晚霜排行榜-黑木耳之歌

六年级奥数专题：找规律
同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数 表的变化规
律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某 一问题的规律，推导出该问
题的计算公式。
例
1
求
99
边形的内角和。
分析与解：三角形的内角和等于
180°
,可是
99
边形的内角和怎样求呢？我们把问题
简化一下，先求四边形、五边形、六边形 ”的内角和，找一找其中的规律。
如上图所示，将四边形
ABCD
分成两个三角形，每个三角形的内角和等于
180
°，所以
四边形的内角和等于
180°
X
2= 360
°;同理，将五边形
ABCDE
分成三个三角形，得到五边 形的内角和等
于
180
°X
3
=
540°
;将六边形
ABCDEF
分成四个三角形，得到六边形的内角 和等于
180°
X
4
=
720
°。
通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减
多边形的内角和公式：
2
。由此得到
n
边形的内角和
=180°
x（
n-2
） （
n
>
3
）。
有了这个公式，再求
99
边形的内角和就太容易了。
99
边形的内角和
=180°
X（
99-2
）=
17460°
。
例
2
四边形内有
10
个点，以四边形的
4
个顶点和这
10
个点为三角形的顶点，最多能 剪出多少个小三
角形？
分析与解：在
10
个点中任取一点
A
，连结
A
与四边形的四个顶点，构成
再在剩下的
9
个点中任取一点
B
如果
B
在某个三角形中，那么连结
三个顶点，此时三角形总数增加
么连结
B
与
B
所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加
4
个三角形。
B
与
B
所在的三角形的
2
个（见左下图）。如果
B
在某两个三角形的公共边上，那
2
个（见右下图）。
类似地，每增加一个点增加
2
个三角形。
所以，共可剪出三角形
4
+
2
X
9= 22
（个）。
如果将例
2
的“
10
个点”改为
n个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多 能剪出三角形
4
+
2
X（
n-1
）
=2n
+
2=2
X（
n
+
1
）
（个
）
。
同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，
同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。
那么便得到了三棱柱（左下图）；

如果底面是正三角形、正四边形、正五边形”那么相应的柱体就是正三棱柱、
正四棱

柱、正五棱柱”
例
3 n
棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，
交的棱？
分析与解：
n
棱柱的底面和顶面都是
n
边形，每个
n边形有
n
个顶点，所以
n
棱柱共有
2n
个顶点。观< br>察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连， 而每条棱连接
2
个顶点，所以
n
棱柱共有棱
2n
x
3
-
2=3n
（条）。
进一步观察可以发现，
n
棱柱中每条棱都与
4
条棱相交，与其余的
3n
—
4-1 =
（
3n
—
5
） 条棱不相
交。共有
3n
条棱，所以不相交的棱有
那么
n
棱柱共有多少对不相
3n
x（
3n- 5
）（条），因为不相交的棱是成
对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有
3n
x（
3n-5
）-
2
（对）。
例
4
用四条直线最多能将一个圆分成几块？用
分析与解：
4
条直线时，我们可以试着画，
到规律。如下图所示，一个圆是
100
条直线呢？
100
条直线就不可能再画了，所以必须寻找
1
块；
1
条直线将圆分为
2
块，即增加了
1
块；
2
条直线时，
当
2
条直线不相交时，增加了
1
块，当
2
条直线相交时，增加了
2
块。由此看出，要想分成 的块尽量多，
应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。
再画第
3
条直线时，应当与前面
2
条直线都相交，这样又增加了
3
块（见左下图）；画 第
4
条直线时，
应当与前面
3
条直线都相交，这样又增加了
4
块（见右下图）。所以
4
条直 线最多将一个圆分成
1
+
1
+
2
+
3
+
4=11
（块）。

由上面的分析可以看出， 画第
n
条直线时应当与前面已画的 （
n
—
1
）条直线都相交，此
时将增加
n
块。因为一开始的圆算
1
块，所以
n
条直线最多将圆分成
1
+（
1
+
2
+
3
+
,
+
n
）
=1
+
n
（
n+1
）十
2
（块）
。

当
n=100
时，可分成
1
+
100
X（
100
+
1
）-
2=5051
（块）。
例
5
用
3
个三角形最多可以把平面分成几部分？
10
个三角形呢？
外
2
部分，即增加了 分析与解：平面本身是
1
部分。一个三角形将平面分成三角形内、
1
部分。两个三角形不相交时将平面分成
3
部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下
5
个交点
S
个交点
瞎加
2
部分増加
3
部分 増加
4
部分 増加
5
剖分 増加&部分
由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。 所以，再画第
3
个三角形时，应 使

每条边的交点尽量多。对于每个三角形，因为
1
条直线最多与三角形 的两条边相交， 所以第
3
个三角形的每
条边最多与前面
2
个三角形的各两条边相交， 共可产生
3
X
(
2
X
2
)
= 12
(个) 交点，即增加
12
部分。因
此，
3
个三角形最多可以把平面分成
1
+
1
+
6
+
12= 20
(部分)
。

由上面的分析，当画第
n
(
n
》
2
)个三角形时，每条边最多与前面已画的(
角形的各两条边相交，共可产生交点
n
—
1
)个三
3
X[(
n
—
l
)x
2
]
=6
(
n
—
1
)(个)，能新增加
6
(
n
—
1
)部分。因为
1
个三角形时有
2
部分，所以
n
个三
角形最多将平面分成的部分数是
2
+
6
X：
1
+
2
+
,
+ (
n
—
1
)
= 2+6X
n(n
-
2
= 2 + 3n (n-1) °
当
n=10
时，可分成
2
+
3
X
10
X(
10
—
1
)
=272
(部分)。
练习
1.
求
12
边形的内角和。
2.
五边形内有
8
个点。以五边形的
5
个顶点和这
8
个点为三角形的顶点，
少个小三角形？
最多能剪出多
3.
已知
n
棱柱有
14
个顶点，那么，它有多少条棱？
4. n
条直线最多有多少个交点？
5.6
条直线与
2
个圆最多形成多少个交点？
6.
两个四边形最多把平面分成几部分？
练习答案：
1.1800
°。
2.19
个。
提示：与例
2
类似可得
5+2
X(
8-1
)
=19
(个)。
3.21
条棱。提示：
n
棱柱有
2n
个顶点，
3n
条棱。
4.n
(
n-1
)+
2
。
解：
1+2+3+,+
(
n-1
)
=n
(
n-1
)-
2
。
5.41
个。
解：
6
条直线有交点
6
X(
6-1
)-
2=15
(个)，每条直线与两个圆各有
圆之间有
2
个交点，共有交点
15+6
X
4+2=41
(个)。
2
个交点，两个
6.10
部分。
提示：见右图。与例
5
类似，当画第
n
(
n
》
2
)个四边形时，每条边应与已画的(
个四边形的各
2
条边相交，共可产生交点
n-1
)

4
X
[
(
n-1
)X
2]=8
(
n-1
)(个)，新增加
8
(
n-1
)部分。因为
1
个四边形有
2
部分, 所以
n
个四边形
最多将平面分成
2+8
X
[1+2+,+
(
n-1
)
]=2+4n
(
n-1
)(部分)。