野炊露营-云南的歌会ppt

23．（2013浙江台州，24，14分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么
称这个三角形为“好玩三角形”．
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=
3
，求证：△ABC是“好玩三 角
2
形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P， Q从点A同时出发，
以相同速度分别沿折线AB—BC和AD—DC向终点C运动，记点P所经过的路程 为s．
①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求
a
的值；
s
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成
为“ 好玩三角形”，请直接写出tanβ的取值范围．
（4）（本小题为选做题，做对另加2分，但全卷满分不超过150分）
依据（3）中的条件 ，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与
△APQ是“好玩三角形”的个数关 系“的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）．
A
C
D
B
A
B
图1
F
N
M
P
E
C
图2
第24题

【思路分析】（1）首先任意画出一条合适 的线段，利用尺规作图作出它的中点，然后以
中点为端点用圆规截取一条线段等于上一条线段，最后连结 各端点便得到一个“好玩三
角形”。
(2)由于tanA=
Q
C
备用图
A
D
B
D
3
，可设AC=2x， BC=
3x
，然后作出AC边上的中线BD，则CD=x，
2
易得BD=2x ，此时AC=BD，∴△ABC是“好玩三角形”。
(3)①当β=45°时，∠ABC=2β=90 °，此时菱形ABCD为正方形，当点P在AB上时，
△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角 形”． 当点P在BC上时，△APQ有可
能是“好玩三角形”，连接AC，交PQ于点E，延长AB交 QP的延长线于点F，易证△

AEF∽△CEP，可得
AEs
，若△A PQ是“好玩三角形”，有两种可能：底边上的

PE2as
中线等于底边长或腰上 的中线等于腰长，须分两种情况讨论。
②按照底边上的中线等于底边长或腰上的中线等于腰长，再借助 勾股定理及菱形对角线
互相垂直，可得
15
tanβ2
．
3< br>151515
tanβ2
、
tanβ2
、
tanβ或 2
进行分析、
333
（4）结合
0tanβ
个数．
【解】（1）如图：

（2）作AC边上的中线BD，设AC=2x，BC=
3x
，则CD= x，由勾股定 理可
知BD=2x，∴AC=BD，即AC边上的中线等于AC的长，∴△ABC是“好玩三角形”．
（3）①当β=45°时，当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能
是“好玩三 角形”．
当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，
∵ PC=CQ，∠ACB=∠ACD，
∴AC是QP的垂直平分线，
∴AP=AQ，
∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴
AEAFABBPs
，

CECPPC2as
AEs
，

PE2as
∵PE=CE，
∴
1）当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，
AEs2

，
PE2as1
a3
∴

．
s4

2）当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，
作QN⊥AP于N，
∴MN=AN=
1
PM
，
2
∴
QN15MN
，
∴tan∠APQ=
QN15MN15

，
PN3MN3
AEs15

，
PE2as3
∴tan∠APE=
∴
a151

．
s102
15
tanβ2
．
3
②
（4）选做题：
若
0tanβ
形”的个数为2．
或若
15
，则在点P，Q的运动过程中，使△APQ成为“好玩三角
3
15
tanβ2
，则在点P，Q的运动过程中，使△APQ成为“好玩三
3角形”的个数为1．
或若
tanβ2
，则在点P，Q的运动过程中，使△AP Q成为“好玩三角形”的
个数为0．
或若
tanβ
15
或2，则在点P，Q的运动过程中，使△APQ成为“好玩三
3
角形”的个数为无数个． 【方法指导】本题考查了尺规作图、勾股定理、相似三角形的性质和判定、三
角函数等知识点，本题 综合了阅读理解和动态问题，在解决的过程中，用到了分类讨论
的数学思想解题要求能力较高。
8．(2013浙江湖州,24,8分)如图①，
O
为坐标原点，点
B
在< br>x
轴的正半轴上，四边形
OACB
是平行四边形，
sinAOB＝
4k
，反比例函数
y
（
k0
）在第一象限内的图 象经过
5x

点
A
，与
BC
交于点
F
．
（1）若
OA
＝10，求反比例函数的解析式；
（2）若点< br>F
为
BC
的中点，且△
AOF
的面积
S
＝1 2，求
OA
的长和点
C
的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点< br>F
作
EF
∥
OB
，交
OA
于点
E< br>（如图②），点
P
为直线
EF
上的
一个动点，连接
P A
、
PO
．是否存在这样的点
P
，使以
P
、
O
、
A
为顶点的三角形是直角三
角形？若存在，请直接写出所有点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
．．．．

【思路分析】（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=
4
，OA=10 ，求出AH和OH的值，
5
从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求 出反比例函数的解
析式；
（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据s in∠AOB=
OH=
44
，得出AH= a，
55
3
a， 求出S
△AOH
的值，根据S
△AOF
=12，求出平行四边形AOBC的面 积，根据F为BC的中
5
11
3
2
点，求出S
△OBF=6，根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S
△BMF
=BM•FM，S
△ FOM
=6+a，再根
22
50
k1
据点A，F都在y=的图象上， S
△AOH
=k，求出a，最后根据S
平行四边形AOBC
=OB•AH，得 出
x2
OB=AC=
33
，即可求出点C的坐标；
（3）分别根 据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P
1
，P
2
，当∠ PAO=90°时，
求出P
3
，当∠POA=90°时，求出P
4
即 可．
【解】（（1）如下图，过点
A
作
AH
⊥
OB
于
H
．
∵
sinAOB
＝
4
，
OA
＝10，
5
k
，可得
k
＝48．
6
∴
AH
＝8，
OH
＝6．
∴
A
点坐标为（6，8）．根据题意，8＝

∴反比例函数的解析式为：
y
48
（
x
＞0）．
x

（2）设
OA
＝
a
（
a
＞0），如上图，过点
F
作
FM
⊥
x
轴于
M
．
∵
sinAOB
＝
∴< br>S
AOH
443
，∴
AH
＝
a
，
OH
＝
a
．
555
6
2
143
＝
aa
＝
a
．
25
255
AOBC
∵
S
AOF
＝12，∴
S
＝24．
∵
F
为
BC
的中点，∴
S
OBF
＝6．
1
a
，∠
FBM
＝∠
AOB
，
2
23
∴
FM
＝
a
，
BM
＝
a
．
510
∵
BF
＝
∴
S
BMF
＝
1
BM
2
FM
＝
3
132
aa
＝
a
2
．
50
2105
3
2
a
．
50
∴
S
OMF
＝
S
OBF
＋
S< br>BMF
＝6＋
S
OMF
的图像上，
2
∵点A
、
F
都在
1
SS
∴
AOH
＝OMF
＝
k
．
6
2
31010
a
＝6＋
a
2
，∴
a
＝
3
．∴
OA
＝
3
．
255033
8
∴
AH
＝
3，
OH
＝
23
．
3
∴

∵S
AOBC
＝
OB
·
AH
＝24，∴
OB＝
AC
＝
33
．
∴
C
（
53
，
8
．（3）
3
）
3
（3）存在三种情况：
当∠
APO
＝90 °时，在
OA
的两侧各有一点
P
，分别为：
8424
；
3
，
3
)，
P
2
（
3
，
3
）
3333
344
当∠
PAO
＝90°时，
P
3
（；
3
，
3
）
93
4
16< br>当∠
POA
＝90°时，
P
4
（

． 3
，
3
）
3
9
P
1
(
【方法 指导】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、
反比例函数、三角形的面 积等，要注意运用数形结合的思想．
【易错警示】本题第（3）问有三种情况，不要漏解。
24．（2013重庆，26，12分）已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12 ，
BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图①，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G
在线段DE上．如图②，△GMN从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B
匀速移动，同 时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点
Q为直线GN与线段AE的交点 ，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时
停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值．
（2）在整个运动过程中，是 否存在点P，使△APQ是等腰三角形．若存在，求出t的值；
若不存在，说明理由．
（3） 在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之
间的函数关系式以 及自变量t的取值范围．
A
D
A
P
D
G
Q
B
F
图①
E(N)
C
M
B
（第26题图）
F
N
G
E
图②
M
C

【思路分析】（1）由Rt△ABE与Rt△GMN中已知的边可 知两个三角形相似，当点G在
AE上时，GM在AE上，点M与E重合，所以求出MN的值就是所求t的 值；（2）在△APQ
中由任意两边相等，分三种情况讨论解答，要注意在每种情况中把相等的两边用t 的式子

表示，从而建立关于t的方程使问题得解；（3）结合点E，F的位置和点G在A E上时的
情况，对问题分段解答．
【解】（1）在△GMN中，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，由勾股定理，得
MN=
NG
2
MG
2
10
.
∵
tanAEB
AB123
NG63

,
tanG MN
,
BE164
MG84
∴∠AEB=∠GMN，
∴当点G运动到AE上时，点M与点E重合，运动路程为10，
又∵△GMN运动速度为每秒一个单位长度，
∴t=10.
（2）存在满足条件的t．理由如下：
在△ABE中，∠ABE=90°，AB=12，BE=16，由勾股定理，得
AEAB
2
BE
2
20
.
由（1）可知，∠AEB=∠GMN，∴AE∥GM，∴∠NQE=∠NGM=90°，
∴∠NQE=∠B=90°，
又∵∠AEB=∠NEQ，∴△ABE∽△NQE.
2016
AEBE
∴，即，

tQE
NEQE
∴
QE
4
4
t
,∴
AQAEQE20t
.
5
5
①当AP=PQ时，如图①，过点P作PH⊥AE于点H，得AH=
A
H
Q
B
N
F
图①
AHAP
， 即

BEAB
10
1
2
AQ=
10t
.
2
5
P
D
G
E M
C
< br>由△APH∽△EAB，得
2
t
5

t
，解得
t
25
.
1620
3
②当AP=AQ时，如图②，由
t20

100
4
.
t
，解得
t
5
9

A
P
D
G
B
Q
N
F
M
E
图②
C

③当AQ=PQ时，如图③，过点Q作QK⊥AD于K，可得AK=
A
K
P
D
1
1
AP=
t
.
2
2
Q
G
B
N
F
M
图③
E
C

4
1
20t
t
AQ
AK
800
5
2
由△AQK∽△EAB，得，即，解得
t
.


57
AEBE
2016
25
100800
综上所述，当
t
或
t
或
t
时 ，△APQ是等腰三角形．
3
957

6
2

2 5
t(0t7)



7
t
2
14

49
(7t10)


33
（3）
S

75

1142371
2

t t(10t)

3335

6

(t17)
2
(
71
t16)

5

7
解析： 当0＜t≤7时，重合部分是一个直角三角形，其斜边长为t，两直角边分别长为
34
6
t
和
t
，
St
2
；当7＜t≤10时，重合部分是一个 四边形，如图①所示，设GN与
55
25
AF交于点K，则△KNF是一个等腰三角形 ，底边FN=t－7，作KR⊥FN于点R，则

FR=
12
(t7)
，由△FKR∽△FAB，可得高KR=
(t7)
，∴△KNF的面积为
2 3
1
1271449
6
2
12
；当10＜t≤
14
(t7)(t7)
．∴
St(t7)(t7)
t
2
t
5
232533
2523
时，重合部分是一个四边形，此 时点G在△AFE内部，如图②所示，
1
1211423
；当
14
＜ t≤16时，重合部分是一个三角
(t7)(t7)
2
t
2
5
23333
形，此时点G在△ABF内部，FN=EN－EF=t－7，F M=MN－FN=10－(t－7)= 17－t，此时
S24
St17
217t
2
6
∴
S42(

()
，
)(t17)

．
427
77
【方法指导】本题是一道动态问 题，以矩形为背景，结合直角三角形的移动，考查学生
对等腰三角形的存在性分类讨论的能力，考查了相 似形或三角函数知识的应用，同时也
考查了对图形变化的空间感知能力，这里要求学生的综合应用数学知 识解决问题的能力
较强
．
（1）解答动态问题，要善于从动中找出“静”的信息；（2 ）解答存在性问题，一般是
假设成立，找出数量关系，建立方程，解答并验证后，得到结论；（3）动态 图形重合问
题，在图形的形状每发生一次改变，自变量的取值也应作相应的变化．
25．(2 013湖北荆门，23，10分)如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，
P是线段M C上的一个动点(不与M，C重合)，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切
线，交AD于点F，切点 为E．
(1)求证：OF∥BE；
(2)设BP＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3 )延长DC，FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H(图2)，问是否存在点P，使
△EFO∽ △EHG(E，F，O分别与E，H，G为对应点)，如果存在，试求(2)中x和y的值，
如果不存在 ，请说明理由．
△KMF∽△AEF，而△AEF的面积为42，∴
D
F
A
E
O
C
P
M
B
D H
E
F
A
O
C
P
M
B
G

第23题图2

【思路分析】(1)连结OE，证同位角相等或同旁内角互补即可；
(2)将直角梯形ABP F分割成矩形和直角三角形，然后利用勾股定理即可求出y与x之间
的函数关系式；
(3)欲 使△EFO∽△EHG，则只需∠EFO＝∠EHG．这一等式成立的条件之一是∠EFO＝
2∠EOF ．
【解】(1)证明：连接OE．
∵FE，FA是⊙O的切线，∴∠OAF＝∠OEF＝90°．
又∵FO＝FO，OA＝OE．∴△FAO≌△FEO．
第23题图1

∴∠AOF＝∠EOF＝
∵∠ABE＝
1
∠AOE．
2
1
∠AOE，∴∠AOF＝∠ABE．
2
∴OF∥BE．
(2)过F作FQ⊥BC于Q，
∴PQ＝BP－AF＝x－y，PF＝PE＋EF＝x＋y．
在Rt△PFQ中，FQ
2
＋PQ
2
＝PF
2
．
∴2
2
＋(x－y)
2
＝(x＋y)
2
．
化简得y＝
1
(1＜x＜2)．
x
(3)存在这样的P点．
∠EOF＝∠AOF，∴∠EHG＝∠EOA＝2∠EOF．
∵OH⊥FG，∴∠OEF＝∠HEG＝90°．
当∠EFO＝∠EHG＝2∠EOF时，即∠EOF＝30°时，△EFO∽△EHG．
此时 Rt△AFO中，y＝AF＝OA·tan30°＝
∴x＝
1
＝
3
．
y
3
．
3
3
时，△EFO∽△EHG． ∴当x＝
3
，y＝
3
【方法指导】圆的切线的判定方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的 直线是圆的切线；
这种方法不常用．（2）若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线； 这
种证明方法通常是在直线和圆没有公共点时，通过“作垂直，证半径”的方法来证明直
线是圆 的切线．（3）经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．这种证明方
法通常是在直线和圆有 公共点，通过“连半径，证垂直”的方法来证明直线是圆的切线．

26、（2013深圳，2 3，9分）如图7—①，已知直线
AB
过点A(m,0),B(0，n),且m+n=20（其
中
m>0,n>0
）
(1) 当m为何值时，
OAB
的面积最大？最大值是多少？
(2) 如图7—②，在（1 ）的条件下，函数
y
k
的图像与直线
AB
交于点C、D，若
x
1
S
OCA
S
OCD
，求
k
的 值
8
(3) 在（2）的条件下，将
OCD
以每秒1个单位的速度沿x
轴的正方向平移，如图
7—③，设它与
OAB
重叠部分的面积为S
，请求出
S
与运动时间（秒）之间的函数
关系式（
0）

y
B
y
B
D
y
B< br>C
O
图7—①
A
x
O
图7—②
A
x
O
图7—③
A
x
【答案】（1）设
OAB
的面积为
S
OAB
，则：
S
OAB


S
OAB

∵

11
OAOBmn

22
11
m(20m)(m10)
2
50
22
1
<0
，抛物线的开口向下，
S
OAB
有最大值
2
∴当
m10
时，
S
OAB最大值
50

（2）在（1）的条件下，
A(10,0)
、
B(0,10)
，则直线
AB
的解析式为
yx10

由于直线AB
：
yx10
和曲线
y
k
的图像均关于直线
yx
对称，
x
则它们的交点
C
、
D
亦关 于直线
yx
对称，且
OACOED

设
C(a,b )
，则
D(b,a)
，则
S
OCA

由
S
OCA

1
S
OCD
且
S
OBD
8
11
故
5b1010
则
b1
，且
C(a,1)

102
1
OAb5b

2
1
S
O CA
知：
S
OCA
S
OAB

10
又点
C(a,1)
在直线
AB
：
yx10
上，将点< br>C(a,1)
代入直线方程
有
1a10
故
a9
因而
C(9,1)

又点
C
在曲线< br>y
kkk
上，将点
C(9,1)
代入
y
得：1

xx9
故
k9
即为所求