一日不见如隔三秋-海伦凯乐

直角三角形的边角关系知识点复习

考点一、锐角三角函数的概念
如图，在△ABC中，∠C=90°
A的邻边
A的对边
____

_____
余 弦：
cosA
斜边
斜边
正切：
tanA
A的对边_____

A的邻边
正弦：
sinA
考点二、一些特殊角的三角函数值
三角函数
sinα
cosα
tanα
30° 45° 60°









考点三、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；
（2）平方关系：
sinAcosA1

（3）倒数关系：tanA
•
tan(90°—A)=1
（4）商的关系：tanA=
22
sinA

cosA
考点四、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；
(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________；
考点五、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角 ，由直角三角形中除直角外的已知元
素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：______________________（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：______________________
（3）边角之间的 关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=_ _____________
(4) 面积公式：
s
11
abch< br>c
（
h
c为
c
边上的高）

22
考点六、解直角三角形应用
1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解
2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：
(1)
仰角
：视线在水平线上 方的角；
俯角
：视线在水平线下方的角。

h
。坡度 一
l
h
itan

。般写成
1:m
的形式，如
i1:5
等。 把坡面与水平面的夹角记作(叫做________)，那么

视线
铅垂线
l
(2)坡面的铅直高度
h
和水平宽度
l
的比叫做_______(或________)。用字母
i
表示，即
i
水平线
仰角

俯角
解直角三角形的类型与解法
视线
h
l
ih:l
α

已知、解法
三角
类型

Rt△ABC 两

B 边
c
一
a
边
A b C
一

角



已 知 条 件
两直角边（如a，b）
斜边，一直角边（如c，a）

一角边
和
一锐角

锐角，邻边
（如∠A，
b）
锐角，对边
（如∠A，
a）

解 法 步 骤
由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－A，c＝
a
2
b
2

由Sin A＝，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
c
2
-a
2

∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝
a
b
a
c
b
cosA
cosA
∠B＝90°－A，b＝
aa
，c＝
tanAsinA
斜边，锐角（如c，∠A） ∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A
计算边的口诀：有斜求对乘正弦;有斜求邻乘余弦;无斜求对乘正切
选用关系式口诀：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切函数理当然；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；
已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；
计算方法要选择，能用乘法不用除。
0
典型例题：1：在Rt△ABC中，∠C=90。
 已知sinA=
 已知sinA=
3
0
，则∠A=_______,sinB=_______,COS B=_______,tanB=________.
2
4
, 则sinB=_______,COSB=_______,tanB=________.
5
 已知sinA=0.6,AB=8,则BC=________. 已知cosA=0.6,AB=10,则AC=_________. 已知
tanA=0.6,BC=6,则AC=__________.
2：如图,根据图中已知数据,求△ABC的BC边上的高和△ABC的面积.（


A



º
30º
如图
45
变式1：,根据图中已知数据,求AD.(sin25º= 0.4 ，
B
4cm
C D
tan25º= 0.5 ，sin55º=0.8 ，tan55º=1.4)



A

3
近似取1.7）
变式2：如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处
0< br>仰望塔顶,测得仰角为30,再往塔的方向前进
0
100m至B处,测得仰角为60,那 么该塔有多高?(小
明的身高忽略不计,结果保留根号)




55°
┌
25º
B
20

C D

精选习题：
1.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦 （ ）

（A） 都扩大2倍 （B） 都扩大4倍 （C） 没有变化 （D） 都缩小一半
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
4
，则cosB的值等于（ ）
5
4
5
A．
3
B.
4
C.
3
D.
5

5
5
3.在正方形网格中，
△ABC
的位置如图所示，则
c osB
的值为（ ）
1
B．
2
C．
3
D．
3

2
223
4.在Rt

ABC中，

C=90º，

A=15º，AB的垂直平分线与A C相交于M点，则CM：MB等于（ ）
A．
（A）2：
3
（B）
3
：2 （C）
3
：1 （D）1：
3

5.等腰三角形底边与底边上的高的比是
2:3
，则顶角为 （ ）
（A） 60 （B） 90 （C） 120 （D） 150
O
6.如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60方向，这艘渔船
以28km时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北
O
偏东15方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）
Ａ．
72
km Ｂ．
142
km Ｃ．7km Ｄ．14km
7、河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：
3
（坡比
是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．5
3
米 B．10米 C．15米 D．10
3
米
0000
Ｍ
６
Ａ
Ｂ
东
8.在△ABC中，∠A=30º，tan B=
1
，BC=
10
，则AB的长为 .
3
9、
84sin45(3)
0
4
=
10、如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米 ．如果火车行
驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米时的速度行驶
时，A处受噪音影响的时间为( )
A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．
11、11、锐角A满足2 sin(A-15)=
3
,则∠A= .已知tan B=
3
，则sin
0
B
= .
2< br>12、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为
25
米 ，则这个破面的坡
度为 .
13、如图所示,小明在家里楼 顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在
点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋
楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为_________________米（保留根号）．
A
14.如图，已知直线
l
1
∥
l
2
∥
l
3
∥
l
4
，相邻两条平行直
B
线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分
别在四条直线上，则
sin


．

< br>15.△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=
3．则线段AD的长为_____________．
16、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,
AC=10,试求CD的长．
l
1

l

A
D
2
l
3

C
l
4

α

17.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）. 为了测量雕塑
的高度，小明在二楼找到一点
C
，利用三角板测得雕塑顶端
A< br>点的仰角为
30°
，
底部
B
点的俯角为
45°
，小华在五楼找到一点
D
，利用三角板测得
A
点的俯
角为
60°
（如图②）.若已知
CD
为10米，请求出雕塑
AB
的高度． （结果精
确到0.1米，参考数据
31.73
）．
D
A
C

B
② ①

第17题图


18、如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装 天然
气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位 于C的北
偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN的长.






19、某兴趣小组用高 为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观
察建筑物顶部D 的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得
A，B之间的距 离为4米，tanα=1.6,tanβ=1.2，试求建筑物CD的高度．
D






E
G

F


B
A
C
20．一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北2 1.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B

处，测得小岛C此时在轮船的东偏 北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？
29
9
（ 参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈， sin63.5°≈，
北
5
10
25
C
tan63.5°≈2）


AB



东
B
21 如图，在四边形ABCD中， AB=2，CD=1， ∠A= 60°，
∠D= ∠B= 90°，求此四边形ABCD的面积。
2
60°
C
1
D