八 年 级 数 学 公 式 及 概 念

巡山小妖精
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2020年12月28日 12:25
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2020年12月28日发(作者:周萌萌)



八 年 级 数 学 公 式 及 概 念
八年级数学组
第一章 勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
abc

2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系
abc
, 那么这个三角形是
直角三角形。
3、勾股数:满足
abc
的三个正整数,称为勾股数。

第二章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如
7,
3
2
等;
(2)有特定意 义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如
222
222
222
π
+8
3
等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001„等;
o
(4)某些三角函数值,如sin60等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,
零 的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点
对称,如果a与b互为相反数, 则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
1


(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;
若|a|= -a,则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本 身的数是1
和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线 叫做数轴(画数轴时,要注意上
述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应
的,并能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
2
1、算术平方根:一 般地,如果一个正数x的平方等于a,即x=a,那
么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0的 算术平方根是0。
表示方法:记作“
a
”,读作根号a。
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2
2、平方根:一 般地,如果一个数x的平方等于a,即x=a,那么这个
数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:正数a的平方根记做“

,读作“正、负根号a”。
a

性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负
数没有平方根。
开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。

a0

注意
a
的双重非负性:

a

0
3、立方根
3
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x=a那么这个数x就叫做a 的
立方根(或三次方根)。
表示方法:记作
3
a

性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的
立方根是零。
注意:
3
a
3
a
,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面 。
2


四、实数大小的比较
1、实数比较大小:正数大 于零,负数小于零,正数大于一切负数;数
轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数, 绝对值大的反
而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:设a、b是实数,
ab0ab,

ab0ab,

ab0ab

(3)求商比较法: 设a、b是两正实数,
aaa
1ab;1ab;1ab;

bbb
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则
abab

(5)平方法:设a、b是两负实数,则
abab

五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“
2、性质:
(1)
(a)
2
a(a0)


a(a0)

(2)
aa


a(a0)

(3)
ab

ab(a0,b0)

abab(a0,b0)

2
22
”;被开方数a必须是非负数。
(4)
aa
aa
(a0,b0)

(a0,b0)

b
b
b
b
3、运算结 果若含有“
a
”形式,必须满足:(1)被开方数的因数是
3


整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算:加、减、乘、除、乘方 、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里
面的。
(3)运算律
加法交换律
abba

加法结合律
(ab)ca(bc)

乘法交换律
abba

乘法结合律
(ab)ca(bc)

乘法对加法的分配律
a(bc)abac


第三章 图形的平移与旋转
一、平移
1、定义
在平面内,将一个图形整体沿某方向移动一定的距离,这样的图形运
动称为平移。
2、性质
平移前后两个图形是全等图形,对应点连线平行且相等,对应线段平行
且相等,对应角相等。
二、旋转
1、定义
在平面内,将一个图形绕某一定点沿某个方向 转动一个角度,这样的
图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2、性质
旋转前后两个图形是全等图形,对应点到旋转中心的距离相等,对应
点与旋 转中心的连线所成的角等于旋转角。
第四章 四边形性质探索
一、四边形的相关概念
1、四边形
在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图
形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性
3、四边形的内角和定理及外角和定理
4


四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360°。
推论:多边形的内角和定理:n边形的内角和等于
(n2)
180°;
多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于360°。
6、设多边形的边数为n,则多边形的对角 线共有
n(n3)
条。从n边
2
形的一个顶点出发能引(n-3)条对角线 ,将n边形分成(n-2)个三角形。
二、平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等。
(2)平行四边形相邻的角互补,对角相等
(3)平行四边形的对角线互相平分。
(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。
常用点:(1)若一直线过平 行四边形两对角线的交点,则这条直线被
一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等 分此平行四
边形的面积。
(2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形
(5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这
两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积
S
平行四边形
=底边长×高=ah
三、矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
(1)矩形的对边平行且相等
(2)矩形的四个角都是直角
5


(3)矩形的对角线相等且互相平分
(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称 图形;对称中心是对角线的交
点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条,是对边中点连
线所在的直线。
3、矩形的判定
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形
(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S
矩形
=长×宽=ab
四、菱形
1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
(1)菱形的四条边相等,对边平行
(2)菱形的相邻的角互补,对角相等
(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角
(4)菱形既是中心对称 图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交
点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条, 是对角线所在的
直线。
3、菱形的判定
(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形
(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S
菱形
=底边长×高=两条对角线乘积的一半
五、正方形
1、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
(1)正方形四条边都相等,对边平行
(2)正方形的四个角都是直角
(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平
分一组对角
( 4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的
交点;对称轴有四条,是对角线所在 的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:
6


先证它是矩形,再证它是菱形。
先证它是菱形,再证它是矩形。
4、正方形的面积
设正方形边长为a,对角线长为b
b
2
S
正方形
=
a

2
2
六、梯形
(一) 1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的
底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
2、梯形的判定
(1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
(二)直角梯形的定义:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地,梯形的分类如下:
一般梯形
梯形 直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
(三)等腰梯形
1、等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性质
(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。
(2)等腰梯形同一底上的两个角相等,同一腰上的两个角互补。
(3)等腰梯形的对角线相等。
(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分
线。
3、等腰梯形的判定
(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形
(2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。(选择题和填空题可直接用)
7


(四)梯形的面积
(1)如图,
S
梯形ABCD

1
(CDAB)DE

2
(2)梯形中有关图形的面积:

S
ABD
S
BAC


S
AOD
S
BOC


S
ADC
S
BCD

七、有关中点四边形问题的知识点:
(1)顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形;
(2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形;
(3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形;
(4)顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形;
(5)顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形;
(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形;
(7)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形
是正方形;
八、中心对称图形
1、定义
在平面内,一个图形绕某个点旋转18 0°,如果旋转前后的图形互相重
合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。
2、性质
(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被
对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且
相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么
这两个 图形关于这一点对称。


第五章 位置的确定
一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
8


1、平面直角坐标系
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面 直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y
轴或纵轴 ,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称
为直角坐标系的原点;建立了直角坐标 系的平面,叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成
的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念 < br>对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x
轴、y轴对应的数a,b分 别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)
叫做点P的坐标。
点的坐标用(a,b) 表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间
有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的 坐标是有序实数对,

ab
时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
(1)、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
x0,y0

点P(x,y)在第二象限
x0,y0

点P(x,y)在第三象限
x0,y0

点P(x,y)在第四象限
x0,y0

(2)、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上
y0
,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上
x0
,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴 上,又在y轴上

x,y同时为零,即点P坐标为
(0,0)即原点
(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上

x与y相等
9


点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上

x与y互为相反数
(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称

横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点
P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y) < br>点P与点p’关于y轴对称

纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点
P(x,y )关于y轴的对称点为P’(-x,y)
点P与点p’关于原点对称

横、纵坐标均 互为相反数,即点P(x,
y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)
(6)、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
y

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
x

22
(3)点P(x,y)到原点的距离等于
xy

三、坐标变化与图形变化的规律:
坐标( x , y )的变化
x × a或 y × a
x × a, y × a
x ×( -1)或 y ×( -1)
x ×( -1), y ×( -1)
x +a或 y+ a
x +a, y+ a

第六章 一次函数
一、函数:
一般地,在某一变化过程中 有两个变量x与y,如果给定一个x值,相
应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是 自变量,y是
因变量。
二、自变量取值范围
10
图形的变化
被横向或纵向拉长(压缩)为原来的 a倍
放大(缩小)为原来的 a倍
关于 y 轴或 x 轴对称
关于原点成中心对称
沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位
沿 x 轴平移 a个单位,再沿 y 轴平移 a个单


使函数有意义的自变 量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般
从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式 (被开方数为非负数)、
实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
(1)关系式(解析)法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算
符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,
这种表示法叫做列表法。
(3)图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连
接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地 ,若两个变量x,y间的关系可以表示成
ykxb
(k,b为常
数,k

0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当一次函数ykxb
中的b=0时(即
ykx
)(k为常数,
k
< br>0),称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数
ykxb
的图像 是经过点(0,b)的直线;正比例函数
ykx
的图像是经过原点(0,0)的直线。
k的符

b的符号 函数图像
y



0 x

11
图像特征
k>0 b>0
图像经过一、二、三象限,y
随x的增大而增大。





y



0 x




y




0 x




y



0 x



b<0
图像经过一、三、四象限,y
随x的增大而增大。
b>0
图像经过一、二、四象限,y
随x的增大而减小
K<0
b<0
图像经过二、三、四象限,y
随x的增大而减小。
注:当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数
ykx
有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
12


一般地,一次函数
ykxb
有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式
ykx
(k

0)
中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次 函数定义式
ykxb
(k

0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法 是待定系数法。
7、一次函数与一元一次方程的关系:
任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的
形式. 而一次函 数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函
数值为0时,•即kx+b=0就与一 元一次方程完全相同.
结论:由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数 ,k≠0)
的形式.所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时,求相应的
自变量的 值.
从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

第七章 二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二
元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一
个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程
组。
4二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法
6、一次函数与二元一次方程(组)的关系:
(1)一次函数与二元一次方程的关系:
直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-
y+b=0的解
(2)一次函数与二元一次方程组的关系:
13
y
a
1< br>b
x
c
1

1
1
b
1


二元一次方程组 的解可看作两个一次

a1
xb
1
yc
1

函数

a
2
xb
2
yc
2


ac
y
2
x
1

2
和 的图象的交点。
b
2
b
2

当函数图象有交点时,说明相 应的二元一次方程组有解;当函数图象(直
线)平行即无交点时,说明相应的二元一次方程组无解。



第八章 数据的代表
1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量:平均数 、众数、中位数
2、平均数
(1)平均数:一般地,对于n个数
x
1
,x
2
,,x
n
,
我们把
1
(x
1
x
2< br>x
n
)
叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为
x

n
(2)加权平均数:
3、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
4、中位数
一般地,将 一组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或
最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中 位数。



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堆的拼音-雷锋的感人事迹


穿杨-苍术的功效


成功广告案例-大学宣传部工作总结


保护眼睛的颜色-我微笑着走向生活


大角牛之歌-虎口拔牙歇后语


代沟问题-第五项修炼


雅思入门-离骚易烊千玺