李宗盛鬼迷心窍-近代文学作家

高数学等差数列教
案
中

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等差数列
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．会解决知道
a
n
,a
1
,d,n
中的三个，求另外一个的问题
教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式
教学难点：等差数列的性质
教学过程：
引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，…
请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
共同特征：从第二项起，每一 项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相
等----- 应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
二、讲解新课：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的
差等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N
，则此数列是等差数列，d 为公
差

2．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1) d
【或
a
n

a
m
(nm)d
】 < br>等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列

a
n

的首项是
a
1
，公差是d，则据其定义
可得：
a
2
a
1
d
即：
a
2
a
1
d

a
3
a
2
d
即：
a
3a
2
da
1
2d

a
4
a
3
d
即：
a
4

a
3

d

a
1

3d

……
由此归纳等差 数列的通项公式可得：
a
n
a
1
(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项
a
n

如数列①1，2，3，4，5，6；
a
n
1(n1)1n
（1≤n≤6）
数列②10，8，6，4，2，…；
a
n
10(
n
 1)(2)122
n
（n≥1）
数列③
1234
;,;
,1,

;

a
n

1
(n1)
1

n
（n≥1）
5555
555
由上述关系还可得：
a
m
a
1
(m1)d

即：
a
1
a
m
(m1)d

则：< br>a
n

a
1
(n1)d
=
a
m
(m1)d(n1)da
m
(nm)d

即的第二通项公式
a
n

a
m
(nm)d
∴ d=
a
m
a
n

mn
如：
a
5
a
4
da
3
2da
2
3da1
4d

三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
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解：⑴由
a
1
8,d58253
n=20，得
a
20
8(201)(3)49

⑵由
a
1

5,
d
9

(
< br>5)

4
得数列通项公式为：
a
n
54(n1)

由题意可知，本题 是要回答是否存在正整数n，使得
40154(n1)
成立解之得n=100，即- 401是这
个数列的第100项

例2 在等差数列

a
n

中，已知
a
5

10
，
a
12
31
，求
a
1
,
d
,
a
20< br>,a
n

解法一：∵
a
5
10
，
a
12
31
，则

a
1
4d10


a
1
2
∴
a
n
a
1
(n1)d3n5


a
1
11d31


d3
a
20
a
1
19d55

解法二：∵
a
12< br>a
5

7
d
31

10
7
dd
3

∴
a
20
a
12
8d55

a
n
a
12
(n12)d3n5

小结：第二通项公式
a
n

a
m
(
n

m
)
d

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数 列
u
n
中，设数列的第s项和第t项分别为
u
s
和
u
t
，计算
u
s
u
t
的值，你能发现什么结论？ 并证明你的结论

st
解：通过计算发现
u
s
u< br>t
的值恒等于公差
st
证明：设等差数列{
u
n
}的首项为
u
1
，末项为
u
n
，公差为d，
u
s
u
1
(s1)d


u
t
u
1
(t1)d
⑴-⑵得
u
s

u
t
(
s

t
)
d


u
s
u
t
d

st
(1)

(2)
小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率
例4 梯子最 高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各
级 的宽度

解：设

a
n

表示梯子自上而上各级宽 度所成的等差数列，
由已知条件，可知：
a
1
=33,
a
12
=110，n=12
∴
a
12
a
1
(121)d
,即10=33+11
d
解得：
d7

因此，
a
2
33740,a3
40747,a
4
54,a
5
61,
< br>a
6
68,a
7
75,a
8
82,a
9
89,a
10
96,a
11
103,

答 ：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82c m，89cm，
96cm，103cm.
例5 已知数列{
a
n
} 的通项公式
a
n
pnq
，其中
p
、
q
是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若
是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差 数列的定义，要判定

a
n

是不是等差数列，只要看
a< br>n
a
n1
（n≥2）是不是一个与n无关的常
数

解：当n≥2时, （取数列

a
n

中的任意相邻两项< br>a
n1
与
a
n
（n≥2））
a
n
a
n1
(pnq)[p(n1)q]
pnq(pnpq) p
为常数
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∴{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
pq
，公差为p

注：①若p=0，则{
a
n
}是公差为0的等差数列 ，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的一次式 ,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的
系数是公差,直线在y轴 上的截距为q.
③数列{
a
n
}为等差数列的充要条件是其通项
a
n
=p n+q (p、q是常数)
称其为第3通项公式
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个

四、练习：
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
解：根据题意可知：
a
1
=3,d=7－3=4.
∴该数列的通项 公式为：
a
n
=3+（n－1）×4,即
a
n
=4n－1（ n≥1,n∈N*）
∴
a
4
=4×4－1=15,
a
10
=4×10－1=39.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：
a
1
=10,d=8－10=－2.
∴该数列 的通项公式为：
a
n
=10+（n－1）×（－2）,即：
a
n=－2n+12, ∴
a
20
=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：根据题意可得：
a
1
=2,d=9－2=7.
∴此数列通项公式为：
a
n
=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－2 0是不是等差数列0，－3
1
，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：由
2
题意可知：
a
1
=0, d=－3
1
∴此数列的通项公式为：
a
n
=－
7
n+
7
, 令－
7
n+
7
=－20,解得n=
47

2
2
2
2
2
7
因为－
7
n+
7
= －20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
2
2
2.在等差数列{
a
n
}中，（1）已知
a
4
=10,
a
7
=19,求
a
1
与d;
（2）已知
a
3
=9,
a
9
=3,求
a
12
.
a
1
1
.
解：（1）由题意得：

a
1
3d10
, 解之得 ：




d3

a
1
6d 19
（2）解法一：由题意可得：

a
1
2d9
, 解之得

a
1
11




d 1

a
1
8d3
∴该数列的通项公式为：
a
n
=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴
a
12
=0
解 法二：由已知得：
a
9
=
a
3
+6d,即：3=9+6d, ∴d=－1
又∵
a
12
=
a
9
+3d,∴
a
12
=3+3×（－1）=0.
Ⅳ.课时小结
五、小结 通过本节 学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：
a
n
－
a
n 1
=d ，（n≥2，n∈
N
）.其次，要会推导等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重
要关系式：
a
n

a
m
(nm)d
和
a
n
=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.

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