冰车-情人节送男朋友什么

2018年全国初中数学竞赛试题及解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1、设a,b,c的平均数为M，a,b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a>b>c，则M与P的
大小关系是（ ）
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
2 、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b再前进c千 米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A）甲比乙大5岁； （B）甲比乙大10岁；
（C）乙比甲大10岁； （D）乙比甲大5岁。
4、一个一次函数 图象与直线
595
x
平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－
44
1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
5、设a,b,c分别是△ABC的三边的长，且
aab
，

babc
则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
6、已知 △ABC的三边长分别为a,b,c，面积为S，△A
1
B
1
C
1< br>的三边长分别为a
1
,b
1
,c
1
，面积为
S
1
，且a>a
1
,b>b
1
, c>c
1
,，则S与S
1
的大小关系一定是（ ）。
（A）S＞S
1
；（B）S＜S
1
；（C）S＝S
1
；（D）不确定。
二、填空题
7、已知:

a
3
4
3
2
3
1
，那么
331

＝________。
aa
2
a
3
8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝ 6
2
，
∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等于________。
9、已知关于的方程 (a-1)x+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。
2
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、
6 米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么
钢丝绳AD与 BC的交点P离地面的高度为________米。

11、如图，在直角坐 标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y=
x+b
恰好
将矩形O ABC分成面积相等的两部分，那么b＝________。
12、某商场经销一种商品，由于进货时 价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个
百分点，那么经销这种商品原来的利润率是___ _____。
销售价-进价
（注：利润率=×100％）
进价
三、解答题
13、设m是不小于-1的实数，使得关于
数根x
1
,x
2
。
22
（1）若x
1
+x
2
=6，求m的值。
2
mx
1
2
mx
2

（2）求的最大值。
1x
1
1x
2
1
3
的方程x+2(m-2)x +m-3m+3=0有两个不相等的实
22

14、如上图：已知 四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，
AB＝
2< br>AE，且BD＝2
3
，求四边形ABCD的面积。

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人， 而且只能在第2
层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，
往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第
33层 的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小
值是多少？（有些人 可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）

解答
1.答：（B）。
∵M＝
a bcab
Ncab2cab2c
，N＝，P＝，M－P＝，

2212
32
∵
abc
，
∴
ab2c
cc2c
＞，即M－P＞0，即M＞P。
12
12
2.
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗 的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示
消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一 段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3.
答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4.
答：（B）。
在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x＝－1＋4N，y＝－25＋5N，（N是整
数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，
∴
1
≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
4
5.
答：（B）。
由
aabab
得

，延长CB至D，使BD＝AB，

babcbac
于是CD＝a+c，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC: AC＝AC:DC，
∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，
∵∠BAD＝∠D，
∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6.
答：（D）。
分别构造△ABC与△A
1
B
1
C
1
如下： s

a

①作△ABC∽△A
1
B
1
C
1
，显然


1
，即S＞S
1
；
s
1

a
1

②设a=b=

1 01
,c=20
，则
h
c
1
，S＝10，a
1< br>=b
1
=c
1
=10，则S
1
＝
S＜S1
；
③设a=b=
101
,c=20
，则
h
c
1
，S＝10，a
1
=b
1
=
29
,
c
1
=10，则
h
c
2
，S
1
＝10，
即S＝S
1
；因此，S与S
1
的大小关系不确定。
2
3
×100＞10，即
4
7.
答：1。
1
3
21
。
a
331
3a
2
3a1
∴

2

3
=

3
a
aaa
∵
(
3
21)a211
，即
a< br>3
3a
2
3a1

a1

1
11
=

1

1
a3
a

a

33

3
2
3
1211
.

8.
答：66＋6
3
（平方单位）。

作AE、BF垂直于DC，垂足分别 为E、F，由BC＝6
2
，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC
＝6。由∠BAD ＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2
3
，AB＝EF＝8，DC＝2< br>3
＋
8＋6＝14＋2
3
，∴
S
梯形ABCD
(81423)66663
。
1
2
9.
答：5。
①当a=1时，x=1；
②当
a1
时，易知x=1是方程的一个整数根， 再由
1x
2
且x是整数，知
1a
1a1,2
，∴a=-1,0,2,3；
由①、②得符合条件的整数a有5个。
10.
答：2.4米。
作PQ⊥BD于Q，设BQ＝x米，QD＝y米，PQ＝h米，由AB∥PQ∥CD， 得
hy

及
4xy
hx
5h

，两式相 加得
1
，由此得h=2.4米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：
6xy< br>12
由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）
11.
答：。
直线y=
x
通过点D（15，5），故BD＝1。
1
2< br>1
3
当b=
1

11
1

1

时，直线
yx
通过

0,

,

15,5

两点，则它恰好将矩形OABC分成面
2

2
32

2

积相等的两部分。
12.
答：17％。设原进价为x元，销售价为y元，
那么按原进价销售的利润率为
yx
×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为
x
y93.6%x
×10 0％，依题意得：
93.6%x
yx
y93.6%x
×100％＋8％＝×100％， < br>93.6%x
x
1.17xx
解得y＝1.17x，故这种商品原来的利润率 为×100％＝17％。
x
13.
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以
=4(m-2)
2
-4(m
2
-3m+3)=-4m+4>0

∴m<1。根据题设，有
1m1
。
2
（1） 因 为
x
1
2
x
2
(x
1
x
2
)
2
2x
1
x
2
4(m2)
22(m
2
3m3)2m
2
10m10

∴
2m
2
10m10
=6,m=
517

2

由于
1m1
，故m=
517
。
2
2222
2

m

x(1x)x(1x )mxxx
1
x
2
(x
1
x
2
)< br>
mx
1
2
mx
2
122112
< br>
（2）=


1x
1
1x
2
(1x
2
)(1x
1
)x
1
x
2
x
1
x
2
1
22
m


(2m 10m10)(m3m3)


=
(m
2
 3m3)(2m4)1
m(2m
3
8m
2
8m2)< br>

2
mm
2m(m1)(m
2
3m1)
=
2(m
2
3m1)

m(m1)
3
< br>5

设y=
y2(m3m1)2

m
< br>
,(
1m1
)
2

2

2
2
Y在
1m1
上是递减的，所以当m=-1时，y取最大值10。
2
mx
1
2
mx
2

故的最大值为10。
1x
1
1x
2
22
14.
解：由题设得AB ＝2AE＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝
3
。 ∴OH＝
OB
2
BH
2
43
＝1，AH＝OA－ OH＝2－1＝1。
∴
S
ABD

11
BDAH2 313
，∵E是AC的中点，∴
S
ABE
S
BCE
，
22
S
ADE
S
DCE
，∴
S
ADB
S
DCB
，∴
S
四边形ABCD
2SADB
23
。
15.
解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。
对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数 一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层
数。事实上，设住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯 上楼，s楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：
设电梯停在第x层。
①当x满意总分为3t+3s-3x-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为3t +3s-3x-3。
②当x=s满意总分为3t-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为3t-3。
③当 s满意总分为3t+ x-s-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3t-3x+3s-3，前者比后
者多4(x- s)>0。
④当s意总分为4t-s-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3s-3，前者比后者多4(t-s )>0。
⑤当s满意总分为3t+x-s-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3s+x-t-3，前者比后者
多4(t-s)>0。

今设电梯停在第x层，在第一层有y人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：
S=3[1+2+…+(33-x)]+3(1+2+…+y)+[1+2+…+(x-y-1-1)]
=
3(33x)(34x)3y(y1)(xy2)(xy1)


222
2
=2x
2
-xy-102x+2y
2
+3y+1684=2x
2
-(y+102)x+2y
2
+3y+1 684
y102

1

2
=
2
x

(15y180y3068)

4

8< br>
y102

15

2
=
2
< br>x

(y6)316316

4

8

当x＝27，y＝6时，s＝316。
所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。




2