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一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用
例1：在△ABC中，BO与 CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点O，探究∠O与∠A是否有关系？若有
关系，试分 析有怎样的关系？
研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2)
而∠1+∠2=
2

(180°-∠A) =90°-
2

∠A
∴∠O=180°- (90°-
2

∠A) =90°+
2

∠A
由例1总结出规律：三角形的两个内角平分线交
于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，
即为∠O = 90°+
2

∠A。
例2:已知如图：在△ABC中，BO、CO分别平分∠CBE和∠BCF，且交于点O，则∠O与
∠A的关系又如何呢?
分析：∠O = 180°-（∠1+∠2）
而∠1+∠2 =
2

(180°+ ∠A)
1
∴∠O =180°- [
2

(180°+ ∠A)]
1
A
1
1
B
11
11
O
A
2
例1
C
B
1
2
C
F
= 180°- 90°-
2

∠A
= 90°-
2

∠A
1
1
E
例
2

O
由例 2总结出规律：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。即为∠O =
90°-
2

∠A。
例3：已知如图：PB与PC分别为内角∠ABC和外角∠ACD的平分线， 且交于点P，
探究：∠A与∠P的关系。
分析：∠P=∠2-∠1，
1
∠2=
2

(∠A+∠ABC)
A
P
1
∠1=
2

(180°-∠A - ∠BCA）
∴∠P=
2

(∠A+∠ABC）-
2

(180°-∠A - ∠BCA）
=
2

∠A +
2

∠ABC - 90°+
2

∠A+
2

∠BCA
=∠A - 90°-
2

(180°-∠A) =
2

∠A 由例3总结出规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一半 。即为
∠P =
2

∠A。
1
11
1111
11
B
1
例
3
C
2
D
1


规律的应用

1

1、 如图，在△ABC中，外角∠CAE和∠ACD的平分线AP与CP交于点P，且∠B=57°，则∠APC= 。
2、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点E，且∠A=110°，求∠E= 。
3、如图：在△ABC中,∠A=90°,∠B =32°,OA、OB、OC分别平分∠A、∠B、∠C，
则∠AOB= ，∠BOC= ，∠COA= 。
4、在△ABC中，OA、OC分别平分∠A、∠C，且∠AOC=116°，则∠B= 。





5、如图，BP、CP分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∠A=62°，则∠P= 。
6、在△ABC中，∠A=m°, ∠ABC和∠ACD的平分线交于点P
1
，得 ∠P
1
，∠P
1
BC与∠P
1
CD的平分线P
2< br>，得∠P
2
……，
∠P
2013
BC和∠P
2013
CD的平分线交于P
2014
，∠P
2014
= 度。
7、如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，
若∠BPC=40°，则∠CAP= 。



A
P
D


B
C
（第5题）
D
二、三角形内角和、角平分线与高线规律发现及应用
例1：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，
交BC于点E，且∠C＞∠B，求证∠DAE=
2

(∠C-∠B)
分析引导：∠DAE=∠BAC-∠BAE-∠CAD
1
而∠BAE = ∠BAC，∠CAD= 90°-∠C
2
11
∴∠DAE =∠BAC - ∠BAC -（90°-∠C）= ∠BAC +∠C - 90°
22
1
= （180°-∠B -∠C）+∠C - 90°
2
111
= 90°- ∠B - ∠C+∠C - 90°= (∠C-∠B)
222
由例1总结出规律：三角形同一 顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角的差的一半。
1
规律的应用
（1）如图所示，AD、AE分别为△ABC的高和角平分线，且
∠B=35°，∠C=45°，则∠DAE= 。
（2）如图所示，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，且

2

∠DAE=12°，∠B=62°，则∠A= ，∠ACB= 。
（3）在Rt△ABC中，CD和CE分别是高和角平分线，∠DCE=15°，
则△ABC三边的比为 。
（4）已知如图，在△ABC中，AE平分∠BAC （∠C＞∠B），F为AE上任意一点（A、E除外），且FD ⊥BC于D，
求证：∠DFE=
2

（∠C-∠B）





在教学中通过对基本内容的讲解和分析、综合，找出其中的内在联系，并配以适当的作业练习，使学生对所学知
识熟练化、系统化、规律化，使学生对知识强化的同时，也开发了学生的智力。

1

3