奥巴马滑板-党的建设的主要内容

费马大定理的故事

彼埃尔.德.费马(1601-1665)是 数学史上最伟大的业余数学家,他的名字频
繁地与数论联系在一起,可是他在这一领域的工作超越了他所 在的时代,所以他
的同代人更多地了解他是从他的有关坐标几何(费马独立于笛卡尔发明了坐标几
何),无穷小演算(牛顿和莱布尼茨使之硕果累累)和概率论(本质上是费马和帕斯
卡共同创立的)的 研究中得出的.费马并不是一位专业数学家,他的职业是律师兼
土伦地方法院的法官.
费马登上法学职位后开始了业余数学研究;虽然他未受过正规的数学训练,但他很快对
数学产生了浓厚的 兴趣,可惜他未养成发表成果的习惯,事实上在其整个数学生涯中,他未发
表过任何东西.另一方面,费 马保持了跟同时代的最活跃和最权威的数学家之间的广泛的通信
联系.在那个由数学巨人组成的世界里, 有笛沙格,笛卡尔,帕斯卡,沃利斯和雅克.贝努里,而
这位仅以数学为业余爱好的法国人能和他们中任 何一位相媲美.
著名的费马大定理的生长道路即漫长又有趣.1453年,新崛起的奥斯曼土耳其帝国 进攻
东罗马帝国的都城-----君士坦丁堡陷落了.拜占庭的学者纷纷逃向西方,也带去了希腊学者< br>的手稿,其中就有刁番都的<<算术>>.这本书一直流传到今天,但在1621年前几乎无人去读他.< br>这一年,克罗德.巴舍按照希腊原文重新出版了这本书,并附有拉丁译文,注释和评论.这才使
欧 洲数学家注意到这本书,似乎费马就是读了这本书才对数论开始感兴趣的. 在读<<算术>>
时,费马 喜欢在页边空白处写一些简要的注记.在卷II刁番都问题8旁边的空白处,原问题是
给定一个平方数, 将其写成其他两个平方数之和费马写道:另一方面,不可能将一个立方数
写成两个立方数之和,或者将一 个四次幂写成两个四次幂之和.一般地,对于任何一个数,其幂
大于2,就不可能写成同次幂的另外两个 数之和.对此命题我得到了一个真正奇妙的证明,可惜
空白太小无法写下来.
用代数术语表达, 刁番都问题是想求出方程:
x
2
+y
2
=z
2


的有理数解,这 已经由古希腊数学家欧几里德得到:x=2mn,y=m
2
-n
2
,z=m< br>2
+n
2

而费马在页边的注解断言,若n是大于2的自然数,则方程 x
n
+y
n
=z
n
不存在有理数解.这就
是我们今天称为费马大定理的由来.
尽管在普通人的心目中,相信费 马真的找到了一个奇妙的证明,但他毕竟是一个动人的
故事,17世纪的一位业余数学爱好者证明了一个 结果,他使得其后350年间的数学家起来为之
奋斗了,然而却劳而无功.他的问题是如此简明,因而这 个故事更富有感染力.而且永远存在费
马是正确的可能性. 从费马的另一处注解中,数学史家发现了费 马唯一具体的对于n=4的情
形做的证明,在这个证明中,费马发明了一种无穷递降法他利用了整数边直 角三角形的面
积不可能是平方数的结论,假设方程:
x
4
+y
4
=z
4

有一组有理解,令a=x< br>4
,b=2x
2
z
2
,c=z
4
+x
4
,d=y
2
xz.反复利用熟知的恒等式:(s+t)
2
=s< br>2
+2st+t
2


得到:a
2
+ b
2
=(z
4
-x
4
)
2
+4x
4
z
4
=z8-2x
4
z
4
+x8+4x
4
z
4
=(z
4
+x
4
)
2
=c
2
.并且有:
ab2=y
4
2x
2
z
2
=(y
2
xz)
2
=d
2

于是,a
2
+b
2
=c
2
,并且ab2=d
2< br>.但是这已经证明是不可能的,因此假定n=4时有解是错误的.
对于n=3的情形,后来的欧 拉在1753年用了一种有缺陷的方法证明了这个命题.他使用了一种
新数即形如a+b√-3的数系, 这个数系在许多方面与整数有相似之处,两者都构成一个数

环.但他并不具备整数的全部 性质,欧拉证明中用到的最要紧的性质是唯一因子分解定理,对
于a+b√-3数系,这个定理碰巧也成 立,所以欧拉的结论是正确的.但是换成别的形式比如
a+b√-5,则唯一因子分解定理就不成立了. 关于对于什么样的数系唯一因子分解定理成立的
理论叫做示性类理论.接着,1825年,20岁的狄利 赫莱和70岁的勒让德同时证明了n=5.
1832年,法国杰出的女数学家索非.热尔曼证明: 若p是奇素数并使得2p+1也是素数,则费
马大定理成立.
1839年,拉梅证明了n=7.
取得突破性进展的是德国数学家E.库莫尔,1847年,他证 明了对于小于100的除了37,59和
67这三个所谓非正则素数以外,费马大定理成立.在这一证明 过程中,库莫尔的最重要贡献不
在于费马大定理本身,而是发明了一种全新的概念----- 理想数,这是一种特别有用的涉及范
围极广的概念,他将引出一个更一般的概念------ 理想,以及整个新的数学分支----- 理想论,
后者的基本原理现在已经成为大学一般数学系学生的必修课.
1983年,29岁的德国数学家G.法尔廷斯证明了一个结论:对于每一个大于2的指数n,费马
方程
x
n
+y
n
=z
n

至多有有限多个解.这一证 明使他赢得了1986年的菲尔兹奖.他把存在无穷多个解的可能性
降低到最多只可能有有限多个解,这 确实是一个巨大的成就.
但是,费马大定理被彻底征服的途径一定会使涉及到这一领域的所有前人 出乎意外,最后的
攻坚路线跟费马本人,欧拉和库莫尔等人的完全不同,他是现代数学诸多分支(椭圆曲 线论,模
形式理论,伽罗华表示理论,等等)综合发挥作用的结果.
其中最重要的武器是 椭圆曲线和模形式理论.在50年代,日本数学家谷山丰和志村五郎提
出一个猜想:有理数域上的每条椭 圆曲线都有同构的模形式存在(今天我们一般称之为谷山-
志村猜想).
所谓椭圆曲线是由椭圆积分衍化而来的,他是如下形式的三次曲线:
y
2
=Ax
3
+Bx
2
+Cx+D
而模形式 是解析数论中研究的一种函数的运算(模函数是满足某种线性变换的复变函数,而
摸形式是处处全纯的摸 函数运算,全纯是指函数的摸是有限的).而通过相似的格,可以将椭圆
曲线与摸形式联系在一起.
从60年代开始,有人将费马方程x
n
+y
n
=z
n
和形如
y
2
=x(x+A)(x+B) (1)
的椭圆曲线相联系,最初的着眼点是利用跟费马大定理有关的结论来证明与椭圆曲线有关的
结论.198 4年秋,G.弗赖在两者的联系方面迈出了关键性的一步,他参加了在德国黑森州奥波
沃尔法赫小城举行 的一次数学讨论会上演说中提出:假定费马大定理不成立,即存在一组非零
整数a,b,c使得a
n
+b
n
=c
n
(n>2),那么用这组解构造出的形如(1)的椭圆曲线(在(1)中令A=a
n
,
B=-b
n
,现在称这类椭圆曲线为弗赖曲线),不可能是摸形式.而这与谷山- 志村猜想矛盾.如果
弗赖的结论和谷山-志村猜想都得到证明是正确的,根据反证法的逻辑可知,假定费 马大定理
不成立是错的,因而导出费马大定理正确.可惜弗赖本人未能证明自己的论断;但是在1986
年,K.里贝特按照美国数学家J.P.赛尔的思想证明了弗赖的论断.于是,证明费马大定理的工作归结为去证明谷山-志村猜想.
当时的数学家们普遍认为,要证明谷山-志村猜想还是很遥 远的事情,但是,年轻的英国数学
家安德鲁.怀尔斯对这种看法不以为然,他立即集中全部精力去证明这 个猜想.经过7年的艰
苦奋斗,怀尔斯于1993年6月在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所举行的数学 讨论会上,报告
了他对如下结论的证明:对于有理数域上的一大类椭圆曲线(用专业术语称为半稳定的椭 圆曲
线),谷山-志村猜想成立.由于弗赖曲线恰好属于半稳定的椭圆曲线的范围,因此费马大定理自然地成为怀尔斯的推论.据称怀尔斯的证明长达200页.按照数学界的习惯,他的证明在得
到确 认之前,必须经过其他有关数学家的详细审查,尽管当时许多人相信怀尔斯的证明是经得

起推敲的.好事多磨,事情并未就此了结.有关怀尔斯的证明中存在漏洞的传闻不胫而走.1993
年1 2月4日,怀尔斯给他的同行们发出了一封电子邮件,承认他的证明中确有漏洞.数学家对
待证明的态度 是十分严肃的,不容半点含糊.
1994年10月25日,美国俄亥俄州立大学的教授K.鲁宾以 电子邮件的形式向数学界的朋友
发出了谨慎而乐观的消息:
今天早上,有两篇论文已经发 表,他们是:椭圆模曲线和费马大定理作者是安德鲁.怀尔
斯;某些赫克代数的环论性质作者是R.泰勒 和安德鲁.怀尔斯.第一篇是一篇长文,...他宣
布了费马大定理的一个证明,而这个证明中关键的一 步依赖于第二篇短文....
1995年7月号的美国数学会通告上发表了G.法尔廷斯的文章,题 为泰勒和A.怀尔斯
对费马大定理的证明他开宗明义,以肯定的语调宣称:在本文题目中所提到的猜想于 1994
年9月终于被完整地证明了.至此,人们相信那个搅扰了数学家300多年的著名的猜想真正成
为了一条定理!
虽然费马大定理已经被证明了,但是也引起我们深入的哲学思考,怀尔斯是用归纳法来证明
谷山- 志村猜想的,即对于椭圆曲线的E-序列,对应着模形式的M-序列,并且应用了数学中高
深的群论思想 .那么我们要想,当年费马写在刁番都<<算术>>的空白处的奇妙的证明到底存
在吗?无独有偶,我国 的一位学者蒋春喧在怀尔斯之前就已经用初等数学的方法证明了费马大
定理,并且得到了我国数论专家乐 茂华和美国科学家桑蒂利的支持,想必不会是没有根据的错
误论证.我们假设是正确的,那么这是否就是 费马本人想到的那种奇妙的证明呢?对于这个
问题,我们只能关注事态的发展,拭目以待最后的结果了.
我至今还未找到我国学者蒋春喧的有关费马大定理的简单证明.等我找到之后会写完本篇
文 章,如果那位网友能帮助我找到,我将不胜感激,谢谢.
获奖和评论
1995-96年度数学沃尔夫(Wolf)奖由怀尔斯和朗兰兹(Robert P. Langla nds)分享，于
1996年3月24日在耶路撒冷由以色列总统魏兹曼颁发，奖金十万美元. 沃尔夫基金会称，怀尔斯得奖是“由于对数论及相关领域的壮观贡献，由于在若干基本猜想
上得到的 巨大进展，由于解决了费尔马大定理美国数学会的报道说, 怀尔斯引入深刻的奇
异的方法, 对于数论中一些长期未决的基本问题的解决作出了巨大的贡献.例如, BSD猜想,
伊瓦萨瓦(Iwasawa)理论主猜想, 和谷山丰-志村五郎(Taniyama- Shimura)猜想. 他的工作的
顶峰是对令人称颂的费尔马大定理的证明, 此定理塑造了过去两个世纪大多数论的形态. 朗
兰兹是60岁的著名数学家，他的“朗兰兹猜想影响深远，博大精深.
沃尔夫数学 奖的历届得主都是极负盛名的数学家，如盖尔丰德，西格尔，韦伊，嘉当，
陈省身，小平邦彦等. 该奖是国际上极有影响的大奖，由沃尔夫捐款在1978年设立. 也有化
学,医药,农业,和艺术奖. （沃尔夫原居德国，一战前移居古巴，1961年起任古巴驻以色列大
使，后留居以色列.与德国专门为 费马大定理而设的沃尔夫斯克尔奖无关.）.怀尔斯获美国“国
家科学院奖”被宣布是奖励“他对费马大 定理的证明，这是他发明了一种美丽的战略，证明
了志村五郎-谷山丰猜想的一大部分才完成的;也是奖 励他在追求自已的思想实现的过程中所
表现出的勇气和技巧力量此奖是在1988年为纪念美国数学会一 百周年设立的, 奖金五千
美元，奖给近十年内发表的杰出数学研究. 以前的得主是朗兰兹(1989 )和麦克费尔逊(1993).
美国数学会在上述得奖报道中,刊登了怀尔斯过去的导师剑桥大学的蔻茨 (J. Coates)的评论
文章. 文章说: 怀尔斯在牛津大学毕业后, 于1974-75学年度到剑桥.他的天才很快被斯文
哪尔敦--戴尔(Swinnerton- Dyer)注意到. 他因管理剑桥大学太忙, 不能作怀尔斯的研究生
导师,对这我很高兴. 结果当 怀尔斯1975夏开始科研时,我非常幸运地得以能指导他的数学
研究第一步我们最后得以证明平行于伊 瓦撒瓦的结果证明了BSD猜想的秩零特殊情
况.我很快认识到他具有两个显著的数学禀赋,我相信这在 他以后的全部数学生涯中都起了
关键的作用.第一,他优先于一切地要去证明困难的具体定理,而不愿去 作优美的无所不包的
猜想. 第二, 他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制, 并在脚踏实地的问题中贯

彻直到得出巨大的成果到1980年代中期, 怀尔斯对于伊瓦撒瓦理论主猜想和关于希尔波
特模形式的伽罗华表示的研究贡献, 已经使他成为过去150年以来对代数数论作出渊深贡献
的极少数优秀数学家之一. 但是, 正象我们现在所知道的, 他并没有躺在这些桂冠上休息,
而从1986年夏他又一直默默地工作着, 朝向一个更伟大的目标.过去35年的代数数论和算
术代数几何,大多被猜想所统治, 而少有肯定的定理. 这并不是要贬毁期间证明的许多优美
的定理, 只是要指出太常有的情况: 面对着那些大叠大排的猜想, 这些肯定的结果显得太拘
谨, 而那些猜想的证明要留作代数数论的长期目标(例如, 椭圆曲线的BSD猜想, 或者阿庭
关于他的非阿贝尔L-函数的全纯猜想). 安德鲁·怀尔斯的工作是对这种研究模式的绝妙解
毒剂,也是我们时代的最响亮的警示: 我们是能够期望最终解开数论中那些最深奥的神谜
的.
怀尔斯的生平
安德鲁.怀尔斯(Andrew Wiles)1953年4月11日生于英国剑桥.(所以他1993 年
6月宣布证明时,刚过四十岁生日两个多月.) 1971年入牛津大学莫顿(Merton)
学院学习, 1974年获该校学士学位. 同年入剑桥大学柯雷尔(Clare)学院学习,
1980年获该校博士学位. 1977至1980年，是柯雷尔学院的“青年研究会员”和哈
佛大学的“本杰明·裴尔斯助教授”. 1981年是波恩的“理论数学专门研究院”访问
教授，此年稍后，为美国普林斯顿的“高等研究所”研 究员. 1982年成为普林斯
顿大学教授，该年春是奥赛的巴黎大学访问教授. 作为古根海姆特别研究员，他1985-- 86年
是科学高级研究所(IHES)和高级师范学校(ENS)的访问教授. 1988至90年，是牛津大学皇家
学会研究教授. 1994年，他取得现在的普林斯顿大学欧根·黑金斯数学教授职位. 怀尔斯于
1989年被选为在伦敦的皇家学会研究员. 1995年获瑞典皇家科学院的数学韶克奖. 同年获费
尔马奖，由保罗萨巴提尔大学和马特拉马克尼空间颁发. 1996年获沃尔夫奖，和[美国]国家
科学院奖.

费马大定理的玩笑
很多年以前，一个叫作费马的同志在法院工作，他总是抱这么一本书－－丢番图写的
《算术》第三册，正 如很多年以后一个叫做Jonny的人总是抱着一本Windows NT 宝典一样。
关于费马老是抱 着这样一本书的问题，有一点需要说明，那就是，作为一个在法院工作的同
志，而且是专管给杀头的报告 打红勾的同志，是不应该跟很多人显得很熟的，所以他的业余
生活必然很枯燥而孤独，所以能抱着一本书 是很重要的。关于为什么是第三册的问题，那是
因为当时有很多运动，于是在某次运动中，第一和第二册 就不小心被烧掉了。
那本《算术》书有很多空白的地方，而不是象NT宝典那样，挤的满满 的字。关于空白很
多这一点很重要，因为这就使费马有地方写下了他的48个定理。作为一个法官， 费 马同志
把他不屑与人讨论或征求他人对自己决断的意见。于是他总是说：我又发现一个定理，我已
经证出来了，你们会么？这句话一般是对着几个英国数学家说的，说完以后，费马就又一头
钻到那本《 算术》中去了，再也不理这个问题了。这使得数学家们很气愤，但是可惜的很，
费马的定理总是正确的， 经过一段时间以后，总能有人证出它来。于是很多年以后，那本书
上写的47个定理都被证明了。于是剩 下的那个就是自然被叫做 Fermat's Last Theorem了。
这个定理的内容大家都知 道了，但是证明方法知道的人就不多了。据我所知，自己作了这道
题的人中有李卫公，王二和怀尔斯。 这些人中以怀尔斯最差，因为他先是交了份有错误的卷
子，后来又拿回去改了一年这才算是作出来了。可 惜的是，怀尔斯得了沃尔夫奖，李卫公和
王二却什么也没捞着:(

费尔马大定理的最后证明
费尔马大定理的最后证明(Fermat‘s Last Theorem)
十七世纪法国数学家费尔马（Ｆｅｒｍａｔ）在刁番都（Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎ ｅ）著
作的一页边上写了一个猜测“ｘ
ｎ
＋ｙ
ｎ
＝ｚ
ｎ当ｎ〉２时没有正整数解。”后人称此猜想为费

尔马大定理。费尔马接着写道：“对 此，我已发现了一个巧妙的证明，可惜这里页边的空白太
小，写不下。”
费尔马去世之后 ，他的儿子把费尔马的著述、书信以及费尔马校订刁番都的著作都一起
发表了，但没有发现费尔马大定理 的证明，费尔马是否真正能够证明这个猜想，至今仍然是
个谜。
三百多年以来，许多优秀 的数学家采用种种方法试图补证这个定理，但始终都未获得成
功，直至最近才有英国的怀尔斯（Ａｎｄｒ ｅｗ Ｗｉｌｅｓ）解决。历史性的转变发生在
１９９３年６月２１日至２３日这三天，当时在普林斯顿 数学系任教的４０岁的怀尔斯正在
英国剑桥大学举行一次约有４０至６０人出席的数学会议上，每天做一 段演讲，题目是“模
形式，椭圆曲线和伽罗华表示”。从题目上看不出他要讲的是费尔马大定理，但是他 演讲的最
后一句话是：“这表明费尔马大定理成立，证毕。”
怀尔斯的证明引起了数学界 的很大关注，他的初稿虽然有少许瑕疵，但是稍后被怀尔斯
自己修正过来。纽约时报曾在１９９３年６月 ２９日以“安德鲁。怀尔斯放出数学卫星，３
５０年的古老问题已被攻克”为题发表有关报道。

一本畅销书《费马大定理》


经过几代大数学家失败的尝试 之后，（其中包括欧拉和柯西），这个名声比歌德巴赫猜想
还大的名题在很长时间里几乎没有专业数学家 肯碰了。所谓鉴赏力就是判断一个问题是否重
要的能力，这种能力在科学证明之外。数学也是一门需要鉴 赏力的学科，一个小的岔路，就
足以耗费一个天才的一生。高斯对费马大定理不屑一顾，他说他可以很容 易的构造出许多这
样的难题。希尔伯特也说他不打算把时间浪费在这种几乎注定失败的证明上
直到1986年，在弗赖和里贝特成功地把费马大定理和一个对专业数学家来说也十分重要
的猜想——谷 山志村猜想——联系起来之后，情况才发生改变。安德鲁*怀尔斯听说这个消息
之后，我想他感到了上帝 的召唤，就象许多人在过了几十年安稳的生活之后，突然某一天抛
弃一切去“殉道”一样，他开始了长达 九年的艰苦而秘密的证明。这个证明涉及到这样几个
东西：“椭圆方程”“模形式”和“谷山志村猜想” 。“谷山志村猜想”是50年代
日本数学家谷山丰和志村五郎提出的一个猜想，他们认为数学中的两 个领域——椭圆方程和
模形式——是完全相同的两个东西，也就是每一个椭圆方程能和唯一一个模形式对 应，反之
亦然。模形式到底是什么，我看完了整本《费马大定理》（一本畅销书）也没搞懂，不过可以< br>不去管它。1985年弗赖提出一个思路把费马大定理和谷山志村猜想联系起来，弗赖从假设费
马 大定理错误出发，也就是如果费马方程有解的话，他从原方程导出一个“奇怪”的椭圆方
程，并断言这个 椭圆方程不能模形式化，从而和谷山志村猜想矛盾。1986年里贝特证明了这
个“奇怪”的椭圆方程确 实不能模形式化，从而费马大定理和谷山志村猜想同对或同错。现
在怀尔斯就是要证明谷山志村猜想。他 采用的是数学归纳法。他首先证明椭圆方程的特征E
序列的第一项和模形式的特征M序列的第一项是一一 对应的，然后再证明如果第N项是一一
对应的，那么N+1项也是一一对应的。证明的第一步他花了两年 时间，主要用到了伽罗华的
群论方法（具体不懂，我正在看群论。疯了！）第二步他用了七年时间，中间 经历了可以想象
的“灵感”“失败”“一无进展”“黑暗中的大厦”“痛苦的自我怀疑”“假出路的引< br>诱”“曝光”„„，总之1995年他证出来了，这个证明经过全世界数学家的审视，现在可以
说 是盖棺论定了。
安德鲁*怀尔斯——他的名字将载入史册。
这是一本全 球畅销书，写得非常好，确实令人激动。我估计又将有不知多少的年轻人要
扑向歌德巴赫猜想了。