奥巴马的夫人-shilian

三、高斯定理
1、高斯定理的内容
通过任意一个闭合曲面的电通 量等于包围在该闭合面内所有电荷电量的
代数和除以，与闭合面外的电荷无关。用公式表示，得

这个闭合面习惯上叫高斯面。闭合面内的电荷可能有正有负，电量的代数和
指的是正负电荷电量 的代数和。
2、高斯定理的证明
（1）单个点电荷包围在同心球面内
设 空间有一点电荷，其周围激发电场。以为球心，为半径作一球面
为高斯面。则高斯面上各点场强的大小相 等，方向沿矢径方向向外。在高斯面上
取一面元，则通过的电通量为

通过整个高斯面的电通量为

（2）单个点电荷包围在任意闭合曲面内
在闭合曲面内以为球心，为半径作一任意球面
上取一面元 ，则通过 的电通量为
为高斯面。在面

通过整个闭合曲面的电通量为

（3）单个点电荷在任意闭合曲面外
以为顶点作一锥面，立体角为
元, ，它们到顶点的距离分别为

。锥面在闭合曲面上截取了两个面
，则通过和的电通量为



即和的数值相等，符号相反，它们的代数和为零。而通过整个闭
是通过这样一对对面元的电通量 之和，因而也等于零。 合曲面的电通量

（4）多个点电荷的情形
在高斯面 之内，
，由场强叠加原理，
设空间同时存在个点电荷，其中
在高斯面之外。设面上任一点的场强为
得
式中
存在时的场强。穿过 面的电通量为
是各点电荷单独

高斯定理是静电场的两条基本定理之一，它反映了静 电场的基本性质：静电
场是有源场，源即电荷。此外高斯定理不仅对静电场适用，对变化的电场也适用，它是电磁场理论的基本方程之一。
四、应用高斯定理求场强
1、均匀带电球壳的场强
设有一半径为的球壳均匀带电，其所带电量为，求球壳内外的电场
强度。
解：（1）、球壳外的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，< br>该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得

所以

（2）、球壳内的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性 ，
该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得

所以

2、均匀带电球体的场强
设有一半径为的均匀带电球体，其所带电荷的体密度为 ，求球体
内外的电场强度。

解：（1）、球体外的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，
该面上场强的数值都相同，方向沿半径向 外。应用高斯定理，得

所以



（2）、球体内的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上
场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得

所以

3、无限大均匀带电平面的场强
设有一无限大均匀带电平面，其所带电荷的面密度为 ，求带电平面
的电场强度。
解：经过平面中部作一封闭圆柱面为高斯面，其轴线与平面正交，底面
积为 。令
得
为两底面上的场强，则通过的电通量为 ，由高斯定理，

所以

若有两平行无限大均匀带电平面，其所带电荷的面密度为。可
以证明，在两平行板中间，电场强度为：
在两平行板外侧，电场强度为：
4、无限长均匀带电直导线的场强


设有一无限长均匀带电直导线，其所带电荷的线密度为，求带电导线
周围的电场强度。
解：过直导线作一高为、截面半径为
r
的封闭圆柱面为高斯面。根据电场
轴的对称性，通过圆柱侧面的电通量为
高斯定理，得
，通过圆柱底面的电通量为0。由

所以