何足道哉-物业管理文章

2010年新课标八年级数学竞赛培训第09讲：三角形的边与角

一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）
1．（4分）在△ABC中，三个内角的 度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，则
∠B的度数为 度．
2． （4分）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样
的三角形共有 个．
3．（4分）三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α＝2γ，则β的取值范围 ．
4．（4分）已知△ABC的周长是12，三边为a、b、c，若b是最大边，则b的取值范围是 ．
5．（4分）如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠AC B
和∠AED，若∠B＝70°，∠D＝40°，则∠F的大小是 ．

6．（4分）若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ．
7．（4分）一条线段的长为a，若要使3a﹣1，4a+1，12﹣a这三条线段组成一个三角形，< br>则a的取值范围是 ．
8．（4分）如图，△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠A＝60°，则∠BHC＝ 度．

9．（4分）如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DB E＝β，则∠DCE
＝ ．（用α、β表示）

二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）
第1页（共24页）

10．（5分）若a、b、c是三角形的三边，则下列关系式中正确的是（ ）
A．a﹣b﹣c﹣2bc＞0
C．a﹣b﹣c﹣2bc＜0
222
222
B．a﹣b﹣c﹣2bc＝0
D．a﹣b﹣c﹣2bc≤0
222
222
11．（5分）设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3 C＜2B，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能
12．（5分）如图，△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶< br>点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的
所有内角之 和为（ ）

A．360° B．900° C．1260° D．1440°
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，∠C的平分线与∠ABC的
外角的平分线交于E点，则∠AEB是（ ）

A．50° B．45° C．40°
2
D．35°
22
14．（5分）已知△ABC中，∠B＝60°，∠C＞ ∠A，且（∠C）＝（∠A）+（∠B），则
△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
15．（5分）已知不等边三角形中，有一条边长等 于另两边长的平均值，则最大边上的高与
最小边上的高的比值k的取值范围是（ ）
A． B． C．1＜k＜2 D．
16．（5分）已知三角形三边长a，b，c都是整数，并且a≤b＜c ，若b＝7，那么这样的三
角形共有（ ）个．
A．21 B．28 C．49 D．14
17．（5分）如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的和的2倍，那么这个三
角 形一定是（ ）
第2页（共24页）

A．锐角三角形
C．直角三角形
B．钝角三角形
D．直角或钝角三角形
18．（5分）以1995的质因数为边长的三角形共有（ ）
A．4个 B．7个 C．13个 D．60个
三、解答题（共9小题，满分0分）
19．（1）如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，求∠A的大小．
（2）在△ABC中，∠A＝50°，高BE 、CF交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的
度数．

20．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
21．（1）用长度相 等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的
3倍，求满足此条件的每个三 角形的各边所用火柴杆的根数．
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的 长为不小于1cm的整数．如
果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将 该铁丝截成
满足条件的n段．
22．如图，已知∠3＝∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D＝180°．

23．如图，已知射线ox与射线oy互相垂直，B，A分别为ox、oy上一动点，∠ABx、∠BAy的平分线交于C．问：B、A在ox、oy上运动过程中，∠C的度数是否改变？若不改变，
求出其 值；若改变，说明理由．
第3页（共24页）

24．如图，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．

25．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．
26．将长度为2n（n为自然数，且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记
（a， b，c）为三边的长分别为a，b，c，且满足a≤b≤c的一个三角形．
（1）就n＝4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）．
（2）有人根据 （1）中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n（n为自然数，且n≥4）时，
对应（a，b，c）的个 数一定是n﹣3，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n＝12时所
有的（a，b，c），并回答（a ，b，c）的个数．
（3）试将n＝12时所有满足题意的（a，b，c），按照至少两种不同的标准进行分类．
27．阅读以下材料并填空．
平面上有n个点（n≥2），且任意三个点不在同一条直线上， 过这些点作直线，一共能作
出多少条不同的直线？
试探究以下问题：平面上有n（n≥3）个 点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作
三角形，一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当仅有3个点时，可作 条直线；
当有4个点时，可作 条直线；当有5个点时，可作 条直线；
（2）归纳：考察点的个数n和可作出的直线的条数Sn，发现：（填下表）
点的个数
2
3
4
可连成直线的条数



第4页（共24页）

5
…
n



（3）推理： ；
（4）结论： ．

第5页（共24页）

2010年新课标八年级数学竞赛培训第09讲：三角形的边
与角

参考答案与试题解析

一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）
1．（4分）在△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，则
∠B 的度数为 59 度．
【分析】设∠C＝x°，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A、∠B用x的 代数式表示，
建立关于x的不等式组，求得x的整数解，进而求得∠B的度数即可．
【解答】解：设∠C为x°，
∴∠A＝x，∠B＝180﹣∠A﹣∠C＝180﹣
∵∠A＜∠B＜∠C，
∴x＜180﹣
∴70＜x＜84，
∵x为整数，
∴x＝77，
∴∠A＝44，
∠B＝59°，
故答案为59．
【点评】考查一元一次 不等式及不等式组的应用，得到三角形三个内角的代数式是解决
本题的突破点．
2．（4分） 已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样
的三角形共有 8 个．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即
可得出答 案．
【解答】解：∵三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，
列举法：当4是最大边时，有（1，4，4），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，4），（3，4，
4）．
当4是中间的边时，有（2，4，5），（3，4，5），（3，4，6）．共8个，
第6页（共24页）

x，
x＜x，

故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形三边关系，难度一般，关键是掌握三角形任意两边 之和大于
第三边，任意两边之差小于第三边．
3．（4分）三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α＝2γ，则β的取值范围 45°
≤β≤72° ．
【分析】先根据三角形的内角和定理表示出β，然后根据α≥β≥γ 及α＝2γ可确定γ的
范围，从而可确定β的范围．
【解答】解：∵α+β+γ＝180°，α＝2γ，
∴β＝180°﹣α﹣γ＝180°﹣3γ．
∵α≥β≥γ，
∴γ≤180°﹣3γ≤α，
∴4γ≤180°≤5γ，
∴36°≤γ≤45°，
∴180°﹣3×45°≤180°﹣3γ≤180﹣3×36°
∴45°≤β≤72°．
故答案为：45°≤β≤72°．
【点评】本题考查三角形的内角和的知识，难度不大，将题 目中的条件转化运用是解决
本题的关键．
4．（4分）已知△ABC的周长是12，三边为a、b、c，若b是最大边，则b的取值范围是 4
≤b＜6 ．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 即可求
解．三角形的任意两边的和大于第三边，已知三边和周长，则第三边的长度应是大于两
边 的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：依题意有b≥a，b≥c，又a+c＞b，
则a+b+c≤3b且a+b+c＞2b，
得2b＜12≤3b，
得4≤b＜6．
故答案为4≤b＜6．
【点评】此类求三角形的最大边范围的题，实际上就是根据三角形三边 关系定理列出不
等式，然后解不等式即可．
第7页（共24页）

5．（4分）如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF 、EF分别平分∠ACB
和∠AED，若∠B＝70°，∠D＝40°，则∠F的大小是 55° ．

【分析】由CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，得∠3＝∠4，∠1＝∠2，所以有∠ 3+∠
B＝∠2+∠F；∠3+∠4+∠B＝∠1+∠2+∠D，即2∠3+∠B＝2∠2+∠D，而∠ B＝70°，
∠D＝40°，于是由两个等式即可求出∠F．
【解答】解：如图，
∵CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2，
而∠3+∠B＝∠2+∠F；
∠3+∠4+∠B＝∠1+∠2+∠D，即2∠3+∠B＝2∠2+∠D，
又∵∠B＝70°，∠D＝40°，
∴∠3+70°＝∠2+∠F①，
2∠3+70°＝2∠2+40°②，
①×2﹣②得，70°＝2∠F﹣40°，
解得∠F＝55°．
故答案为55°．

【点评】本题考查了三角形的内 角和定理：三角形的内角和为180°．同时考查了角平分
线的性质．
6．（4分）若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 100° ．
【分析】根据三角形的外角和等于360°列方程求三个外角的度数，确定最大的内角的度
数即 可．
【解答】解：设三个外角的度数分别为2k°，3k°，4k°．
第8页（共24页）

根据三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°＝360°，解得k＝40，
所以最小的外角为2k＝80，
故最大的内角为180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】此题考查的是三角形外角和定理及内角与外角的关系，解答此 题的关键是根据
题意列出方程求解．
7．（4分）一条线段的长为a，若要使3a﹣1，4a +1，12﹣a这三条线段组成一个三角形，
则a的取值范围是 ．
【分析】根据三角形的 三边关系，即三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和，列
不等式组求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
，
解，得＜a＜5．
故答案为＜a＜5．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，能够熟练解不等式组．
8．（4分）如图，△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠A＝60°，则∠BHC＝ 120 度．

【分析】根据高的性质以及四边形内角和定理的相关知识解答．
【解答】解：已知∠A＝60°，高BD，CE相交于点H，
∴∠EHD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADH＝120°，
又∵∠EHD＝∠BHC，
∴∠BHC＝120°．
【点评】本题关键是利用四边形内角和定理求出∠EHD．
9．（4分）如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，则∠DCE＝
第9页（共24页）

．（用α、β表示）

【分析】连接AC、AB并延长．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和进行
推导．
【解答】解：连接AC、AB并延长．
∵∠DCF＝∠ADC+∠DAC，∠ECF＝∠EAF+∠AEC，
∴∠DCE＝∠DAE+∠ADC+∠AEC，
∵∠DBG＝∠ADB+∠DAB，∠EBG＝∠BAE+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝β﹣α，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝（∠ADB+∠AEB） ＝
∴∠DCE＝α+
故答案为：
＝
．
．
，

【点评】此题主要是考查了三角形的内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不
相邻的两 个内角的和．
二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）
10．（5分）若a、b、c是三角形的三边，则下列关系式中正确的是（ ）
A．a﹣b﹣c﹣2bc＞0
C．a﹣b﹣c﹣2bc＜0
222
222
B．a﹣b﹣c﹣2bc＝0
D．a﹣b﹣c﹣2bc≤0
222
222
【分析】由a、b、c是三角形的三边，根据三角形任意两边之和大于第 三边可得a＜c+b，
然后分别平方即可得出答案．
第10页（共24页）

【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边，∴a＜c+b，
∴a＜（c+b），
∴a＜b+2bc+c，
即a﹣b﹣c﹣2bc＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的应用及三角形三边关系，属于基础题，关键是掌握 三角
形任意两边之和大于第三边．
11．（5分）设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能
222
22 2
22
【分析】由3A＞5B，3C＜2B，得到3A+2B＞5B+3C，则A＞B+C，不 等式两边加A，得
到2A＞A+B+C，在利用三角形的内角和定理得A＞90°，即可判断三角形的形 状．
【解答】解：∵3A＞5B，2B＞3C，
∴3A+2B＞5B+3C，
即A＞B+C，
不等式两边加A，
∴2A＞A+B+C，而A+B+C＝180°，
∴2A＞180°，即A＞90°，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理 ：三角形的三个内角的和为180°．也考查了代
数式的变形能力以及三角形的分类．
12． （5分）如图，△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶
点画三角 形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的
所有内角之和为（ ）

A．360° B．900° C．1260° D．1440°
【分析】先按要求画出所有的三角形，然后用三角形的个数乘以180°，得到答案．
【解答】解：如图，
第11页（共24页）

∵每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，
∴得到7个三角形：△CAF，△AFD，△ABD，△BDE，△BEC，△CEF，△EFD，
∴这7个三角形的所有内角之和为：7×180°＝1260°．
故选：C．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．
13．（5分）如图 ，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，∠C的平分线与∠ABC的
外角的平分线交于 E点，则∠AEB是（ ）

A．50° B．45° C．40° D．35°
【分析】首先求得AE也是∠BAC的外角的平分线，根据平角的定义和角平分线的定义
求得∠EAB ，∠EBA的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得∠AEB．
【解答】解：∵E在∠C的平分线上，
∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，
∵E在∠B的外角的平分线上，
∴E点到CB的距离等于E到AB的距离，
∴E点到AC的距离等于E到AB的距离，
∴AE是∠BAC的外角的平分线．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵EB是∠ABC的外角的平分线，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣60°﹣75°＝45°．
故选：B．
【点评】此题主要考查角平分线的定义和性质，求得AE是∠A的外角的平分线，是关键．
第12页（共24页）

，

222
1 4．（5分）已知△ABC中，∠B＝60°，∠C＞∠A，且（∠C）＝（∠A）+（∠B），则
△A BC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】设∠C＝60°+x，∠A＝60°﹣x，对已知给出的等式进行整理不难求得x的度数，
从而 可求得∠C，∠A的度数，从而不难判定△ABC的形状．注意：∠B×∠B＝（∠B）
2
…
【解答】解：设∠C＝60°+x，∠A＝60°﹣x，
∵（∠C）＝（∠A）+（∠B），
∴（∠B）＝（∠C）﹣（∠A）＝（∠C+∠A）（∠C﹣∠A），
∵∠B＝60°，
∴3600°＝120°×2x，
∴x＝15°，
∴∠C＝75°，∠A＝45°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选：A．
【点评】此题主要考查三角形内角和定理，关键是对已知的等式进行整理．注意：∠B
×∠B＝ （∠B）．
15．（5分）已知不等边三角形中，有一条边长等于另两边长的平均值，则最大边上的高 与
最小边上的高的比值k的取值范围是（ ）
A． B． C．1＜k＜2 D．
2
222
222
【分析】可设三角形三边a＞b＞c，根据三角形的面积公式可知最 大边上的高与最小边上
的高的比为c：a＜1，再根据已知和三角形三边关系可知c：a＞，则最大边上 的高与
最小边上的高的比值k的取值范围可求．
【解答】解：设a＞b＞c
k＝：＝c：a
∴c：a＜1
又因为a+c＝2b①
又∵a﹣c＜b②
第13页（共24页）

2a＜3b，a＜b
c＞b
c：a＞
所以，＜k＜1．
故选：D．
【点评】本题 综合考查了三角形的面积公式和三角形三边关系及解不等式，有一定的难
度，解题的关键是得出三角形最 大边上的高与最小边上的高的比等于最小边与最大边的
比．
16．（5分）已知三角形三边长 a，b，c都是整数，并且a≤b＜c，若b＝7，那么这样的三
角形共有（ ）个．
A．21 B．28 C．49 D．14
【分析】根据已知条件首先可以得到a的可能值有 1，2，3，4，5，6，7，再根据三角形
的三边关系可以得到c的值．
【解答】解：根据已知，得
a的可能值有1，2，3，4，5，6，7．
根据三角形的三边关系，得
当a＝1时，则c不存在；
当a＝2时，则c＝8；
当a＝3时，则c＝8，9；
当a＝4时，则c＝8，9，10；
当a＝5时，则c＝8，9，10，11；
当a＝6时，则c＝8，9，10，11，12；
当a＝7时，则c＝8，9，10，11，12，13．
则这样的三角形有21个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是由a的可能值逐步推理分析．
17． （5分）如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的和的2倍，那么这个三
角形一定是（ ）
第14页（共24页）

A．锐角三角形
C．直角三角形
B．钝角三角形
D．直角或钝角三角形
【分析】令∠ ACO＝∠A+∠B＞2（∠A+∠ACB），再由三角形的内角和定理即可得出答
案．
【解答】解：由题意得：∠ACO＝∠A+∠B＞2（∠A+∠ACB），
∴∠B＞∠A+2∠ACB＝180°﹣∠B+∠ACB，
∴2∠B＞180°+∠ACB，
∴∠B＞90°+∠ACB，
即可得出三角形一定为钝角三角形．
故选：B．

【点评】本题考查三角形的内角和定理，难度不大，注意画出图形，结合题意解答．
18．（5分）以1995的质因数为边长的三角形共有（ ）
A．4个 B．7个 C．13个 D．60个
【分析】1995＝3×5×7×19，为做到计数的准确，可将三角形按边 分类，注意三角形三
边应满足的关系制约．
【解答】解：1995＝3×5×7×19等边三角形共4种，
底和腰不等的等腰三角形为（ 3，3，5），（5，5，3），（5，5，7），（7，7，3），（7，7，5），
（19，19， 3），（19，19，5），（19，19，7）共8种，
不等边三角形为（3，5，7），共1种，
总共有13种，
故选：C．
【点评】本题考查了质因数分解以及三角形三边关系问 题，解题的关键是将三角形按边
分类，注意三角形三边应满足的关系制约．
三、解答题（共9小题，满分0分）
19．（1）如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC
＝140°，∠BGC＝110°，求∠A的大小．
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（2）在△ABC中，∠A＝5 0°，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的
度数．

【分析】（1）连接AD、AG并延长．根据三角形的内角和定理的推论进行计算；
（2）由 O不与B、C重合知，∠B、∠C均非直角，这样，△ABC既可能是锐角三角形，
又可能是钝角三角形 ，应分两种情况讨论．
【解答】解：（1）连接AD、AG并延长．
∵∠BGM＝∠ABG+∠BAG，∠CGM＝∠CAG+∠ACG，
∴∠BGC＝∠BAC+∠ABE+∠ACF．
∵∠BDN＝∠ABD+∠DAB，∠CDN＝∠ACD+∠DAC，
∴∠ABD+∠ACD＝∠BDC﹣∠BAC．
∵BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABE+∠ACF＝（∠ABD+∠ACD），
∴∠BAC＝∠BGC﹣（∠ABD+∠ ACD）＝∠BGC﹣（∠BDC﹣∠BAC），即∠BAC＝
2∠BGC﹣∠BDC＝80°．


（2）当点O在三角形的内部时，则∠BOC＝∠EOF＝360°﹣∠A﹣∠AFO﹣ ∠AEO＝
130°；
当点O在三角形的外部时，则∠BOC＝90°﹣（90°﹣50°）＝50°．
故∠BOC＝130°或50°．
第16页（共24页）

【点评】此题主要是三角形内角和定理的运用．注意：三角形的高 的交点可能在三角形
的内部，也可能在三角形的外部．
20．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
【分析】不妨设三角形 三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件
可确定c的取值范围，以此作为解 题的突破口．
【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．
∵a+b+c＝30，a+b＞c
∴10＜c＜15
∵c为整数
∴c为11，12，13，14
∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3 ；14，12，4；14，11，5；14，
10，6；14，9，7；
②当c为13时，有 4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，
8；
③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；
④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．
【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系：两边之和大于第三边的理解及运用．
21．（ 1）用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的
3倍，求满足此 条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2） 小段，每段的长为不小于1cm的整数．如
果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时 有几种方法将该铁丝截成
满足条件的n段．
【分析】（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别 为x、y、3x，综合运用题设条件及三角
形边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合组，这是解本 例的突破口．
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（2）因n段之 和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依
题意可构造一个数列．
【解答】解：（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，
依题意有，
由方程可得≤x＜．
因x为正整数，故x＝15或16．
所以满足条件的三角形有15，40，45或16，36，48两组；
（2）这些小段的长度只可能是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1+1+2+…+34+55＝143＜150．
1+1+2+…+34+55+89＝2 32＞150．故n的最大值为10，共有以下7种形式：（1，1，2，3，
5，8，13，21，3 4，62）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）（1，1，2，3，5，8，
13， 21，36，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）（1，1，2，3，5，8，13， 21，
35，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，59）（1，1，2，3，5，8 ，13，21，36，58）．
【点评】本题综合考查了三角形三边关系和解含等式、不等式的混合组 ，有一定的难度．第
（2）题解题关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数之和．
22．如图，已知∠3＝∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D＝180°．

【分析】过G作GH∥EB，根据已知条件即可得出BE∥CF，再由两直线平行，同旁内
角互补即可 证明．
【解答】证明：过G作GH∥EB，
∵∠3＝∠1+∠2＝∠EGK+∠FGK，
∴∠1＝∠EGK，
∴∠2＝∠FGK，
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∴GH∥CF，
∴BE∥CF，
∵∠A+∠B＝∠BMD，∠C+∠D＝∠ANC，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝∠BMD+∠ANC，
∵BE∥CF，
∴∠BMD+∠ANC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝∠BMD+∠ANC＝180°．

【点评】本题考查 了平行线的性质与判定及三角形的外角性质，难度一般，关键是巧妙
作出辅助线．
23．如图 ，已知射线ox与射线oy互相垂直，B，A分别为ox、oy上一动点，∠ABx、∠BAy
的平分线 交于C．问：B、A在ox、oy上运动过程中，∠C的度数是否改变？若不改变，
求出其值；若改变， 说明理由．

【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得 到∠C
＝90°﹣∠O．
【解答】解：∠C的度数不会改变．
∵∠ABN、∠BAM的平分线交于C，
∴∠C＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（∠ABN+∠BAM）
＝180°﹣（∠O+∠OAB+∠BAM）
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＝90°﹣∠O＝45°．

【点评】此题要能够根据三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及角平分线定义
得到∠C和∠O之间的关系：∠C＝90°﹣∠O．
24．如图，已知DM平分∠ADC，BM平分 ∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度
数．

【分析】设BC与M D的交点为E，由DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，得∠CDQ＝2
∠1，∠ABQ＝2∠2，利 用三角形的内角和定理可得，∠C+2∠1＝∠A+2∠2①，∠C+∠
1＝∠M+∠2②，则∠C＝2 ∠M﹣∠A，而∠A＝27°，∠M＝33°，即可求出∠C．
【解答】解：设BC与MD的交点为E，如图，
∵DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，
∴∠CDQ＝2∠1，∠ABQ＝2∠2，
在△CDQ和△ABQ中，∠CQD＝∠AQB，
∴∠C+2∠1＝∠A+2∠2，①
在△CDE和△MBE中，∠CED＝∠MEB，
∴∠C+∠1＝∠M+∠2，②
用②×2﹣①得，∠C＝2∠M﹣∠A，
而∠A＝27°，∠M＝33°，
∴∠C＝2×33°﹣27°＝39°．
故答案为：39°．

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【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了角平分线
的性 质．
25．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．
【分析】先设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是
S ，根据三角形面积公式，可求
a＝，b＝，c＝，结合三角形三边的不等关系，可得关于h的不等式，解即可．
【解答】解 ：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积
是S，那么
a＝，b＝，c＝，
又∵a﹣b＜c＜a+b，
∴﹣＜c＜
＜S，
+，
即＜
解得3＜h＜6，
∴h＝4或h＝5，
当h＝4时，有a＝c＝
故h＝5．
【点评】本题考查了三角形面积、三角形三边之 间的关系、解不等式．求出整数值后，
要看是否符合题意．
26．将长度为2n（n为自然数 ，且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记
（a，b，c）为三边的长分别为a，b， c，且满足a≤b≤c的一个三角形．
（1）就n＝4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）．
（2）有人根据 （1）中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n（n为自然数，且n≥4）时，
对应（a，b，c）的个 数一定是n﹣3，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n＝12时所
有的（a，b，c），并回答（a ，b，c）的个数．
（3）试将n＝12时所有满足题意的（a，b，c），按照至少两种不同的标准进行分类．
【分析】（1）根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边”，可直接 写出符合条件的三角形．
（2）列举出所有符合条件的三角形，即可解答．
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，不合题意，舍去．

（3）三角形的分类标准有2种，一种是按角来分，一种是按边来分，据此解答即可．
【解答】解：（1）当n＝4时，有（2，3，3）；
当n＝5时，有（2，4，4），（3，3，4）；
当n＝6时，有（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）．

（2）当n ＝12时，a+b+c＝24，且a+b＞c，a≤b≤c，得8≤c≤11，即c＝8，9，10，11，
故可得（a，b，c）共12组：
A（2，11，11），B（3，10，11），C（4， 9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F（4，
10，10），
G（5， 9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，
8）．

（3）按边分类：①等腰三角形：A，F，I，J，L；②不等腰三角形： B，C，D，E，G，
H，K．
按角分类：①锐角三角形：A，F，G，J，K，L；②直角 三角形：H；③钝角三角形：B，
C，D，E，I．
【点评】本题考查了三角形的三边关系， 判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两
个数的和是否大于第三个数，难度适中．
27．阅读以下材料并填空．
平面上有n个点（n≥2），且任意三个点不在同一条直线上， 过这些点作直线，一共能作
出多少条不同的直线？
试探究以下问题：平面上有n（n≥3）个 点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作
三角形，一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当仅有3个点时，可作 3 条直线；
当有4个点时，可作 6 条直线；当有5个点时，可作 10 条直线；
（2）归纳：考察点的个数n和可作出的直线的条数Sn，发现：（填下表）
点的个数
2
3
可连成直线的条数


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4
5
…
n




（3）推理： 平面上有n个点，两点确定一条直线．经过第一个点有n﹣1条直线，
过第二个点B有（n﹣1）条直线，所以一共可连成n（n﹣1）条直线，
但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即Sn＝
（4）结论： Sn＝ ．
；
【分析】（1）根据两点确定一条直线，即可作出判断；
（2）根据（1）的结论，即可填表；
（3）（4）根据前边的结论，即可得到直线的条数与点的个数之间的关系．
【解答】解：（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，
可连成3．条直线；当有4个点时，可连成6条直线；
当有5个点时，可连成1O条直线；

（2）归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数Sn，发现：
点的个数
2
可连成直线的条数

1＝
3

3＝
4
5
…
n
6＝
10＝
…





（3）推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．经过第一个点有n﹣1条直线，
第23页（共24页）

过第二个点B有（n﹣1）条直线，所以一共可连成n（n﹣1）条直线，
但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即Sn＝

（4）结论：Sn＝．
；
【点评】本题主要考查了两点确定一条直线，根据定理确定（1）（2）是解题的基础，观
察直线的条数与点的个数之间的关系是解决本题的关键．



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