萧亚轩个人资料-戴娆歌曲

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数学建模
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第四次大作业












姓 名 学 号
刘 维 20116554
林胜军 20116552
王 波 201165

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降价折扣券对顾客消费行为的影响
【摘要】本文针对 降价折扣券对顾客消费行为影响的研究，通过调查数据以及图表分析，
建立统计回归模型（logit 模型），在MATLAB软件上运用最大似然法估计模型的参数，并作
出logit 回归曲线与散点图以及预测值和置信区间，从而对模型进行分析和预测，更好的
解决问题。
就问题（1）、问题（2）和问题（3），从折扣券折扣比例的变化对使用折扣券人数比例
产生的影响这 方面进行分析讨论，对问题（1），研究结果表明，需建立一个logit回归模型。
对问题（2），由 估计模型方程，得出当折扣比例为9.9973%时，使用折扣券人数比例为25%。
对问题（3），研 究表明，折扣比例每增加5%，使用折扣券人数与不使用折扣券人数的比相
应的增加，也就是随着折扣比 例的增加，使用折扣券人数比例也增加。
本文通过再建立一个probit回归模型和logit模型 进行比较，对该模型进行评价与结
果分析，得出模型的优缺点并对把模型推广和扩展。

【关键词】

降价折扣 logit模型 消费行为 回归分析





















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一、模型的假设
1.模型的假设
（1）假设这1000个顾客是相互独立的。
（2）折扣券的折扣比例是固定的。
2.符号说明
x表示折扣券的折扣比例
y表示使用折扣券人数比例 Y表示使用折扣券人数
n
i
表示持折扣券人数 m
i
表示使用折扣券人数

i
表示第i组的使用折扣券人数比例 x
i
表示第i组的折扣比例

(x)表示折扣比例为x时使用折扣券人数比例的概率


0
表示回归模型的常数项

1
表示回归模型的X的系数
二、问题分析

（1）、为 了分析使用折扣券人数的比例与折扣券折扣比例的关系，建立模型。
根据问题中的数据作食用折扣券人数 比例与折扣比例的散点图，粗略地进行判
断。

图1：使用折扣券人数比例与折扣比例的散点图
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由 上图可以看出，使用折扣券人数比例随着折扣券折扣比例的增大而递增，
大致是介于0与1之间的曲线， 分析这条曲线应该建立怎么样的回归方程？
（2）根据估计的回归方程，估计使用折扣券人数比例为2 5%时，折扣券的折
扣比例应该多大？
（3）根据模型的估计方程，分析折扣券的折扣比例每 增加5%，使用折扣人
数比例的变化情况。
三、模型的建立与求解
1.模型建立
由于使用折扣券人数比例比例实际上是折扣比例x时Y的平均值，用期望的
表示为y=E（Y︱ x）使用折扣券人数比例y是折扣比例x的函数，其取值在区间
[0,1]上，如果用普通的方法建立回 归方程，那么很容易求得其线性模型或更接
近的非线性曲线，其回归模型为y=

0< br>+

1
x+

2
x^2+

3x
3
+

,其中随机误差

服
从均值为0的 正态分布，特别地当

2
=

3
=0时为线性回归模型。然 而在这个问
题中，（1）式回归方程中y的取值不一定在[0,1]中。即使y在该范围内取值，
由于给定x时，误差项

也只能取0，1两个值，显然

不具有正态性，而 且

的
方差依赖于x,具有异方差性，这些都违反了普通回归分析的前提条件。因此，
应建立一种logit回归模型。
该模型为：㏑｛

(x)[1

(x)]
｝=

0
+

1
x < br>其中条件期望

(x)
=P（Y｜x）,方差D（Y｜x）=

(x)
（1-

(x)
）

(x)
在[0,1]上取值 , logit（

(x)
）取值为（
,
）
2.模型求解
首先由问题重述的表中的数据，用最大似然法估计模型参数,
其模型为: logit（

i
）=ln[

i
( 1-

i
)]=

0
+

1
x 其中

i
= m
i
n
i

利用MATL AB统计工具箱中的命令glmfit求解，用表（1）中的数据输入并执行
以下程序：
T=[0.05 0.10 0.15 0.20 0.30]';
Chd=[32 51 70 103 148]';
.

.
Total=[200 200 200 200 200]';
Proport=;
[b,dev,stats]=glmfit(T,[Chd Total],'binomial','logit');
logitFit=glmval(b,T,'logit');
plot(T,Proport,'o',T,logitFit,'r-');
xlabel('T');ylabel('Proportion of CHD')
b,bi=,dev
得到logit模型中的参数

0
，

1
的最大似然估计值与它的标准差（见下表），拟
合偏差为
0.5102， 并得出logit回归曲线与散点图。

曲线与散点图为：
,
图1：对应的曲线与散点图

再利用命令[yhat,dylo,dyh i]=glmval(b,T,'logit',stats)得到因变量的
预测值及置信度为95﹪的 置信区间，结果如下表：





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折扣比例
／%
5
10
15
20
30
使用折扣券
比例
0.160
0.255
0.350
0.515
0.740
预测值
0.1622
0.2501
0.3648
0.4972
0.7457
置信区间
[0.1313,0.1987]
[0.2175,0.2858]
[0.3325,0.3984]
[0.4599,0.5345]
[0.6917,0.793]

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四、模型评价与结果分析 （一）、用另一种广义线性模型probit模型处理这类问题，并与logit模型
比较，得出优 缺点。probit模型的形式为：

(x)
=

（
< br>0
+

1
x） probit(

(x)
)=

1
(

(x)
)=

0
+

1
x
其中

是正态概率分布函数，它也是S型曲线。
（1）利用MATLAB求解该模型的参数估计值、标准差(见下表)和拟合偏差
0.5527。
（2）、再作出probit模型的预测值和置信区间，与logit模型相互比较（ 见下
表）。
表1：Probit模型与logit模型的比较
折扣比
例%
5
10
15
20
30
使用折扣
券人数比
例
0.160
0.255
0.350
0.515
0.740
预测值
（logit）
0.1622
0.2501
0.3648
0.4972
0.7457
预测值
（probit）
0.1589
0.2520
0.3679
0.4973
0.7438
置信区间（logit） 置信区（probit）
[0.1313,0.1987]
[0.2175,0.2858]
[0.3325,0.3984]
[0.4599,0.5345]
[0.6917,0.793]
[0.1267,0.1960]
[0.2194,0.2870]
[0.3365,0.4002]
[0.4613,0.5333]
[0.6900,0.7923]
（3）、作出probit模型的拟合曲线

图2：probit模型的拟合曲线
通过对probit模型与logit模型的预测值及预 测区间的相互比较，还有对
拟合偏差和拟合曲线的比较发现这两个模型不相上下。
.

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（二）、通过对模型预测与进一步分析，得出probit模型与logit模型的优劣
通过 上述分析可知，logit模型和probit模型都是合适的模型，下面要分析
问题（2）和问题（3 ），对于这两个问题的解决，可以用logit模型进行解决，
而probit模型是无法实现的，因此 运用logit模型比较好。
在logit模型中回归系数

1
有很直观的 解释，logit模型与统计中的
odds(发生比或优势)的概念有密切的联系，odds表示为折扣 比例为X时，使用
折扣券人数与不使用折扣券人数的概率比，即odds（x）=

( x)
(1-

(x)
)
因此logit模型可以表示为odd s（x）=e

0


1
x

对于问题（2），当使用折扣券人数比例为25%时，即为

(x)
(1-

(x)
)
=e

0


1
x< br>=13也就是

0
+

1
x =-1.0986，将

0
=-2.1855，

1
=10.8719代入方程，
解得X=9.9973%，因此当折扣比例为9.9973%时，使用折扣券人数比例为25%。
这就说明，当折扣比例高于9.9973%时，使用折扣券人数比例大于25%。
对于问题（3），当折扣比例升高5%时，odds比为
odds（x）／odds（x+5）= e

0


1
(x5)
e

0


1
x
=e
5

1

于是

1
ln
[odds（x+5） odds（x）] 5，即

1
为自变量增加5个单位时
odds比的对数的15倍。

1
＞0时，e
5

1
＞1，所以X每增加5个单位，odds比< br>会相应的增加，即折扣比例每增加5%，使用折扣券人数与不使用折扣券人数的
比相应的增加，也 就是随着折扣比例的增加，使用折扣券人数比例也增加，且对
任意的正整数k，有odds（x+k）= e
k

1
odds(x)。


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