斜率互为负倒数即可，这个推导
方法我之前写过
戳↓↓↓
两直线垂直，为什么斜率互为负倒数

好了，从早上到现在整整敲了8个小时，手也酸了。 今
天就先说这些，大家有问题欢迎留言指正。
如果你觉得对你有用，一定认真整理笔记把这些内容变

成自己肚子里的干货！
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