守株待兔的寓意-幽雅的意思

本讲教育信息】

一. 教学内容：
导数的概念、几何意义及导数公式

[学习目标]

了解平均变化率的 概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思
想及其内涵。通过函数图象直观地理 解导数的几何意义。理解导数的定义，能根据导数的定
义，求函数的导数。了解基本初等函数的导数公式 ；了解导数的四则运算法则；能利用导数
公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。


[考点分析]
1. 的平均变化率：已知函数在点及其附近有定义，令，
则当时，比值叫做函数在到之间的平均变化率。
2. 瞬时变化率：设函数在点附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应地改
变 ，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数L，则数L称为函数在点的瞬时
变化率。
记作：当时，
还可以说，当时，函数平均变化率的极限等于函数在的瞬时变化率 L.
记作：=L
3. 导数的定义：函数在的瞬时变化率，通常就定义为在处的导数，记作或，即 。
注（1）变速运动在的瞬时速度就是路程函数在的导数
（2）在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。
（3）若极限不存在，则称函数在点处不可导。
4. 函数在开区间内的导函数（导数）：
如果函数在开区间内可导，那么对于开区间的每一个确定的值都对应着一个确定的导
数，这样在 开区间内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做函数在开区间内的导函数（简
称导数），记或；即：
函数在处的导数就是函数在开区间上的导数在处的函数值，即＝。
注意：导数与导函数都称为 导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；
求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值 。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导
函数在点的函数值。
5. 求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量。
（2）求平均变化率。
（3）取极限，得导数＝。

6. 与连续的关系：如果函数
y
=
f
（
x
）在点
x
0
处可导，那么函数
y
=
f
（
x
）在点
x
0
处连续，
反之不成立。数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。
7. 数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程。体求法分两步：
（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处的切线的斜率；
（2）由切点坐标和切线斜率，得切线方程为：。
特别地，如果曲线在点处的切线平行于y轴 ，这时导数不存在，根据切线定义，可得切
线方程为：
8. 常见函数的导数：
（1）常函数的导数为0，即，
（2）幂函数的导数为，与此有关的如下：

（3），
9. 的和、差、积、商的导数：
（1）和、差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：，（g(x)≠0）
（4）

【典型例题】

例1、物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，求物体在时 的瞬时速度及物体
在一段时间内相应的平均速度。
解：∵
∴ =
∴ ，即
∴
即在的一段时间内平均速度为。
∴
即
∴ 物体在时的瞬时速度是。

例2、利用导数定义求函数在处的导数。
解：
∴
∴

即
∴ 函数在处的导数为

例3、求曲线在点（2，4）处的切线方程。
解：∵
∴
∴
∴ 曲线在点（2，4）处的切线方程为，
即

例4、求过曲线上的点，且与过这点的切线垂直的直线的方程。
解：由，得
∴ 曲线在点的切线的斜率是
故所求直线的斜率为
∴ 所求直线的方程为
即
反思：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，即。
已知曲线上一 点的切线这一条件具有双重含义，在确定与切线垂直的直线方程时，应注
意考察函数在切点处的导数是否 为零，当导数为零时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切
线的直线斜率不存在。

例5、已知函数，判断在处是否可导。
解：


∴ ∴ 不存在
即函数在处不可导。

例6、求下列函数的导数。
（1）
（2）
y
=3
x
+
x
cos
x

（3）
y
=5
x
sin
x
－2cos
x< br>－9
（4）
y
=cot
x

解：（1）

（2）
y
′=（3
x
+
x
cos
x
）′=（3
x
）′+（
x
cos
x
）′
22< br>10
2

=3·2
x
+
x
′cosx
+
x
（cos
x
）′=6
x
+cos
x
－
x
sin
x

（3）
y
′=（5< br>x
sin
x
－2cos
x
－9）′=（5
x
sin
x
）′－（2cos
x
）′－9′
=5（
x
）′sin
x
+5
x
（sin
x
）′－［2（）′·co s
x
+2（cos
x
）′］－0
=5·10
x
s in
x
+5
x
cos
x
－（·cos
x
－ 2sin
x
）
=50
x
sin
x
+5
x
cos
x
－cos
x
+2sin
x

=（ 50
x
+2）sin
x
+（5
x
－）cos
x
（4）
y
′=（cot
x
）′=（）′


例7、求
y
=·cos
x
的导数.
分析：这道题可以看作 两个函数的乘积，也可以看作两个函数的商，所以不同的看法有
不同的做法.这道题可以用两种方法来求 。
解法一：
y
′=（·cos
x
）′=（）′cos
x< br>+（cos
x
）′

解法二：
y
′=（·cos
x
）′=（）′



例8、已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，
f
（－1） ）处的切线方程为，求
函数的解析式。
解：由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
即
由在M（－1，f（－1））处的切线方程是，知
，即，
即
解得b=c=－3
故所求的解析式是。

9 10
910
910
1010
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【模拟试题】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1. 已知函数的图象上一点（1，）及邻近一点，则等于（ ）
A. 4 B. C. D.
2. 已知曲线上一点P（1，），过点P的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 如果质点按规律运动，则在时的瞬时速度为（ ）

A. 3 B.
9 C. D. 27
4. 曲线在点P（4，2）处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 抛物线上何处的切线与直线的夹角是（ ）
A. B. C.（1，1） D. 与
6. 过点P（）且与曲线在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
7. 设在点处可导，为常数，则= 。
8. 函数的导数=________________。
9. 函数的导数=________________。
10. 曲线在P
0
处的切线平行于直线，则P
0
点的坐标为 。

三、解答题（本大题共4题，共50分）
11. 利用导数定义求函数在处的导数。
12. 已知点为曲线上的一点，曲线在A点处的切线方程为，曲线 斜率为1的切线有几条？
它们之间的距离是多少？
13. 已知抛物线（），通过点（1，1），且在点（）处与直线相切，求的值。
14. 已知函数，其中，为参数，且
（1）当时，判断是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内 的任意参数，函数在区间（）内都是增函数，求实
数的取值范围。