1号报-假如给我三天光明简介

最新高中数学奥数竞赛竞赛试题
总分200分
一、选择题（50分）
1、已知
i
是虚数单位，则复数
12i
=（ ）
i2
A
i
B
i
C
4343
i
D
i

5555
2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间
(,)
上单调递增的函数是（ ）
A
yx
2
x
B
yx2sinx
C
yx
3
x
D
ytanx

rr
rr

5

p:a b1
3、已知
a,b
均为单位向量，其夹角为

，则命题是命题< br>q:

[,)
的
26
（ ）
A 充分非必要条件 B 必要非充分条件
C 充要条件 D 非充分非必要条件
4、已知集合
P

x|1x2
,M

x|2ax1a

，若
PIMP
， 则实
数
a
的取值范围是（ ）
A
(,1]
B
[1,)
C
[1,1]
D
[1,)

5、函数
y
3

sin(x )cos(x)
的最大值是（ ）
226
13
1313
B C D
13

4
42
6、如图，四棱锥
SABCD
的底 面是正方形，
SD
底面
ABCD
，则下列结论中不正确的是（ ）
A
A
C
D
ABSA
B
BCP
平面
SAD

BC
与
SA< br>所成的角等于
AD
与
SC
所成的角
SA
与 平面
SBD
所成的角等于
SC
与平面
SBD
所成的角 7、程序框图如图所示，若
f(x)x
2
,g(x)log
2
x
，输入
x
的
值为0.25，则输出的结果是（ ）
0.24
B
2
C
2
D
0.25

rr
8、设
i,j
分别表示平面直角坐标系< br>x,y
轴上的单位向量，且
A

rrrrrr
aia2j5
，则
a2i
A
的取值范围是（ ）
[22,3]
B
[
6565
,22]
C
[5,4]
D
[,3]

55
9135
x
2
y
2
)
，9、已知
F
1
,F
2
分别为双曲线
C: 1
的左右焦点，点
A
的坐标为
(,
22
927
则< br>F
1
AF
2
的平分线与轴的交点
M
的坐标为（ ）
A
(2,0)
B
(2,0)
C
(4,0)
D
(4,0)

10、设
f(x )x
2
bxc
，若方程
f(x)x
无实根，则方程
f(f(x))x
（ ）
A 有四个相异实根 B 有两个相异实根
C 有一个实根 D 无实数根

二、填空题（共49分） < br>11、设直线
yax4
与直线
y8xb
关于直线
y x
对称，则
a___,b____.

12、已知
1cosx
sinx
，则
x_______.

1cosx
x( x1)arcsin(x
2
x1)
的值为_______.
213、已知
xR
，则
14、已知实数
a,b,c,d
满足abc
_______.
15、设数列
_______.
d2
1
，则
(ac)
2
(bd)
2
的最 小值为
2011

a
n

为等比数列，且每项都大于1，则
lga
1
lga
2012
1

i1
lg a
i
lga
i1
的值为
11
(x)
4
(x
4

4
)
xx
的最小值为_______. 16、 设
x0
，则
f(x)
11
(x)
3
(x< br>3

3
)
xx
17、如图是一个残缺的
33
幻方，此幻方每一行每一列及每一

条对角线上得三个数之和有相等的值，则
x
的值为_______.



三、解答题（每题17分，共51分）
4015
2014
4017

9
2012
11

18、已知实数
x
1
,x
2
,L
均值.



















,x
10
满足

|x
i
1|4,

|x
i
2|6
，求
x
1
,x
2
,L,x
10
的平
i1i1
1010
x
2
y
2
19 、设
P
为椭圆
1
长轴上一个动点，过点
P
斜率为
k
直线交椭圆于两点。若
2516
PAPB
















22
的值仅仅依赖于
k
而与
P无关，求
k
的值.

20、设
p,qZ

，且pq
2
。试证对
nZ

，存在
NZ
< br>，
(pp
2
q)
n
NN
2
qn
且
(pp
2
q)
n
NN
2
q
n
.































使

四、附加题（每题25分，共50分）。
21、设圆
O< br>4
与
O
1
，圆
O
1
与
O
2
，圆
O
2
与
O
3
，圆
O
3
与
O
4
分别外切于
P
1
,P
2
,P3
,P
4
，试
证：
（1）
P
1
,P
2
,P
3
,P
4
四点共圆；
（2）四边形
O
1
O
2
O
3
O
4
是某个圆的外切四边 形；并且该圆的半径不超过四边形
P
1
,P
2
,P
3
,P
4
的外接圆的半径.

22、设
i
1
,i
2
,L,i
10
为
1 ,2,L,10
的一个排列，记
Si
1
i
2
i
3
i
4
Li
9
i
10
，
求S
可以取到的所有值.