中秋节600字作文-化工行业报告

选修4-4 第二讲 参数方程测试题
一、选择题

x
1
1．参数方程

＝

t
，
(t为参数)所表示的曲线是 ( )．


y＝
1
2
t
t－1

2．直线


x＝－2－2t，

y＝3＋2t
(t为参数)上与点P(－2，3)的距离等于2的点的坐标是( )．
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－3，4)或(－1，2) D．(－4，5)或(0，1)
3．在方程


x＝sin θ，

y＝cos 2θ
(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为 ( )．
A．(2，－7) B.


12

3
，
3


11


C.


2
，
2


D．(1，0)
4．若P(2，－1)为圆


x＝1＋5cos θ，

y＝5sin θ
(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在
的直线方程为 ( )．
A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝5
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
5．下列参数方程(t为参数)与普通方程x
2
－y＝0表示同一曲线的方程是( )．
A.


x＝|t|

y＝t
B.


x＝cos t

y＝cos
2
t


x＝tan t
C.


x＝tan t

y＝
1＋cos 2t
D.

1－cos 2t

y＝
1－cos 2t

1＋cos 2t
6．直线3x－4y－9＝0与圆


x＝2cos θ，

y＝2sin θ
(θ为参数)的位置关系是 ( )．
A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
< br>7．参数方程


x＝t＋
1
t
，

(t为参数)所表示的曲线是 ( )．

y＝－2
A．一条射线 B．两条射线 C．一条直线 D．两条直线
8．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r与圆


x＝rcos φ，

y＝rsin φ
(φ是参数)的位置关是( )．
A．相交 B．相切 C．相离 D．视r的大小而定
9．过点(0，2)且与直线


x＝2＋t，

y＝1＋3t
(t为参数)互相垂直的直线方程为 ( )．

A.


x＝3t

x＝－3

y＝2＋ t
B.

t

y＝2＋t

C.


x＝－3t

y＝2－t
D.


x＝2－3t

y＝t

10．若圆的方程为


x＝－1＋2cos θ，

y＝3＋2sin θ
(θ为参数)，直线的方程为

x＝2t－1，

y＝6t－1
(t为参数)，则
直线与圆的位置关系是 ( )．
A．相交过圆心 B．相交但不过圆心
C．相切 D．相离

二、填空题

11．圆的参数方程为


x＝2＋4cos θ，

y＝－3＋4sin θ
(0≤θ<2π)，若圆上一点P对应参数θ＝
4
3
π，
则P点的坐标是________．
12．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：


x＝1＋2cos θ

y＝1＋2sin θ
，则C上各点到l的距离的最小
值为________．
13．已知P为椭圆4x
2
＋y
2
＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________ ．
14．点(－3，0)到直线

x＝2t，


y＝< br>2
t
(t为参数)的距离为________．
2
三、解答题(本大 题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤)
15．已知x，y满足(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝4，求S＝3x－y 的最值．




16.如图所示，连结原点O和抛物线y＝2x
2
上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，
求P点的轨迹．





22
17．已知点A为椭圆
xy
2
25
＋
9
＝1上任意一点，点B为圆(x－1)
2
＋y＝ 1上任意一点，求
|AB|的最大值和最小值．





18．设直线l的参数方程为


x＝3＋tcos α，

y＝4＋tsin α
(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为


x＝1＋2cos θ，

y＝－1＋2sin θ
(θ为参数)．
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率．
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．






19．已知曲线C


x＝cos θ，

2，
1
：

y＝sin θ
)，曲线C
x＝
2
2
t－
(θ为参数
2
：
< br>(t为参数)．


y＝
2
2
t
(1)指 出C
1
，C
2
各是什么曲线，并说明C
1
与C
2< br>公共点的个数；
(2)若把C
1
，C
2
上各点的纵坐标都压 缩为原来的一半，分别得到曲线C′
1
，C′
2
.
写出C′
1
，C′
2
的参数方程．C′
1
与C′
2
公共点 的个数和C
1
与C
2
公共点的个数
是否相同？说明你的理由．

答案及解析
1．解析 将参数方程进行消参，则有t＝
1
x
，把t＝
1
x
，代入y＝
1
t
t
2
－1中，得当
x>0时，x
2
＋y
2
＝1，此时y≥0；当x< 0时，x
2
＋y
2
＝1，此时y≤0.对照选项，
可知D正确．
2．解析 可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的
非标准式中参数的几何意义可得 （－2）
2
＋（2）
2
·|t|＝2，
可得t＝±
2
x＝－3，

x＝－1，
2
，将t代入原方程，得


y＝4
或


y＝2，
所以所求点的坐标
为(－3，4)或(－1，2)．
3．解析 把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是y＝1－2x
2

(－1≤x≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．
4．解析 ∵由


x＝1＋5cos
θ

y＝5sin
θ
消去θ得，(x－1)
2
＋y
2
＝25
∴圆心C(1，0)，∴k
CP
＝－1，∴弦所在的直线的斜率为1
∴弦所在的直线方程为y－(－1)＝1·(x－2)
即x－y－3＝0.
5．解析 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x
2
－y＝0中的x∈R，y≥0.A
中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1，1]，故排除A和B.而C中y＝
2cos
2
t
2sin
2
t
＝cot
2
t
＝
11
tan
2
t
＝
x
2
，即x
2
y＝1，故排除C.
6． 解析 把圆的参数方程化为普通方程，得x
2
＋y
2
＝4，得到半径为2，圆心为
(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线
和圆的位置关系．
7． 解析 根据参数中y是常数可知，方程表示的是平行于x轴的直线，再利用
不等式知识求出x的范围可得x≤－2或x≥2，可知方程表示的图形是两条射
线．
8． 解析 根据已知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d
＝
|0＋0－r|
cos
2

θ
＋sin
2

θ
＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．
9．解析 直线

x＝2＋t，

y＝1＋3t
化为普通方程为y＝3x＋1－23，其 斜率k
1
＝3，
设所求直线的斜率为k，由kk
3

x＝ －3t
1
＝－1，得k＝－
3
，故参数方程为


y＝2＋t
(t
为参数)．
10． 解析 圆的标准方程为(x＋1)
2
＋(y－3)
2
＝4，
直线的方程为3x－y＋2＝0，
圆心坐标为(－1，3)，
易验证圆心不在直线3x－y＋2＝0上．
而圆心到直线的距离d＝
|－1×3－3 ＋2|
3
2
＋（－1）
2
＝
4
10
<2，
∴直线与圆相交．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
11． 解析 当θ＝
4
3
π时，
x＝2＋4cos
4
3
π＝0，
y＝－3＋4sin
4
3
π＝－33，
∴点P的坐标是(0，－33)．
12． 解析 圆方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4，
∴d＝
|1－1＋4|
1
2
＋（－1）
2
＝22，
∴距离最小值为22－2.
解析 由4x
2
＋y
2
＝4 ，得x
2
＋
y
2
13．
4
＝1.
令


x＝cos
φ

y＝2sin
φ
(φ为参数)，

则|OP|
2
＝x< br>2
＋y
2
＝cos
2
φ
＋4sin
2
φ
＝1＋3sin
2
φ
.
∵0≤sin
2
φ< br>≤1，∴1≤1＋3sin
2
φ
≤4，
∴1≤|OP|≤2.
x＝2t
14． 解析 ∵直线



y＝
2
的普通方程为x－22y＝0， 2
t
∴点(－3，0)到直线的距离为d＝
|－3－0|
1＋（－22）
2
＝1.
三、解答题
15．解 由(x－1)
2
＋(y ＋2)
2
＝4可知曲线表示以(1，－2)为圆心，半径等于2的
圆．令x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，则S＝3x－y＝3(1＋2cos θ)－(－2
＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，
所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S有最大值5＋210；
当sin(θ＋φ)＝－1时，S有最小值为5－210.
所以S的最大值S
max
＝5＋210；
S的最小值S
min
＝5－210.
16． 解 因为抛物线标准方程为x
2
＝
1
2
y，

所以它 的参数方程为

x＝
1

2
t，
(t为参数)，


y＝
1
2
2
t
得M


tt
2


2
，
2

.设P(x，y)，则M是OP的中点，

1
所以

t＝0＋x

22
，
即


x＝t，
< br>2
(t为参数

1
＋y

y＝t
)， < br>2
0
2
t＝
2
，
消去参数t，得y＝x
2< br>.
所以，点P的轨迹方程为y＝x
2
，它是以y轴为对称轴，焦点为


1


0，
4


的抛物
线．
17． 解 化椭圆普通方程为参数方程


x＝5cos θ，

y＝3sin θ
(θ为参数)，圆心坐标为C(1，
0)，再根据平面内两点之间的距离公式可得
|AC|＝（5cos θ－1）
2
＋9sin
2
θ＝16cos
2
θ－10cos θ＋10
＝ 16


5

cos θ －
16


2
135

＋
16
，
所以，当cos θ＝
5315
16
时，|AC|取最小值为
4
；
当cos θ＝－1时，|AC|取最大值为6.
所以，当cos θ＝
5
时，|AB|取最小值为
315
164
－1；
当cos θ＝－1时，|AB|取最大值为6＋1＝7.
18． 解 (1)由已知得直线 l经过的定点是P(3，4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，直 线l的斜率为k＝
5
2
.
(2)由圆C的参数方程


x＝1＋2cos θ，

y＝－1＋2sin θ
得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2，
由直线l的参数方程为


x＝3＋tcos α，

y＝4＋tsin α
(t为参数，α为倾斜角)，
得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，
即
|5－2 k|
k
2
＋1
<2，由此解得k>
21
20
. < br>直线l的斜率的取值范围为


21


20
，＋∞


.
19． 解 (1)C
1
是圆，C
2
是直线．
C
1
的普通方程 为x
2
＋y
2
＝1，圆心C
1
(0，0)，半径r＝1.
C
2
的普通方程为x－y＋2＝0.

因为圆心C
1
到直线x－y＋2＝0的距离为1，
所以C
2
与C
1
只有一个公共点．
x＝cos θ，

(2)压缩后的参数方程分别为C′
1
：

1
y＝sin θ，


2
2

x＝

2
t－
(θ为参数)，C′
2
：

2

y＝

4
t
2，
(t为参数)，
12
化 为普通方程为C′
1
：x
2
＋4y
2
＝1，C′
2
：y＝
2
x＋
2
，
联立消元得2x
2
＋22x＋1＝0，
其判别式Δ＝(22)
2
－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C′
2
与椭圆C′
1
仍然只有一个公共点，和C
1
与C
2公共点的
个数相同．