不会变-运动员入场解说词

相似三角形及其性质


一、课堂讲解
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形
。
如△ABC与△A

B

C

相似，记作: △ABC∽△A

B

C

。
相似三角形的比叫相似比
相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对 应位置，这
样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三 角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△ABC，
1
相似比为k，则△A

B

C

与△ABC的相似比是
k
、

知识点2、相似三角形与全等三角形的关系

（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理
1. 比例线段的有关概念：

在比例式
ac
(a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，
bd
b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

2
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC=AB·BC，叫做把线段AB黄金 分割，C叫做线
段AB的黄金分割点。

2. 比例性质：
|

①基本性质：
ac
aca±bc±d

adbc

②合比性质：
bdbd
bd
③等比性质：
acmac… ma
…(bd…n≠0)

bdnbd…nb
3. 平行线分线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
已知l1∥l2∥l3,
A D l1
B E l2

`

C F l3


ABDEABDEBCEFBCEFA BBC
或或或或
BCEFACDFABDFACDFDEEF
等. 可得
（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线
段成比 例. A

D E

B C
ADAEBDECADAE
或或
由DE∥BC可得：
DBECAD EAABAC
.此推论较原定理应用
更加广泛,条件是平行.
（3）推论的逆定理： 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对
应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的 第三边.
|

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

（4）定理:平 行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三
边与原三角形三边对应成比例.




知识点4：相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等
②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
~

④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
知识点5：相似三角形的周长和面积

（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。
(3)相似三角形的周长比等于相似比；
(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方


…


三、课堂演练

考点一：平行线分线段成比例
1、如图，已知直线a
∥
b
∥
c
，直线
m
、
n
与
a
、
b
、
c
分别交于点
A、C、E、B、D、F
，
AC
＝
4，
CE
＝ 6，
BD
＝ 3，则
BF
＝（ ）
A． 7 B． C． 8 D．
2、 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D， 则AD的长
是
m

A

C

E


n

—

a

b

D

F

c


3 、如图所示：△
ABC
中，
DE
∥
BC
，
AD＝5，
BD
＝10，
AE
＝3，则
CE
的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
&

A
D
E
BC

4．如图，点
F
是
□ABCD
的边
CD
上一点，直线
BF
交
AD
的延 长线于点
E
，则下列结论错误的
．．
是（ ）
A．
EDDFDEEFBCBFBFBC

B． C． D．
EAABBCFBDEBEBEAE
5．如图，在△ABC中，AB=A C，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长
是（ ）
A．



5151
B． C．
51


D．
51

2
2< br>G
A
D
C
E
F
P
B

考点二：相似三角形的性质
1、如图，在正方形 ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于
点O，过点P分别作A C，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列
结论：
①△ APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AM P时，
点P是AB的中点．
其中正确的结论有（ ）
222

A． 5个
-

4个 C． 3个 D． 2个
B．


2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为B C的中点，若动点E以1cms
的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t 秒（0≤t＜6），连接
DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）

）

2 B． 或 C． 或 D． 2或或
A．



《


3、如图，在▱ ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S
△DEF
：S△ABF
=4：
25，则DE：EC=（ ）


A． 2：5 B． 2：3 C． 3：5 D．
【

3：2

4、△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结 论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；
③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；
其中正确的有 ．（只填序号）





5、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6 ，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线
于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EF C的周长为（ ）
。


A． 11
·

B． 10 C． 9 D． 8
6、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（ 1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为
顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可 能是（ ）

A． （6，0）


7、如图，DE是△ ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S
△CEF
：S
四边形B CED
的值
为（ ）
B． （6，3） C． （6，5）
`

（4，2）
D．

A． 1：3 B．
'


C． 1：4 D． 2：5

2：3



8、如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ ABD的面积为a，
则△ACD的面积为（ ）

A．a
}
B． C． D．

9、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面积分别为S
1
，S
2
，
则S
1
+S
2
的值为（ ）


A．16 B．17 C．18 D．19

11、如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的 中点，ΔPEF、ΔPDC、
ΔPAB的面积分别为S、S
1
、S
2
。若S=2，则S
1
+S
2
=


四、课后作业
一、填空题：
1、若
a3m,m2b
，则
a:b_____
。
&

xyz

，且
3y2z6
，则
x____,y______
。

356
3、在Rt△ABC中，斜边长 为
c
，斜边上的中线长为
m
，则
m:c______
。
1
4、反向延长线段AB至C，使AC＝AB，那么BC：AB＝ 。
2< br>2、已知
5、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米， 则
△A′B′C′的周长为 厘米。
6、如图，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则
A

D
1
—

___



___

。
AD


___

BCAB
A

C
C
B
D
B

(

第6题图

7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠A＝30°，则BD：BC＝ 。
若BC＝6，AB＝10，则BD＝ ，CD＝ 。





<

8、如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝，且MN∥PQ∥AB，
DM＝MP＝PA，则MN＝ ，PQ＝ 。

^

C

D
D


M
N
.

A
F
P
Q
B C
E

A B

第8题图 第9题图


9、如图，四边形ADEF为菱形，且AB＝14厘米，BC＝12厘米，AC＝10厘米，那BE＝
厘米。
10、梯形的上底长厘米，下底长厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高
为 厘米。
二、选择题：
11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ）
》

A、
a3,b6,c2,d4
B、
a1,b
C、
a4,b6,c5,d10
D、
a2,b

12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ）
A、
3:1
B、
3:2
C、
2,c6,d3

5,c15,d23

13
:
D、1：3
22

13、已知
xyz

，则下列等式成立的是（ ）
457
A、
xy1xyz8
xyz7

B、



C、
xy9
xyz3
z16
D、
yz3x
14、已知直角三角形三边分别为
a,ab,a2b
，

a0,b 0

，则
a:b
（ ）
A、1：3 B、1：4 C、2：1 D、3：1
(

15、△ABC中，A B＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
则最短的一边是（ ）

A、27 B、12 C、18 D、20
16、已知
a,b,c
是△ABC的三条边，对应高分别为
h
a
, h
b
,h
c
，且
a:b:c4:5:6
，那
么< br>h
a
:h
b
:h
c
等于（ ）
A、4：5：6 B、6：5：4 C、15：12：10 D、10：12：15
17、一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则
原三角 形最大边长为（ ）
A、44厘米 B、40厘米 C、36厘米 D、24厘米
18、下列判断正确的是（ ）
A、不全等的三角形一定不是相似三角形 B、不相似的三角形一定不是全等三角形
C、相似三角形一定不是全等三角形 D、全等三角形不一定是相似三角形
19、如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有（ ）
$$

A、1个 B、2个 C、3个 D、多于3个


A

&


F
E

G

B C
B
F
D

第19题图 第20题图
~

D
C
20、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC＝4：5，AE 交BD于F，
则BF：FD等于（ ）

A、4：5 B、3：5 C、4：9 D、3：8
三、解答题：
21、已知

xy

:y2:3
，求

2x5y
的值。
3x2y

22、如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，且AC＝6厘米，AD＝4厘米，求A B与
BC的长
C




，

B
D

A




23、如图，△ABC中，若BC＝24厘米，BD＝






1
AB，且DE∥BC，求DE的长。
3
C
D
B
F
E
C

24、如图，RtΔAB C中斜边AB上一点M，MN⊥AB交AC于N，若AM＝3厘米，AB：AC＝5：4，
求MN的长。
C


N


B M A