木藤亚也-宝贝宝贝

浅谈三角形中矩形面积的最大值与三角形三边的关系

作为数学老师大家都知道，最值问题是我们中学阶段数学知识的一个重要的问题之一，
也是中考 经常考查的一个重要的知识点。解决这类问题的基本思路就是怎样把一个具体问题
怎样把它转化为一个 具体的二次函数问题。（即转化为二次函数：y=ax
2
+bx+c,当a＞0时
4 acb
2
bb
y有最小值且当x=－时，y的最小值为；当a＜0时，y有最大值且 当x=－时，
4a
2a2a
4acb
2
y的最大值为：）。这里我 要谈的最值问题是我在教学时从一个具体特殊的直角三角
4a
形中矩形面积的最大值问题入手， 层层引入观察、猜想、探讨、论证，并总结归纳得到了在
一般的三角形中矩形面积的最大值问题与三角形 三边的关系以及三角形面积与三角形三边的
关系，具体探讨论证过程如下。
九年级数学课本下 册（北师版）有这样一个问题：
在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB
和AD 分别在两直角边上如图（1）所示：
1.如果设矩形的一边AB=x 米,则AD边的长度如
何表示？
2.设矩形的面积为y平方米，当x取何值时，y的
值最大？最大值为多少？
FD

FA
DCFADAAB30AD
= ，∵FD=FA—DA，AF=30米。设DC=AB=x, AE=40米。∴ = ,即
AEFAAE30
x30
= ，解得：AD=30- x。
4040
解：1. 由（1）图易得：Rt△FDC∽Rt△FAE,∴
2. 由矩形的面积公式可得：
3
x)x
=-
(x
2
40x) 
【
x
2
2x()
2
-
()
2
】
404040222
30403040304013040
x 
2

化简得：y=-
x
2

.也可以表示为：y=﹣,
402440222
30
即 Y=- (
x
-20)
2
+300
40
y=A·AB=
(30
大家注意观察上面二次函数表达式各项量的特点，当矩形的一边取20米（即为它所在
直角边AE的一半）时,矩形面积y有最大值且最大值为300平方米(AF与AE积的四分之一)

1

即矩形面积的最大值为直角三角形直角边之积的四分之一。或者说其面积的 最大值为直角三
角形面积的一半。
在上面的解答过程中我们不难发现矩形面积存在最大值时， 矩形的一边必须为其所在直
角边长的一半，此时矩形面积的最大值的大小也与直角边有关，并且其面积的 最大值为直角
三角形面积的一半。
至此，我们可以从一个具体的直角三角形得到：直角三角形 中矩形面积的最大值有这种
关系：当矩形一边的长为它所在直角边边长的一半时，此时矩形的面积有最大 值且最大面积
为直角三角形面积的一半。上面我们所说的只是一个具体特
殊的直角三角形，那么 一般的直角三角形中矩形面积的最大
值是否也有这种结论呢？下面我们就针对一般的直角三角
形 中矩形面积的最大值的各种情形来分析探讨论证一下。
如图（2）所示：矩形在直角三角形ABC中， ∠A,∠
B,∠C所对的边的长分别为a,b,c且矩形一边x在直角边CB
边上与其相邻的边 为h。
证明：设矩形一边x相邻的另一边为h,（x在直角边BC上）,由图易得：
所以h =b－
b
x,
a
ab
bba
x) =- (x- )
2
+。可见这种
4
aa2
bhx


，
ba
设矩形的面积为y,则有：y=xh
即：y=x(b-
情况和我们上面猜想的结论是相吻合的。
如图(3)要是所示：矩 形的一边x在另一直角边AC
上与其相邻的边为h，是否也存在同样的结论呢？
证明：同理可得; h=a－
a
x,
b
设矩形的面积为y,则有：y=xh
即： y=x(a-
ab
aab
x)=﹣ (x- )
2
+ 。
4
bb2
可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。
如图(4)所 示：要是矩形的一边x在直角三角形斜边AB
上与其相邻的边为h，那么这种情况又如何呢？
证明：如图（4）所示：矩形DEFG在三角形ABC中，
矩形的一边EF在直角三角形斜边AB上与其 相邻的边为

2

h，∠A,∠B,∠C所对的边的长分别为a,b, c。由图易得：Rt△CGD∽Rt△CBA,∴
由题意得：GD=EF=x,CB=a,AB=c,C G=CB-GB.
CBGBxaGB
x
,即

，
CBABa
c
a
∴GB=a- x.
c
CGDG
,

CBAB
∴
由图可得：在Rt△ABC中，
SinB=
ACb
= .
ABc
GFGFAC
GFb
.∴.即：


，
a
GBGBAB
ax
c
c
在Rt△GFB中，SinB=
ba
解得：GF=
(ax)
，
cc
ba
设矩形的面积为y则: y=GF·EF=
(ax)x
,
cc
abc1ab
化简得： y=-
2
(x)
2


c222
可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。
由上可得直角三角形都 有这样的结论：直角三角形中矩形面积的最大值和直角三角形各
边都有这种关系：当矩形一边的长为它所 在边长的一半时，此时矩形的面积有最大值且最大
面积为直角三角形面积的一半。
上面我们经 过观察、讨论、猜想并论证了直角三角形中矩形面积的最大值与直角三角形
各边有这种结论，既然直角三 角形有这种规律，那么我们这时就可以大胆的设想一下是不是
一般的三角形也有相同的结论呢？（即已知 三角形三边，矩形
在三角形中，当矩形一边的长为它所在边边长的一半时，此时
矩形的面积有最 大值且最大面积为三角形面积的一半）
证明：如图（5）所示：已知三角形ABC,

A,

B,

C的
对边分别为a,b,c。.AD为BC边上的高 ，三角形ABC中矩形的
一边x在BC边上,另一边长为h。
由图易得：①BD+DC=a. ②BD
2
+AD
2
=c
2
.③DC
2
+AD
2
=b
2
.
2ab< br>2
ac
2
bc
2
a
4
 b
4
c
4

由上面三式可解得：AD= 。
2a
设矩形的一边为x相邻的另一边为h如图⑸所示. 由图易得：
ADhx

，
ADa

3

2ab
2
ac
2
bc
2
 a
4
b
4
c
4

11
解得：h=A D(1－
x
) =(1－
x
).
aa
2a
设矩形的面积为y则有：y=hx
2ab
2
ac
2
bc
2
a
4
b
4< br>c
4

1
即：y=(1－
x
)x. 化简得：
a
2a
2ab
2
ac
2
 bc
2
a
4
b
4
c
4
< br>a
2
Y=－(x－)+
2
2a
2

2
2ab
2
ac
2
bc(
4
a
8
4
b)
4
c
.
由三角形面积公式可得：S
ABC
=AD·BC.
2ab
2
ac
2
bc
2
a
4
b< br>4
c
4

1
即： S
ABC
= ×a
2
2a
=
1
4
2ab2
ac
2
bc
2
a
4
b
4
c
4


可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。
综上分析探讨论证，我们可以得出一般情 形的结论：三角形中矩形面积的最大值与三角
形各边的长以及三角形面积有这样的关系：当矩形一边长为 所在三角形对应边的长的一半时，
矩形面积有最大值且其面积的最大值为三角形面积的一半。或者也可以 说成：矩形最大面积
是三角形三条边长两两之积的平方之和的二倍与其三边的长的四次方之和的差的算术 平方根
的八分之一。
公式表示如下：
2ab
2
ac
2
bc
2
(a
4
b
4
c< br>4
)
S= (S是矩形的面积最大值与三角形三边a,b,c
8
的关系 )
从上面的关系式中我 们不难得到：三角形的面积为三角形三条边长两两之积的平方之和
的二倍与其三边的长的四次方之和的差 的算术平方根的四分之一。
公式表示如下：
S
ABC
=
1< br>4
（s为三角形面积与为三角形三边的长a,b,c
2ab
2
 ac
2
bc
2
a
4
b
4
c
4


的关系）
有位科学家说过，发现来源于猜想，而猜 想又来源于观察与思考。因此，在我们的工作
学习过程中勤于观察善于思考就会有意想不到的发现。

4