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等边三角形和等腰三角形的性质

知识梳理
等腰三角形：
（－）等腰三角形的性质
1. 有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平 分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中
线、底边上的高互相重 合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分 线为对称轴的
轴对称图形；

（二）等腰三角形的判定
1. 有关的定理及其推论
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形：
定义：三条边都相等的三角形
性质：三边相等，三角相等且都为60度，加等腰三角形性质。
判定：三条边相等的三角形，三个角都为60度的三角形，有一个角是60度的等腰三角形。
等边三角形的判定方法：
（1）有 边相等的三角形叫做等边三角形；
（2）有 角相等的三角形叫做等边三角形；
（3）有 个内角都等于60的三角形叫做等边三角形；
（4）有 个内角等于60的 三角形叫做等边三角形。
0
0
典型例题

例1. 如图，已知在 等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为
M 。求证：M是BE的中点。
A



D



1
B M C E



1

例2. 如图，已知：
ABC
中，
ABAC
，D是BC上一点，且
ADDB，DCCA
，求
BAC
的度数。
A





B C
D






例3. 已知：如图，
ABC
中，
ABAC，CDAB
于D。求证：
BAC2DCB
。







D


B
A
1 2


3

E
C







例4. 如图，
ABC
中，
ABAC， A100
，BD平分
ABC
。求证：
ADBDBC
。
A
D

B
C







2

例5. 如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于H，
求证：（1）△BCE≌△ACD． （2） CF=CH （3）FHBD
A
E
F
B
C
H
D






















线段的垂直平分线与角平分线专题学习
【知识总结】
1、线段的垂直平分线的性质定理：________________________
_ __________________________________________________ ____.
如右图，几何语言表述为：
∵______________________________
∴______________________________.

2、线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：_________________
____ __________________________________________________ __.
如右图，几何语言表述为：
∵______________________________
∴______________________________.
3、线段中垂线的尺规作图法：
F
ACB

3

AB


4、三角心的外心：
三角形三边的中垂线交于一点，它到__________________距离相等，这个点就叫做三角形的外 心.

5、角分线的性质定理：__________________________________
C
_________________________________________ ______________.
如右图，几何语言表述为：
∵______________________________
D
∴______________________________.

AB
6、角平分线性质定理的逆定理：___________________________
______________________________________________ __________.
如右图，几何语言表述为：
∵______________________________
∴______________________________.
7、角平分线的尺规作图法：




A

8、三角心的内心：
三角形三边的角平分线交于一点，它到____________距离相等，这个点就叫做三角形的内心.
【例题解析】
例1：如图，在△ABC中，AC=27，DE为AB的中垂线，△BCE的周 长等于50，求BC
A
的长.



D
E



BC

例2：如图，A、B是 两个仓库，直线CD是河，要在河上建码头，使码头到两个仓库的距离相等，问仓库应建在什
么地方？( 保留作图痕迹即可)

B
D
A
C



4

例3：如图，求作点P，使P到C、D的距离相等，同时到角两边的距离也相等.






C

D

A

例4：如图，已知∠ACB、∠ADB都是直角，且AC＝AD，P是AB上任意一点．
求证：CP＝DP．













例5：如图，△ABC的外角平分线∠DBC、∠ECB的平
证：点F在∠A的平分线上.
E

C

F



AB




例6：如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的中垂线，
求证：(1)∠EAD=∠EDA；
A
(2)DF∥AC；
(3)∠EAC=∠B.

F



B

5
分线相交于点F.求
D
DCE

例7：如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在 直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE
交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN，求证 ：

BMN是等边三角形。
E
D
5
4
M
3
N
2
1
B
A

例8：如图，已知在△ABC中， AB＝AC，∠A＝120°，
分别交BC、AB于点M
、
N．
求证：CM＝2BM．











题组一：
1、 如图，AP平分∠BAC，且PE⊥AB，PF⊥AC，PE=
3
，则PF=_______.
C


AB的垂直平分线MN

6

第1题 第3题 第4题
2、 在△ABC中，∠C=90º，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD： DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.

3、
如图，在Rt△AB C中，∠C=90º，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB.若AB=8，则△DEB的周长是 __________.
4、
如图，在△ABC中，OB平分∠ABC，OC平分∠ABC， MN∥BC且过点O.若AB=8，AC=7，则△AMN的周长是_________.
5、
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
求证：BE=DF.(
要求
证明过程中要用到
角平分线性质定理
)










6、
如图，已知：AD⊥OB于D，BD⊥OA于C，AD、BC相交于E，且EA=EB.求 证：EO为∠AOB的平分线.











题组二：
1、如图，0P是∠AOB的角平分线，PC⊥AO，PD⊥OB，则PD与PC的大小关系为( )
A．PC>PD B．PC=PD C．PC
7

第1题 第2题 第3题
2、如图 ，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在∠A、∠B的角平分线的交点处
3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )
A．25º B.30º C.45º D.60º
4、如图，直线L过正方形A BCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的面积是_______.
5、如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB ＝OC．














6、如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与 AC交于点E，请你判断线段AC
与BH有什么关系？并说明理由.














8

课堂练习
1．如图，在等边
△ABC
中，点
D，E
分别在 边
BC，AB
上，且
BDAE
，
AD
与
CE交于点
F
．
（1）求证：
ADCE
； （2）求
∠DFC
的度数．
A


E






B

D
F
C
2. 已知：如图，在△
ABC
中，
AB＝AC
， D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。
求证：AE＝AF。






E


B
A
F
C



D



3．如图⊿ ABC中，∠ACB=90
0
，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE于F ，过B作BD⊥BC交CF的
延长线于D.求证 ：AE=CD









9

4.
ABC
中，
ABAC，A120
，AB的中垂线交A B于D，交CA延长线于E，求证：
DE

1
BC
。
2
E
A
D
B
C





5. 如图，在ΔABC中，D在AB上，且ΔCAD和ΔCBE都是等边三角形，说明：（ 1）DE=AB，（2）∠EDB=60°
E
C
AD
B







6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，△ ADB和△ACE都是等边三角形，且∠DAE=∠DBC，求∠BAC的度数。

A
D
E
B





C

课后作业

10

一、选择题
1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°

2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶 点处各取一个外角）
都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三 角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④

3．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm

4．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形
A
F
D
B
EC< br>1
A
E
D
2

第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状

6. 如图，
△ABC
中，
AB＝AC，∠A＝36°，BD、C E
分别为
∠ABC
与∠
ACB
的角平分线，且相交于点F，
则图中的等腰三角形有（ ）
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个

7. 等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对

二、填空题
1．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．

2．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE =______．

3．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．

4. 如图，
ABC
是等边三角形，
CBD90，BDBC
，
则
1
的度数是________。



三、解答题
1. 如图，∠C＝∠D， CE＝DE．求证： ∠BAD＝∠ABC．

B
C






E



B
A
36°

F
C
D



C



A







2





1

B
3
D

11

2. 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．










3.如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．



A



B


4. 已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE



F
G
ED
C






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