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勾股定理 测试卷
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(1 --7题每小题3分，8---10每小题4分共 33 分)
1．在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是( C )
A．10，8，6 B．3，3，23 C．1，3，5 D．25，15，20
2．下列说法错误的是( B )
A．任何命题都有逆命题 B．定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是正确的 D．定理的逆定理一定是正确的
3．下列几组数中，是勾股数的有( B )
27①5，12，13；②13，14，15；③3k，4k，5k(k为正整数)；④，2，.
33
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．如图，数轴上点A表示的数是0，点B表 示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，
以A为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴交于点D ，则点D表示的数为( B )

A．1.4 B.2 C.3 D．2
5． 如图，将△ABC放在正方形网格中(图中每个小正方形边长均为1)，点A，B，C恰好在
网格图中的 格点上，那么∠ABC的度数为( D )

A．90° B．60° C．30° D．45°
6.已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是23 cm，则另一条直角边的长是( C )
A．4 cm B．43 cm C．6 cm D．63 cm
7．一个圆桶底面直径为24 cm，高32 cm(如图)，则桶内所能容下的最长木棒为( C )

A．20 cm B．50 cm C．40 cm D．45 cm
1
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心， 相同的长(大于AB)为半
2
径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交B C于点E.若AC＝3，AB
＝5，则DE等于( D )

101515
A．2 B. C. D.
328
9. 如图，分别以Rt△ABC的三边为 边长向外作等边三角形．若AB＝4，则三个等边三角
形的面积之和是( A )

A．83 B．63 C．18 D．12
10.已知△ABC的三个角是∠A，∠B ，∠C，它们所对的边分别是a，b，c.①c
2
－a
2
＝b
2；②∠A
11
＝∠B＝∠C；③c＝2a＝2b；④a＝2，b＝22，c＝17.上述四 个条件中，能判定△ABC
23
为直角三角形的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每11---13每小题3分，14---20每小题4分，共37分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AB＝10，BC＝52．
12．如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长等于13.

13.如图，有一块边长为24 m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器 材，由于居住在A
处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走16步，踏之何忍”，但小颖不 知应
填什么数字，请你帮助她填上．(假设两步为1米)

14．如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36 cm，点P从点A开始沿
AB边向点B以每秒1 cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动．若
同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为18cm
2
.

15．如图，将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设
筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是( 11≤h≤12 )

16.已知直角三角形两边的长为6和8，则此三角形的周长为24或14＋27．
17.在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝102，AC＝55，则△ABC的面积是75或25．
18.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出
发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是10．

19.如图，△ ABC中，AC＝12，∠B＝45°，∠A＝60°，则△ABC的面积为54＋183．

20现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若
A C＝b，BC＝a，AB＝c.请你利用这个图形解决下列问题：如果大正方形的面积是10，小正
方形 的面积是2，则(a＋b)
2
＝（ 18 ）

1
解：由图可知，(b－a)
2
＝2，4×ab＝10－2＝8，
2
∴ab＝4.∴(a＋b)
2
＝(b－a)
2
＋4ab＝2＋4× 4＝18.
三、解答题(共50分)
21．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)a＝6，b＝8，求c.(2)a＝3，c＝8，求b.
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c＝a
2
＋b
2
＝6
2
＋8
2
＝10 (2)b＝c2
－a
2
＝8
2
－3
2
＝55.
22．(8分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看 见一个小球
从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器
人行走的路 程BC是多少？

解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC ＝CA.设AC为x，

则OC＝45－x，由勾股定理可知OB
2
＋O C
2
＝BC
2
.
又因为OB＝15，
所以15
2
＋(45－x)
2
＝x
2
.
解得x＝25.
答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25 cm.
23．(9分)如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．

解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.
由折叠可知，∠D＝∠D′，CD＝CD′.∴∠B＝∠D′，AB＝CD′.
又∵∠AEB＝∠CED′，
∴△ABE≌△CD′E.
∴AE＝CE.
设BE＝x，则AE＝CE＝4－x.
7
∴3
2
＋x
2< br>＝(4－x)
2
.解得x＝.
8
7
∴BE＝.
8
24.(9分)如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m( 踏
板厚度忽略不计)，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度
B C为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD
的高．

解：设AD＝x m，则由题意可得AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m.
在Rt△ABE中，AE
2
＋BE
2
＝AB
2
，
即(x－1)
2
＋1.5
2
＝(x－0.5)
2
.
解得x＝3.
答：秋千支柱AD的高为3 m.
25．(10分)如图，等腰直角 三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作
AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D .
(1)求证：EC＝BD.
(2)若设△AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理．

证明：(1)∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝90°.
∵BD⊥m，AE⊥m，

∴∠CDB＝∠AEC＝90°.
∴∠ACE＋∠CAE＝90°.
∴∠CAE＝∠BCD.
在△AEC和△CDB中，
∠AEC＝∠CDB，



∠CAE＝∠BCD，



AC＝CB，
∴△AEC≌△CDB(AAS)．
∴EC＝BD.
(2)由(1)知BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，
111∴S
梯形
ABDE
＝(a＋b)(a＋b)＝a
2
＋ab＋b< br>2
.
222
1111
又∵S
梯形
ABDE
＝S
△
AEC
＋S
△
BCD
＋S
△
ABC
＝ab＋ab＋c
2
＝ab＋c
2
，
2222
1 11
∴a
2
＋ab＋b
2
＝ab＋c
2
，即a2
＋b
2
＝c
2
.
222
∴直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

26.(10分)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于点D，
设BD＝x，用含x
的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用

利用勾股定理求
AD作为 “桥梁”，建立方程模型求出x.→
出AD的长，再计

算三角形面积.
解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x.
由勾股定理，得AD
2
＝AB
2
－BD
2
＝15
2
－x
2
，AD
2
＝AC
2
－CD
2
＝13
2
－(14－x)
2< br>.
∴15
2
－x
2
＝13
2
－(14－x )
2
.解得x＝9.
∴AD＝12.
11
∴S
△
ABC
＝BC·AD＝×14×12＝84.
22