直角三角形的边角关系(习题及答案)
巴厘岛旅游注意事项-照例的反义词
直角三角形的边角关系（习题）
➢ 要点回顾
1.
默写特殊角的三角函数值：
2. 三角函数值的大小只与角度的
有关，跟所在的三角形
放缩（大小）没有关系．
3.
计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在
中研究，常利用 或 两种方式进行处理．
➢ 例题示范
例：如图，在△ABC
中，∠B=37°，∠C=67.5°，AB=10，求 BC
的长．（结果精确到
0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
tan67.5°≈2.41）
如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
由题意
AB=10，∠B=37°，∠C=67.5°
在 Rt△ABD 中，AB=10，∠B=37°，
sin B
AD
，cos B
BD
AB
AB
∴AD=6，BD=8
在 Rt△ADC 中，AD=6，∠C=67.5°，
tan C
AD
CD
∴CD=2.49
∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5
即 BC 的长约为
10.5．
从下面书写板块的名称中选取合适的内容，写到对应的横线上．
①得出结论；
②解直角三角形；
③准备条件．
1
➢
巩固练习
1. 在 Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的 2 倍，那么锐
角
A 的正弦值（
2.
）
A．扩大 2 倍 B．缩小 2 倍 C．没有变化
D．不确定
在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=5，则 sinA 的值为
（
A.
3.
3
）
4
5 34 3 34
B.
C． D．
34 34
5 5
在△ABC
中，∠A，∠B 均为锐角，且
2
1
3
cos B
0
，则这个三角形是（
sin A
）
2
2
A．等腰三角形
C．钝角三角形
4.
B．直角三角形
D．等边三角形
1
若∠A 为锐角，且 cosA 的值大于 ，则∠A（ ）
2
A．大于 30° B．小于 30°
C．大于 60°
D．小于 60°
）
5.
3
≤
tan
3
，则β的取值范围是（
3
A． 30
≤
≤
60
B． 30
≤
60
已知β为锐角，且
C． 30
≤
60
D．
30
6. 如图，在矩形 ABCD
中，DE⊥AC，垂足为 E，设∠ADE=
，
3
若cos
，AB=4，则 AD 的长为（ ）
5
16
20 16
C． D．
A．3 B．
3 3 5
7.
第 7 题图
3
如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，若cos A
，BE=2，则
5
tan∠DBE= ．
第 6 题图
2
8.
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若
AB=6，BC=2，则 cosA=
． 9. 在△ABC 中，∠A=120°，若
AB=4，AC=2，则 sinB=
．
别交 AB，AC 于 D，E 两点，连接
CD．如果 AD=1，那么
tan∠BCD= ．
10. 如图，在△ABC
中，AB=AC，∠A=45°，AC 的垂直平分线分
第 11 题图
3
11. 如图，在△ABC 中，若∠C=90°， sin B ，AD 平分∠CAB，
5
则 sin∠CAD= ．
12. 如图，在△ABC
中，∠C=75°，∠BAC=60°，AC=2，AD 是
BC 边上的高，则△ABC 的面积为
，AD 的长为 ．
第 10 题图
第 12 题图 第 13 题图
13.
如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值
为（ ）
1
D. 2
A．
5
2
5
14.
计算：
B. 5
C. 0 10
（1）6 tan
2
30 3 sin 60 2 tan 45 ；（2
cos 30
sin 45
；
）
sin 60 cos
45
3
12 sin
60
1
；
（3） (
3
1)
tan 45
3
0
2
（4）
1 2 tan 60
tan
2
60
tan 60．
15. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC
边上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）
求证：AC=BD；
（2）
若
sin C
12
，BC=12，求 AD
的长．
13
16. 如图，在△ABC
中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC= 2
5 ，求 AB
的长．（参考数据：tan26.6°≈0.50）
4
➢ 思考小结
1.
30°，45°，60°，120°，135°，150°都属于我们常用的特殊角，
在解直角三角形中经常用到．
120°，135°，150°经常使用它们的补角构造直角三角形，如右
图 1．
2. 解直角三角形的常考形式
直角三角形：“一角一边”求其余元素
非直角三角
形：“两角一边”求其余元素，往往通过构造直角
三角形，把已知角度信息放到直角三角形求解，如右图
2
（
，
，m 已知）．
3. 我们已经知道
30°，45°所在的直角三角形的三边关系之比，
借助这个内容，可以推导 15°和
22.5°所在的直角三角形的三
边关系之比，如何推导呢？
如图 1，通过延长 CB 到
D，使得 BD=AB，可以构造 15°角，
根据三边关系填空．（已知
4 2 3
( 3 1)
2
3 1 ）
类比上述内容，请你画出研究
22.5°角所在的直角三角形所需
图形并填空．
tan22.5°=
；tan67.5°= ．
（可跟随堂测试题目 3 的方法进行对比）
5
4.
探索思考下面的结论，尝试在下面两个图形中证明结论：
1 1
若tan
，tan
，则
45 ．（标注信息，简要写
2 3
出思路）
6
【参考答案】
➢ 要点回顾
1.
α
30°
1
2
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
正弦
sin α
余弦
cos α
正切 tan α
3
2
3
3
3
2. 大小
3.
直角三角形，转移、构造
➢
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
巩固练习
C
C
D
D
C
B
2
2 2
3
21
9.
14
10. 2 1
5
11.
5
3
12.
3
，
2 6
2
2
13. B
5
14. （1）
；（2）1；（3）7；（4）-1
2
15. （1）证明略；（2）8
16. 6
7
➢ 思考小结
6 2
3. 2
3
， 2
3
， ；
4
4. 证明略
2
1，
2
1
8