元宵节简笔画-自我介绍作文

精品教学课件设计 | Excellent teaching plan
直角三角形的边角关系讲义
第1节 从梯子的倾斜程度谈起
本节内容：
正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重
点）

1、正切的定义
在确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA。
即tanA=



例1 如图，△ABC是等腰直角三角形，求tanC.
A的对边a


A的邻边b









例2 如图， 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=8，BD=4，求tanA的值。


B


D





C



A

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2、坡度的定义及表示（难点
我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：
tana
h

l
注意：
（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；
（2）若坡角为a，坡度为
i
h
tana
，坡度越大，则a角越 大，坡面越陡。
l
例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为 3.2m，为了提高水
坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD•的坡 度不变，但
是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．• 求加高
后的坝底HD的长为多少？










3、正弦、余弦的定义
在Rt中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
即sinA=
A的对边a


斜边c
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。
即cosA=

例4
在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2， 求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什
么发现？请加以证明。
A的邻边b


斜边c

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4、三角函数的定义（重点）
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。
直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：
（1）三边之间关系：
abc
；
（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间关系：sinA=
22 2
aba
，cosA=，tanA=。（其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，
cc b
∠C的对边为c）
除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。

例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE =2cm，你
能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。







本节作业：
1、∠C=90°，点D在BC上，BD=6， AD=BC，cos∠ADC=
3
，求CD的长。
5

2、P是a的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），求sina、tana的值。

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3、在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=
1
，求tan A的值。
3

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=
5
，周长为30，求△ABC的面积。
12




< br>5、（2008·浙江中考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则 sinB
的值是多少？

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第2节 30°，45°，60°角的三角函数值
本节内容：
30°，45°，60°角的三角函数值（重点）

1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）
根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。




例1 求下列各式的值。
（1）


（2）
tan
2
604tan60422sin45
。



sin60sin30
；
tan60

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本节作业：
1、 求下列各式的值。
（1）
2sin303tan30tan45
； （2）
cos45tan60cos30
。



(3) 6tan
2
30°－
3
sin 60°＋2tan45°



2
tan45
o
sin
2
60
o
2sin60
o
1(cos60
o
)2
(sin45
o
tan30
o
)
0
(4)
o
2tan60


2、 已知a为锐角，且tana=5，求
sina3cosa
的值。
2cosasina








3、 △ABC表示光华中学的一块三角形
空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米
售价为a元，则购买这种草皮至少花
费多少元？




4、（2008·成都中考）2
cos45
的值等于________。
5、（2008·义乌中考）计算
3sin602cos45
3
8
。

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6、（2009深圳）（6分）计算：
 2
2
(3)
2
(

3.14)
0
8sin45




1
－
1
7、（2010深圳）( )
2
－2sin45º＋ (π －3.14)
0
＋ 8＋(－1)
3
．
3 2




第3节 三角函数的有关计算
本节内容：
利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点） 锐角三角函数计算的实际应用（难点）
1、利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点）
计算三角函数的具体步骤大体分两种情形：
（1）先按三角函数键，再按数字键；
（2）或先按数字键，再按三角函数键。

利用计算器还可以求角度的大小。
例1 利用计算器求下列锐角的三角函数值。
（1）
sin35
；

（2）
tan85
；


（3）
sin7238'25''
；


（4）
cos4715'
。

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2、锐角三角函数计算的实际应用（难点）
仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。





例2 小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一个字看 作点E，过点E的该
矩形的高为BC，把小刚眼睛看做点A。现测得BC=1.41米，视线AC恰与水 平线平行,视线
AB与AC的夹角为25°,视线AE与AC的夹角为20°，求AC与AE的长（精确 到0.1米）。


典型例题：
例1用计算器求下列三角函数值。（精确到0.001）
（1）
sin35

（2）
cos42

（3）
tan75

例2已知下列锐角的三角函数值，利用计算器求锐角。（精确到1’）
（1）
sin

0.5276

（2）
cos

0.5276

（3）
tan

0.5276

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例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BCAD，斜坡AB长22m，
坡角∠ BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员
勘测，当坡角不 超过50°时，可确保山体不滑坡。
（1） 求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（精确到0.1m）
（2） 为确保安全，学校计划改造时，保 持坡脚A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问
BF至少是多少？（精确到0.1m）
（
sin680.9272,cos680.3746,tan682.4751,sin50 0.7660,
cos500.6428,
tan501.1918
）

例4如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位< br>所占街道的宽度EF。（参考数据：
sin400.64,cos0.77,tan40 0.84,
结果精确到
0.1m）

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例5要求
tan45
的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt△ABC,使∠C=90°, 两直角边
AC=BC=
a
，则∠ABC=45°,所以
tan45
的值？
ACa
你能否在此基础上，求出
tan2230
1
。
BCa









例6（2009·娄底中考）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎 街
的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条
幅 顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公楼
水平距离多远 的地方进行测量？（精确到整数米）

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例7某轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在其 北偏东60°方向上，前进8千米到达B，
测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少 千米与小岛的距离最近？

第4节 船有触礁的危险吗
本节内容：
方向角的定义 解直角三角形（重点） 解直角三角形的实际应用（难点）
1、方向角的定义
方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边 ，旋转到观察目
标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别 为北偏
东15°、南偏东20°、北偏西60°。

其中南偏东45°习惯上又叫东 南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角
为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45 °，那么，G、E可以说在O的哪个方向呢？由方向
角的定义可知，G在O的西南方向，E在O的东南方 向。

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例1 某次台风袭击了我国南部海域。如图，台风来临
前，我们海上搜救中心A接到一越南籍渔 船遇险的报
警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援队B
立即前往施救。已知渔船所处 位置C在A的南偏东
34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到
C处还有12小时 ，如果救援船每小时行驶20海里，
试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？（参考
数据：
sin63
）
932
,tan632,sin34,tan34
1053













2、解直角三角形（重点）
在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为
a、b、c
。
（1） 三边之间关系：
abc

（2） 锐角之间关系：∠A+∠B=90°
（3） 边角之间关系：
sinA
（4） 面积公式：
S
ABC
222
aba1

cosB,co sAsinB,tanA
ccbtanB
11
abch(h为斜边上的高 )

22
在直角三角形中，除直角的五个量中，若已知其中的两个量（其中至 少有一条边），就
可以求出另外三个未知量，有如下四种类型：
Rt△ABC中，∠C=90°
已知
斜边和一直角
边
两直角边
斜边和一锐角
选择的边角关系
c,a

a,b

a
，求∠A；∠B=90°-∠A，
bc
2
a
2
< br>c
a
由
tanA
，求∠A；∠B=90°-∠A，
ca< br>2
b
2

b
由
sinA
∠B=90°- ∠A；
acsinA
；
bccosA

c,A

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一直角边和一
锐角
a,A

∠B=90°-∠A；
b
aa
，
c

tanAsinA
注意：
（1） 在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：
①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数；
②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数；
③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：
一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；
二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。
（2） 对于含有非基 本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角
平分线长，角之间的关系，锐角三角 函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我
们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本 量间关系通过列方程
（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的 。
（3） 在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而
作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分
割”的方法，构造出直 角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。

例2某公园“六一”亲新增设 一台滑梯，如图。滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间
的距离BC=4m。
（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不 超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯
的倾斜角是否符合要求？


3、解直角三角形的实际应用（难点）
在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我 们要学会将千变万化的实际问题
转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数 量关系归结为直角
三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。
一般有以下几个步骤：
1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；
2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；
3. 是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助
线，把它们分割成一 些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；
4.确定合适的边角关系，细心推理计算。

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例3 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强
的破 坏力。根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中
心的最大风力为 12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。台风中心现正以15千
米时的速度沿北偏东30° 方向往C移动，且台风中心
风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风
影响。
（1） 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理
由。
（2） 若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时
间有多长？







典型例题：
例1在△ABC中，已知AB=1，AC=2
，∠ABC=45°，求BC的
长。








例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以 每小时15
2
千米的速度沿北
偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东 北方向前进。甲船航行2小时到达C
处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏 东75°的方向追赶，
结果两船在B处相遇。
（1） 甲船从C处追赶乙船用了多长时间？
（2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

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例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降 ，一条船在松花江某段自西向东沿直线航
行，在A处测得航标C在北偏东60°防西哪个上。前进100 m到达B处，又测得航标C在
北偏东45°方向上（如图），在以航标C为圆心，120m为
半 径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有
被浅滩阻碍的危险？（
31.73）




第5节 测量物体的高度
本节内容：
测量底部可以到达的物体的高度（重点） 测量底部不可以到达的物体的高度（难点）

1、测量底部可以到达的物体的高度（重点）
简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。如图。

使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
（1） 把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时
度盘的顶线PQ在水平位置。
（2） 转动转盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数。此度数就是
测点相对于被测点的仰角或俯角。

说明：
（1）所谓“底部可以到达“，就是在地面上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的
底部
之间的距离。
（2）测量步骤如图（测量物体MN的高度）：
①在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=
l
；
③量出测倾器的高度AC=
a
（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）。
（3）物体MN的高度 =
ltan

a
。

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例1 升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得
该 同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m）





2、测量底部不可以到达的物体的高度（难点）
（1）所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离。

（2）测量步骤（如图。测量物体MN的高度）：
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处拟制测倾器 （A、B与N在一条直线上，且A、B之间的
距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=
a
，以及测点A、B之间的距离AB=
b< br> 。

（3）物体高度MN=ME+EN=
(
btan
< br>tan

a)
米。
tan

tan



提示：测量底部不可以到达的物体的高度，求解时常要解两个直角三角形。

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例2：如图，从山顶A处看到地面C点的俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得
C D=
1503
米，求山高AB。（精确到0.1米，
3
≈1.732）

典型例题：
例1如图，两建筑物的水平距离为36m，从A点测得D点的俯角
为36°，测得C点的俯
角

为45°，求这两座建筑物的高度。（s in36°≈0.588,cos36°≈0.412,tan36°≈0.723,
结果保留2位小数 ）




例2如图，河边有一条笔直的公路
l
，公路两侧是平
坦的草地，在数学活动课上，老师要求测量河对岸一
点B到公路的距离，请你设 计一个测量方案。

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例3如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC的度数为30°，窗户
的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗外遮阳篷外端
一点 D到窗户上缘的距离AD。（结果精确到0.1m）



测试题


一、选择题
1．等腰三角形的底角为30°，底边长为
23
，则腰长为（ ）
A．4 B．
23
C．2 D．
22



2．如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD长为（ ）
A．
83
B．
43
C．
23
D．8

(1) (2) (3)


3．在△ABC中，∠C＝90°，下列式子一定能成立的是（ ）
A．
acsinB



B．
abcosB


C．
catanB
D．
abtanA

2
（2sinA3）0
，4．△ABC中 ，∠A，∠B均为锐角，且有
|tanB3|
则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形
C．等腰（不等边）三角形


B．等腰直角三角形
D．等边三角形

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5．已知
tan

1
，那么
A．
1

3

2sin

cos

的值等于（ ）
2sin

cos

11
B． C．1 D． 26
6．如图2，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC< br>上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直线，那么< br>开挖点E离点D的距离是（ ）
A．500sin55°米 B．500cos55°米 C．500tan55°米 D．500tan35°米

7．如图3，在矩形ABCD中 ，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=

，且cos

=
AD的长 为（ ）
A．3 B．
3
，AB=4， 则
5
16

3
C．
20

3
D．
16

5

8．如图4，已知正方形AB CD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB
的延长线上的D′处，那么tan∠B AD′等于（ ）
A．1 B．
2
C．
2

2
D．
3


(4) (5) (6)
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．在△ABC中，∠C=90°，
sinA
2

3
，则cosB的值为 ．
2
10．化简
cos

2cos

1
．
11．如图5，∠DBC=30°，AB=DB，利用此图求tan75°= ．

12．如图6，P是∠

的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos
= ．
13．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了 m．
1 4．如图7，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出
了一条“路” ．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

(7) (8) (9)

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15．如图8所示，是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h=6.5米，自动扶 梯的
倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v=0.5米秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为
_____秒．
16．如图9，一人乘雪撬沿坡比1∶
3
的斜坡笔直滑下， 滑下的距离s（米）与时间t（秒）
间的关系为
s10t2t
2
．若滑到 坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为 ．
17、如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA
1
⊥ AB，垂足为A
1
，再
过A
1
作A
1
C
1
⊥BC，垂足为C
1
，过C
1
作C
1
A
2
⊥AB，垂足为A
2
，再过A
2
作A
2
C
2
⊥BC，垂
足为C
2
，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA
1
，A
1
C
1
，
C
1
A
2
，…，则CA
1
= ，
C
4
A
5


A
5
C
5
三、解答题（本大题共52分）

3
tan45－cos60
18. (1)·tan 30°； (2)(tan30°)
2007
·(2
2
sin45°)
2006

2
sin60




19．（本题 10分）如图,为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，
现需 了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子
在乙楼上有多高？ （精确到0.1m，
2
≈1.41，
3
≈1.73）


20．（本题12分）为了测量一棵大树的高度AB，在离树25米的C处，用高1.4米的测角仪CD测得树的顶端B的仰角

＝21°，求树AB的高．(用21°角的三角函数值表示即 可 )

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21.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°。已
知塔高A B＝20m，观察点E到地面的距离EF＝35cm，求小山BD的高.














22．如图，PQ表示南充至绵阳的一段高速公路的修筑设计路线图．在点P测得点Q在它的
南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向，取PQ上另一点B，在点B
测 得点A在它的南偏东75°的方向．以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，
已知PB= 400m，通过计算回答：如果不改变修筑方向，高速公路是否会穿过居民区？

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23．随着科技的发展，机器人的发现早已不是童话，机器人是否可以让 我们随心所欲呢？在
坐标平面上，根据指令［s，

］（s≥０，0°＜
< br>＜180°），机器人能完成下列动作：
先原地顺时针旋转角度

，再朝其面对 的方向沿直线行走距离s．
（1）填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向， 现要使其移动
到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是 ．
（2）机器 人在完成上述指令后，发现在点P（6，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直
线运动，已知小球滚动的 速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转所需的时间，
请你给机器人发一个指令，使它能尽 快截住小球，并求出截住小球时的位置．（角度精确到
度，参考数据sin49°≈0.75，cos3 7°≈0.80，tan37°≈0.75）



24、(2009中山)如图所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高 速
公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内. 请问：计
划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（
31.732
，
21.414
）

P

E
F

30°

45°


A B





25．（2009 黄石）如图9，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m，某人在点A处测得塔底C的仰
角为20°，塔顶 D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB。（sin20°≈0.342，cos20°
≈0. 940，tan20°≈0.364，Sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈ 0.424）