直角三角形的边角关系
近视镜-春节对联
专业文档
第一章 直角三角形的边角关系
一、本章知识要点：
1、锐角三角函数的概念；
2、解直角三角形。
二、本章教材分析：
（
一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角
的相互关系，进
而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形
函数定义既是本章的重点又是理
解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。如何解决这
一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：
1. 从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角
和斜
边求已知角的对边的问题。显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角
与角的关系无法解
出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2. 教材又采取了从特殊到一般的研
究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角
三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为
30°时，那么这角的对边与斜边之比就确
定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐
角确定为45°时，其对边与斜
边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°
后,其对边与斜边
的比值也随之变化了,由到
3.
。这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
从特殊角的例子得到的结论是否也适用
于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三
角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定
值时，那么这个角的对边与斜
边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同
理也可得出正切、
余切函数的定义。
4. 在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法
和写法加强练习，使学生熟练掌
等错误，要讲清握。同时要强调三角函数的实质是比值。防止学生产生s
inX=60°,sinX=
sinA不是sin*A而是一个整体。如果学生产生类似的错误，应引导
学生重新复习三角函数定
义。
5. 在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准
、记牢,再通过有关的练习
加以巩固。在解三角形的过程中，需要会求一般锐角的三角函数值，并会由已
知的三角函数
值求对应的角度。为此，教材中安排介绍了查三角函数表的方法，学生在查表过程中容易出
错，尤其是在查余弦、余切表时，特别是在查表前，应适当讲一下锐角三角函数值的变化规
律。
6. 从定义总结同角三角函数关系式：在学生熟练掌握定义的基础上，师生共同来发现
如下的
同角三角函数关系式，培养学生分析问题、总结规律、发现问题的习惯和能力。
例如：
珍贵文档
专业文档
sinA=sinB=
cosA=cosB=
tanA= tanB=
cotA= cotB=
有哪些函数的值相等呢？如下：
sinA=cosB
∵∠A+∠B=90°
cos(90°-B)=sinB
∠A=90°-∠B tan(90°-B)=cotB
∴sin(90°-∠B)=cosB cot(90°-B)=tanB
关于∠A可由学生自己推出。
又有: tanA·cotA= tanA= cotA=
∵ sinA=
cosA=
∴
四个三角函数的基本性质：根据特殊角的三角函数值和查三角函数可以得出：
①正弦、正切的函数值是随着角度的增大而增大，正弦函数（在0°90°）
珍贵文档
专业文档
sin0°=0,
sin90°=1,正切函数(在0°90°)tan0°, tan90°不存在。
②余弦、余切的函数值是随角度的增大而减小，余弦函数(0°90°) cos0°=1,
cos90°=0，cos0°不存在，cot90°=1.
为了巩固这一部分知识，应该通过一些基本练习题使学生达到熟练掌握的目的。
练习题如下：
填空：
（1）知：α+β=90°，sinα= 则 cosβ=——.
（2） 已知：sin27=a,则cos63°=___.
（3）
已知：tan42°=c, 则cot48°=__.
（4） 计算： tan48°+——.
（5） 已知A为锐角，化简：——.
（6） 已知O°<α<45°，化简=
——.
（7） 化简：= ——.
（8）已知：cosα=0.1756,sinβ=0.1756 则锐角α与β之间的关系是__。
（9） 在ΔABC中，∠C=90°，如果45°
（10）
已知ΔABC中∠C=90°，0°<∠B<45°，那么(sin A–cos A)与 (sin
B-cos B)
中是正数的是 。
（11）ΔABC中，∠C=90°，a、b、c
为∠A、∠B、∠C的对边，当b=10时,sinA=m(m
为常数),当b=100时,a、b、c
各扩大10倍， sinA=___.
珍贵文档
专业文档
（12）ΔABC中,∠B=30°，∠C=45°,AB=8cm,则AC=___,
判断下列各题是否正确（α角为锐角）
（1）sinα=cos42°,则α=42°
（ ）
（2）cotα=tan17°，则α=83° （ ）
（3）cos(90°-α)=sin36°,α=36° ( )
（4）tan(90°-α)=cot53°,α=37° ( )
（5）sin40°+sin30°=sin70° ( )
（6）
不查表判断下列各式的正负：
( )
(1)cot75° ( )
(2)cos42°-cos46° ( )
(3)cos46°-cos47° ( )
(4)tan75°-cot14° ( )
(5)sin50°-cos50° ( )
(6)tan50°-sin50° ( )
（二）、解直角三角形
1、解直角三角形是
本章重点，正确地选择关系式，先将已知和未知联系起来，然后进行正
确地计算是解直角三角形的关键。
2、解直角三角形的依据有如下公式：
① 三边之间关系：
珍贵文档
专业文档
② 角之间关系： ∠A+∠B=90°
③ 边角之间关系：sinA=cosB=；cosA=sinB=；
tanA=cotB=； cotA=tanB=。
3、直角三角形可解的条件：在两个锐角和三边这
五个条件中，必须已知两个独立的条件且
两个条件中至少有一个条件是边。根据可解的条件的分类，可有
如下类型及其解法：
a已知两边：两条直角边（a , b ） 解法：c=
tanA=求∠A
∠B=90°-∠A
斜边和一条直角边( a , c )
解法： b=
用sinA=求A
∠B=90°-∠A
b一边和一锐角
一条直角边和锐角A: ∠B=90°-∠A
b=
c=
斜边C和锐角A: ∠B=90°-∠A
a=c sinA
b=
4、解直角三角形的应用
（1）、解决实际中提出的问题：如测量、航海、工程技术和物理学
中的有
关距离、高度、角度的计算，应用中要根据题意，准确画出图形，从图中确
珍贵文档
专业文档
定要解的直角三角形，解直角三角形时，充分使用原始数据，正确选
择关系
式，使运算尽可能简便、准确。
（2）、在解决实际问题中，仰角俯角；坡度坡角水平
距离，垂直距离等概
念，一定要在弄清概念的含意的基础上，辨别出图中这些概念的位置。
（3）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线，转化为直角三角形，间
接地解出。
（4）、在解一些较复杂图形时，注意借助于几何图形的性质，可使得问题
得到解决。
练习题如下：
1、填空：
（1）等腰三角形腰长为10cm，顶角为120°，则三角形底边长为 ，高为 ，
面积为
。
（2）正三角形边长为2a，则一边上的高线长为 。
（3）正三角形一边上中线长为3，则边长为 。
（4）
正三角形一边长为6，则正三角形外接圆半径R= 。
（5） RtΔABC中，∠C
=90°，a、b、c分别为A、B、C的对边，a+c=4+
∠A=60°，则R= ，C= 。
2、梯形的两底边分别为15cm，5cm，两底角分别为60°，30°。求梯形的
周长。
3、如图电视塔建立在20米高的小山顶上，从水面上一点D测得塔顶A的仰
角为60°，测得
塔基B的仰角为30°，求塔高AB。
，
珍贵文档
专业文档
4、在ΔABC中，∠C=90°，a=10，ΔABC的面积S
Δ
=，求
角A及边长
C。
5、如图，ΔABC中CD⊥AB于D，AD=BC=4，cotA=，
求：（1）AC与BD的长；（2）∠B的度数。
6、在ΔABC中，∠C=90°，如果cotA=， 求
的值。
7、在ΔABC中，∠C=90°，如果AB=2，tanA=， 求
珍贵文档
的值。