正余弦定理与三角形面积公式
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正余弦定理与三角形面积公式
(2009-7-7
16:45:00)
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这两天在看代码
时发现关于三角形的这些基本定理和公式很有用，所以从网上搜了下，主要有三角形的正弦定理，余弦
定
理，以及三角形面积公式（包括海伦公式）。
正弦定理（引自百度百科）
Sine theorem
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即asinA=bsinB=csinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆
的半径的两倍）
这一定理对于任意三角形ABC，都有
asinA=bsinB=csinC=2R
R为三角形外接圆半径
证明
步骤1.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
asinA=bsinB
.
.
同理，在△ABC中，
bsinB=csinC
步骤2.
证明asinA=bsinB=csinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以csinC＝csinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
意义
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单
调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
余弦定理
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角
求第三边或者是已知三个
边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方
便、灵活。
对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质
(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)
a^2=b^2+c^2-2*b*c*
Cos
A
b^2=a^2+c^2-2*a*c*
Cos
B
c^2=a^2+b^2-2*a*b*
Cos
C
Cos
C=(a^2+b^2-c^2)2ab
Cos
B=(a^2+c^2-b^2)2ac
Cos
A=(c^2+b^2-a^2)2bc
证明：
∵如图，有a→+b→=c→
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·
a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|
Cos(π-θ)
整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|
Cosθ
（注意：这里用到了
三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*
Cos
C
.
.
同理可证其他，而下面的
Cos
C=(
c^2-b^2-a^2)2ab就是将
Cos
C移到左边表示一下。
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--------------------------------------------------
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--------
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三
边所对的角一
定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，
那么第三边所对的角是锐角。
即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角
形边长取值范围。
海伦公式
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦
（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris K
line在1908年
出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查
证）。 我国宋代的数学家秦九韶也
提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=%√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)2
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注1：《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
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.
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所
以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地
的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两
点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：
与海伦在他的著作《度量
论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形
的三边a、b、c的对角分
别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)2ab
S=12*ab*sinC
=12*ab*√(1-cos^2 C)
=12*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^24a^2*b^2]
=14*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=14*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=14*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=14*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)2
则p=(a+b+c)2, p-a=(-a+b+c)2,
p-b=(a-b+c)2,p-c=(a+b-c)2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（2）：
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中
，已经有求三
角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要
找出它来并非易事。所以他
们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎
样根据三边的长度来求三角形的面积？直
到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方
加上大斜平方，
送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得
到的那个。相减后余数被4除
冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px
2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中
斜、小斜，所以
q=14[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 22) 2]
当P＝1时，△ 2＝q,
S△=√{14[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22)
2]}
因式分解得
116[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a)
2]
=116(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=18S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=12(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=c2*根号下a^-{(a^-b^+c^)2c}^ .其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
.
.
S圆内接四边形=
根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s=8√ 3
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B
、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p =
(a+b+c),则
S△ABC =12 aha=12 ab×sinC =12
r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x = y =
ha = =
=
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明：由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴
S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S
= 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
.
.
分析：考虑运用S△ABC =r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg +
tg · tg = 1
证明：如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x =
同理：y = z =
代入 ④，得： r 2 · =
两边同乘以 ，得：
r 2 · =
两边开方，得： r · =
左边r · =
r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg =
= ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得： r3 = ×xyz
∵由证一，x = = －c = p－c
y = = －a = p－a
z = = －b = p－b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得证。
三、
海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。
由于三角形内接于圆，所以猜想海
伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=
,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
∴ = = =
解得： e = ① f = ②
由于S四边形ABCD = S△EAB
将①，②跟b = 代入公式变形④，得：
∴S四边形ABCD =
所以，海伦公式的推广得证。
四、
海伦公式的推广的应用
.
.
海伦公式的推广在实际解题中
有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的
推广往往事半功倍。
例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1,
CD = 2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC = x
由海伦公式的推广，得：
(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0
(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0
x = 1或x3＋x2－11x－27
= 0
当x = 1时，AD = BC = 1
∴
四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现(VBS):
Dim a,b,c,p,s
a=inputbox(输入三角形第一边
a=cint(a)
b=inputbox(输入三角形第二边
b=cint(b)
c=inputbox(输入三角形第三边
c=cint(c)
p=(a+b+c)2
s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
msgbox s, ,三角形面积
.