陈数个人资料-魑魅

青 岛 农 业 大 学

本 科 生 课 程 论 文




论 文 题 目
降价折扣券对顾客消费行为的影响


学生专业班级 信息与计算科学09级1班


指 导 教 师 陈秀荣

完 成 时 间 2012年6月30日






2012 年 7月 1日
学生姓名（学号） 董晨晨 （20093991）

课 程 论 文 任 务 书

学生姓名
董晨晨
指导教师
陈秀荣

论文内容（需明确列出研究的问题）： 本文针对降价折扣券对顾客
消费行为影响的研究，通 过调查数据以及图表分析，建立统计回归模
型（logit 模型），在MATLAB软件上运用最大似然法估计模型的参数，
并作出logit 回归曲线与散点图 以及预测值和置信区间，从而对模
型进行分析和预测，更好的解决问题。主要研究了以下几个方面的问< br>题：(1)建立折扣比例与使用折扣券人数比例之间的logit模型。(2)
估计若想要使用折 扣券人数比例为25%时，则折扣券的折扣比例应该
多大？（3）分析折扣券的折扣比例每增加5%，使 用折扣人数比例的
变化情况
资料、数据、技术水平等方面的要求： 通过书籍报刊杂志、网络
等各种渠道广泛搜集资料 ，充分利用现有文献来借鉴他人的学术成
果，做到了资料翔实，数据准确，引用规范，论证充分。论文符 合一
般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字
流畅、语言准确、要点 清楚，有独立的观点和见解。内容理论联系实
际，计算数据准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公 式标明出
处，结论写的概括简短。


发出任务书日期 2012.6.10 完成论文日期 2012.6.30
教研室意见（签字）

院长意见（签字）
论文题目
降价折扣券对顾客消费行为的影响

降价折扣券对顾客消费行为的影响
信息与计算科学专业 董晨晨
指导教师 陈秀荣
【摘要】本文针对降价折扣券对顾客消费行为影响的研究， 通过调查数据以及图表分析，
建立统计回归模型（logit 模型），在MATLAB软件上运用最大似然法估计模型的参数，并作
出logit 回归曲线与散点图以及预测值和置信区间，从而对模型进行分析和预测，更好的
解决问题。
就问题（1）、问题（2）和问题（3），从折扣券折扣比例的变化对使用折扣券人数比例
产生的影响这 方面进行分析讨论，对问题（1），研究结果表明，需建立一个logit回归模型。
对问题（2），由 估计模型方程，得出当折扣比例为9.9973%时，使用折扣券人数比例为25%。
对问题（3），研 究表明，折扣比例每增加5%，使用折扣券人数与不使用折扣券人数的比相
应的增加，也就是随着折扣比 例的增加，使用折扣券人数比例也增加。
本文通过再建立一个probit回归模型和logit模型 进行比较，对该模型进行评价与结
果分析，得出模型的优缺点并对把模型推广和扩展。

【关键词】

降价折扣 logit模型 消费行为 回归分析

Price cut coupons impact on customer's consumer behavior
Student majoring in Information and Computational Science Dong Chenchen
Tutor Name Chen Xiurong
Abstract: Based on price discount coupons on consumer behavior influence research, through the
survey data and chart analysis, establish the statistical regression model ( logit model), in the
MATLAB software by using the maximum likelihood method to estimate the parameters of the
model, and makes the logit regression curve and scatter diagram and the predicted values and
confidence intervals, thus the model analysis and prediction, better solve the problem.
According to the problems (1), (2) and (3), at a discount ratio variation in the use of discount
coupon number proportion effects of these aspects were discussed, according to the problems (1),
the research results show that, the need to establish a logit regression model. According to the
problems (2), by estimates of the model equation, when the discount is 9.9973%, use the coupon
number ratio of 25%. According to the problems (3), studies suggest, discount for each 5%
increase in the proportion, use the coupon number with and without the use of discount coupon
number than the corresponding increase,it is to saying that, with the discount ratio increaseing, the
proportion of the using ocoupons is increasing.
Through the establishment of a probit regression model and logit model, the model was
evaluated and the results analysis, this article draws the advantage and disadvantage of the model
and the model is extended and expanded.

Key word: Discount price Logit model Consumption behavior Regression analysis

引言
每当节假日，各大商场都进行打折促销。有的会直接进行降价，有的会发
放一些折扣券，有的 举行买一送一的活动，各种各样的促销活动都会展开，吸引
消费者的注意，促进商品的促进商品的销售。 究竟这降价折扣券对顾客消费行为
有何影响呢？会有多少人使用这些折扣券呢？使用最多的折扣券,它的 折扣比例
为多少呢？为了探究这些问题，于是查找了一些资料，通过数据分析得出一些结
论。
一、问题的重述

在一项调查降价折扣券对顾客消费行为影响的研究中，商家对100 0个顾客
发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%，10%，15%，20%，持折扣券人
数
200
200
200
200
200
使用折扣券人
数
32
51
70
103
148
使用折扣券人数比
例
0.16
0.255
0.35
0.515
0.74
折扣比例%
5
10
15
20
30
30%，每种比例的折扣券均发放了200人。
表1：一个月使用购物券购物的人数




(1)建立折扣比例与使用折扣券人数比例之间的logit模型。
(2)估计若想要使用折扣券人数比例为25%时，则折扣券的折扣比例应该多大？
（3）分析折扣券的折扣比例每增加5%，使用折扣人数比例的变化情况
二、模型的假设与符号说明
1.模型的假设

（1）假设这1000个顾客是相互独立的。
（2）折扣券的折扣比例是固定的。
2.符号说明
x表示折扣券的折扣比例
y表示使用折扣券人数比例 Y表示使用折扣券人数
n
i
表示持折扣券人数 m
i
表示使用折扣券人数

i
表示第i组的使用折扣券人数比例 x
i
表示第i组的折扣比例

(x)表示折扣比例为x时使用折扣券人数比例的概率


0
表示回归模型的常数项

1
表示回归模型的X的系数
三、问题分析

（1）、为 了分析使用折扣券人数的比例与折扣券折扣比例的关系，建立模型。
根据问题中的数据作食用折扣券人数 比例与折扣比例的散点图，粗略地进行判
断。

图1：使用折扣券人数比例与折扣比例的散点图
由上图可以看出，使用折扣券人数比例随着折 扣券折扣比例的增大而递增，
大致是介于0与1之间的曲线，分析这条曲线应该建立怎么样的回归方程？
（2）根据估计的回归方程，估计使用折扣券人数比例为25%时，折扣券的折

扣比例应该多大？
（3）根据模型的估计方程，分析折扣券的折扣比例每增加5%，使用折扣人
数比例的变化情况。
四、模型的建立与求解
1.模型建立
由于使用折扣券人数 比例比例实际上是折扣比例x时Y的平均值，用期望的
表示为y=E（Y︱x）使用折扣券人数比例y是 折扣比例x的函数，其取值在区间
[0,1]上，如果用普通的方法建立回归方程，那么很容易求得其线 性模型或更接
近的非线性曲线，其回归模型为y=

0
+

1
x+

2
x^2+

3
x
3
+

,其中随机误差

服
从均值为0的正态分布，特别地当

2
=

3
=0时为线性回归模型。然而在这个问
题中，（ 1）式回归方程中y的取值不一定在[0,1]中。即使y在该范围内取值，
由于给定x时，误差项
也只能取0，1两个值，显然

不具有正态性，而且

的方差依赖于x,具有异方差性，这些都违反了普通回归分析的前提条件。因此，
应建立一种logi t回归模型。
该模型为：㏑｛

(x)[1

(x)]
｝=

0
+

1
x
其中条件期望

(x)
=P（Y｜x）,方差D（Y｜x）=

(x)
（1-
(x)
）

(x)
在[0,1]上取值 , logit（

(x)
）取值为（
,
）
2.模型求解
首先由问题重述的表中的数据，用最大似然法估计模型参数,
其模型为: logit（

i
）=ln[

i
( 1-

i
)]=

0
+

1
x 其中

i
= m
i
n
i

利用MATL AB统计工具箱中的命令glmfit求解，用表（1）中的数据输入并执行
以下程序：
T=[0.05 0.10 0.15 0.20 0.30]';
Chd=[32 51 70 103 148]';
Total=[200 200 200 200 200]';
Proport=;
[b,dev,stats]=glmfit(T,[Chd Total],'binomial','logit');

参数


0



1

参数估计值
-2.1855
10.8719
标准差
0.1647
0.8843
logitFit=glmval(b,T,'logit');
plot(T,Proport,'o',T,logitFit,'r-');
xlabel('T');ylabel('Proportion of CHD')
b,bi=,dev
得到logit模型中的参数

0
，

1
的最大似然估计值与它的标准差（见下表），拟
合偏差为
0.5102， 并得出logit回归曲线与散点图。
表2：最大似然估计值和标准差



曲线与散点图为：
,
图1：对应的曲线与散点图

再 利用命令[yhat,dylo,dyhi]=glmval(b,T,'logit',stats)得到因变 量的
预测值及置信度为95﹪的置信区间，结果如下表：
表3： 使用折扣券人数比例的预测值与预测区间
折扣比例
／%
5
使用折扣券
比例
0.160
预测值
0.1622
置信区间
[0.1313,0.1987]

10
15
20
30
参数
0.255 0.2501 [0.2175,0.2858]
[0.3325,0.3984]
标准差
[0.4599,0.5345]
[0.6917,0.793]
0.0950
0.5141
0.350 0.3648
参数估计值
0.515 0.4972
0.7457

0

0.740
-1.3299

1

6.6161
五、模型评价与结果分析
（一）、用另一种广义线性模型probit模型处理这类问题，并 与logit模型
比较，得出优缺点。probit模型的形式为：

(x)
=

（

+

1
x） probit(

(x)
)=

1
(

(x)
)=< br>
0
+

1
x
其中

是正态概率分布函数，它也是S型曲线。
（1）利用MATLAB求解该模型的参数估计值、标准差(见下表)和拟合偏差
0.5527。
表4：模型的参数估计值、标准差



（2） 、再作出probit模型的预测值和置信区间，与logit模型相互比较（见下
表）。
表5：Probit模型与logit模型的比较
使用折扣
折扣比
例%
5
10
15
20
30
券人数比
例
0.160
0.255
0.350
0.515
0.740
预测值
（logit）
0.1622
0.2501
0.3648
0.4972
0.7457
预测值
（probit）
0.1589
0.2520
0.3679
0.4973
0.7438
置信区间（logit） 置信区（probit）
[0.1313,0.1987] [0.1267,0.1960]
[0.2175,0.2858]
[0.3325,0.3984]
[0.4599,0.5345]
[0.6917,0.793]
[0.2194,0.2870]
[0.3365,0.4002]
[0.4613,0.5333]
[0.6900,0.7923]
（3）、作出probit模型的拟合曲线

图2：probit模型的拟合曲线
通过对probit模型与logit模型的预测值及预 测区间的相互比较，还有对
拟合偏差和拟合曲线的比较发现这两个模型不相上下。
（二）、通过对模型预测与进一步分析，得出probit模型与logit模型的优劣
通过 上述分析可知，logit模型和probit模型都是合适的模型，下面要分析
问题（2）和问题（3 ），对于这两个问题的解决，可以用logit模型进行解决，
而probit模型是无法实现的，因此 运用logit模型比较好。
在logit模型中回归系数

1
有很直观的 解释，logit模型与统计中的
odds(发生比或优势)的概念有密切的联系，odds表示为折扣 比例为X时，使用
折扣券人数与不使用折扣券人数的概率比，即odds（x）=

( x)
(1-

(x)
)
因此logit模型可以表示为odd （x）=e

0


1
x

对于问题（2），当使用折扣券人数比例为25%时，即为

(x)
(1-

(x)
)
=e

0


1
x< br>=13也就是

0
+

1
x =-1.0986，将

0
=-2.1855，

1
=10.8719代入方程，
解得X=9.9973%，因此当折扣比例为9.9973%时，使用折扣券人数比例为25%。
这就说明，当折扣比例高于9.9973%时，使用折扣券人数比例大于25%。
对于问题（3），当折扣比例升高5%时，odds比为
odds（x）／odds（x+5）= e

0


1
(x5)
e

0


1
x
=e
5


1
于是

1
ln
[odds（x+5） odds（x）] 5，即

1
为自变量增加5个单位时

od ds比的对数的15倍。

1
＞0时，e
5

＞1，所以X 每增加5个单位，odds比
1
会相应的增加，即折扣比例每增加5%，使用折扣券人数与不使 用折扣券人数的
比相应的增加，也就是随着折扣比例的增加，使用折扣券人数比例也增加，且对
任意的正整数k，有odds（x+k）=e
k

odds(x)。
1
六、模型的推广与扩展
因变量是定性变量的回归分析作为一种有效的数据处理方法 已被广泛应用，
尤其在医学、社会调查、生物信息处理等领域。这类回归模型属于广义线性模型
的研究范畴。本题目只涉及因变量是0-1变量且只有一个变量的情形，可以推广
到多个自变量x
1
,…,x
m
的情形，建立多元logit模型和probit模型，选择合适的模型。
【参考文献】
[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社,2011.
[2]韩中庚，宋明武，邵广纪.数学建模竞赛.北京：科学出版社,2007.
[3]杨伟权.概率论及数理统计.北京：高等教育出版社，1998.

课程论文成绩评定表
学生姓名
论文题目
指导教师评语及意见：









董晨晨 专业班级 信息与计算科学09级1班
降价折扣券对顾客消费行为的影响

指导教师评阅成绩： 指导教师签字



年 月 日