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第十六章分式知识点和典型例习题
【知识网络】

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分
式的基本性质、 约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些
运算技巧，无一不体现了类 比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．
第一讲 分式的运算

【思想方法】
2.与分式运算有关的运算法则
1．转化思想
3.分式的化简求值(通分与约分)
转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运 用转化思想能把复杂的问题转化为简
4.幂的运算法则
单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题 ，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分
式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式 加减法、同分母的分式加减法；解分式方程
的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程 的解等．
2．建模思想
本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等 ，在运用数学知识解决实际问
题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经 历“实际问题———
分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模 型思想，
对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．
3．类比法
【知识要点】1.
分式的概念以及基本性质;
bcbc
【主要公式】1.
同分母加减法则:


a
0


aa a
bdbcdabcda
2.异分母加减法则:


a< br>0,
c
0

;
acacacac
bdbdbcb dbd
3.分式的乘法与除法:
•
,
•

acac
adacac
4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;
a
m
●
a
n
=a
m+n
; a
m
÷
a
n
=a
m－n

6.
积的乘方与幂的乘方:(ab)
m
=
a
m

b
n
, (a
m
)
n
=
a
mn

7.负指数幂:
a
-p
=
1
a
p

a
0
=1
8.
乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
-可编辑-

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(a+b)(a-b)=
a
2
- b
2
(a±b)
2
= a
2
±2ab+b
2

【例3】当
x
取何值时，下列分式的值为0.
（1）







x1

x3
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义（一）分式的概念：
形如
（2）
|x|2
x
2
4

A
(
A、B
是整式，且
B
中含有字母，
B
≠0)的式子，叫做分式.其中
A
叫做分式的分子,
B
B
叫做分式的分母.
1
x1ab x
2
y
2
xy
【例1】下列代数式中：
,xy,，是分式的有：
,,

2xyxy
ab

.
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例4】（1）当
x
为何值时，分式
（2）当
x
为何值时，分式
（3）当
x
为何值时，分式练习：
1．当
x
取何值时，下列分式有意义：
（1）
1

6|x|3
4
为正；
8x
题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没
有意义 .
【例2】当
x
有何值时，下列分式有意义
（1）
x4
1
3x26x
（2）
2
（3）
2
（4） （5）

1
x4
|x|3
x2x1
x
x
5x
3(x1)
2
为负；
x2
为非负数.
x3





题型三：考查分式的值为0的条件：
1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。

（2）
3x
(x1)1
2
（3）
1
1
1
x





2．当
x
为何值时，下列分式的值为零：
5|x1|
（1）
x4
（2）
25x
2
x
2
6x5


-可编辑-

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3．解下列不等式
（1）
|x|2

0

x1
题型二：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
12
xy
3
（1）
2
11
xy
34
（2）
x5
x
2
2x3
（2）

0

0.2a0.03b

0.04ab



题型三：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.


（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：
2．分式的变号法则：
AAMAM


BBMBM
（1）





xy

xy
（2）

a

ab
（3）

a

b
aaaa


bbbb
题型四：化简求值题
【例3】已知：
112x3xy2y
的值.

5
，求
xyx2xyy
题型一：分式化简（约分）
16x
2
y
3

（1）
20xy
4
；
xyz
x
2
4
（2）
2
; （3）在分式< br>中，x,y,z分别扩大到
x4x4
xyz
原来的两倍，则分式大小怎么变 化？





【例4】已知：
x





1
1

2
，求
x
2

的值.
x
x
2





-可编辑-

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【例5】若
|
xy
1|

(2
x
3)
2

0
，求




练习：
1
的值.
4x2y

(1)

a
2
4a
2
1
；
2 2
a
2
4b
2
ab
；
x
2
（ 2）（3）
42(xy)


2


2
2
3
a2b
a2a1a4a4
3ab
x
35(yx)




题型二：分数除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
3
0.4ab
5

（2）
11
ab
410
0.03x0.2y
（1）
0.08x0.5y
bd

（ ）
ac


【例2】 计算下列各式：
10bc

； （2）12xy
（1）
5b


8x
2
y
；



5a
3ac

21a
< br>2
1
x
2
2．已知：
x
3
，求
4
的值.
2
x
xx1
112a3ab2b
3．已 知：

3
，求的值.
abbaba
2ab
4．若
a
2

2
ab
2

6
b10

0
，求
的值.
3a5b
5．如果
1 x2
，试化简
|x2|
x1|x|
.

2x
|x1|x





（三）分式的乘除法
题型一：分式的乘法：
① 分式乘分式，用分子的积作为积的 分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，
应该通过约分进行化简
bd

（ ）
ac
c

（ ）
b

题型三：分式的混合运算：熟记分式乘除法法则
【例3】计算：
a
2b
3
c
2
2
bc
4
（1）
()() ()
；
caba
② 整式和分式相乘，直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子，分母不变。即
a
【例1】 计算下列各分式：

3a
3
3
yx
2
)( x
2
y
2
)()
； （2）
(
xyyx
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题型四：化简求值题
【例4】先化简后求值
（1 ）
a1a
2
41
a2

a
2
2a 1

a
2
1
，其中
a
满足
a
2
a
0
.



（2）已知
x:y 2:3
，求
(
x
2
y
2
xy
xy< br>)[(xy)(
x
)
3
]
x
y
2< br>的值.




.
（四）、分式的加减法 题型一：同分母分数相加减：分母不变，把分子相加减。
cd
ab

a b

【例1】 计算：
（1）
（xy）
2
(xy) 2
(xy)
2
(xy)
xy

2
xy
；（2）
xy

xy
.；（3）
x
x
2
 y
2
－
y
y
2
x
2





题型二：异分母分数相加减：
正确地找出各分式的最简公分母。
求最简公分母概括为：（通分）
① 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
② 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；
③ 分母是多项式时一般需先因式分解。（
23
a
2

ab
）
【例2】通分：
(1)
3a2babba
5a
2
b< br>,
5a
2
b
,
5a
2
b
（2）
m2nn2m
nm
,
mn
,
nm




【例3】（1）
计算：
3
x4

24
a
2
x
2
16
.
（2）
计算
ab
ab





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1111
（3）
－;
（4）
2
－;
x3x3a4a2
题型三：加减乘除混合运算
【例4】计算：（1）、
(







问题2：怎么解问题1中的分式方程：







【主要方法】
1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.
3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.
33

5
xx4x



x2

（2）
) 
2x4

x2
x2x22x
，


（一）分式方程题型分析
新授知识 分式方程
问题1：一艘轮船在静水中的最大航 速为20千米时，它沿江以最大航速顺流航行
100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所 用的时间相等，江水的流
速为多少？

分式方程概念：
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. x7
x15
=8+，②
3
2
题型一：用常规方法解分式方程
(1)



【例1】解下列分式方程
（1）




13215xx5
x14

；

0
；

（2）（3）（4）


2

1
；
x1xx3xx34x
x1
x1
111 x1

(2)
2

x3xx22x
做一做 在方程①
6
1
1
1< br>x
x
=0中，是
2
=x，③
8
=
x8，④x-
2
x1
x1
62
分式方程的有（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
-可编辑-

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【主要方法】
1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.
3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.
提示易出错的几个问题：① 分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记
验根.
题型二：求待定字母的值
【例5】若分式方程



练习：
1．解下列方程：
（1）




x12x

0
；
x112x
2xa
 
1
的解是正数，求
a
的取值范围.
x2
（2）
x4
2
；
x3x3
-可编辑-