衣着打扮-周杰伦副本歌词

定义
由三条边首尾相接组成的内角和为180°（一定是180°,这个是个准确的 数!）的封闭图
形叫做三角形

三角形的内角和
三角形的内角和为18 0度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；
三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角。
三角形分类
(1)按角度分
a.锐角三角形：三个角都小于90度 。并不是有一个锐角的三角形，
而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
b.直角三角形（简称Rt 三角形）：
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边
等于斜边的一半.；
⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直
角边所对的锐角等于30°（和⑶相 反）；
c.钝角三角形：有一个角大于90度(锐角三角形，钝角三角形统称斜
三角形)。
d.证明全等时可用HL方法
（2）按角分
a.锐角三角形：三个角都小于90度。
b.直角三角形：有一个角等于90度。
c.钝角三角形：有一个角大于90度。
（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）
（3）按边分
不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
解直角三角形（斜三角形特殊情况）：
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的 三个正整数。比如：3，4，
5。他们分别是3，4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等
等
三角形的性质

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的
任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合
一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方-- 勾股定理。直
角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角（三角形内角的 一边与其另一边的延长线所组成的角）
等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形最少有2个锐角。
7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这
个角的顶点和交点之间的线段。
8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系
（a^2+b^2=c^2。）
那么这个三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是360°。
11.等底等高的三角形面积相等。
12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积
之比等于其底之比。
**13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的
34。
**14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
16.全等三角形对应边相等，对应角相等。
17.三角形的重心在三条中线的交点上。
**18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等
于60度。
（包括等边三角形）三角形的边角之间的关系
（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于
180°）；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
（注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠

②：三角形的中位线是 两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三
边的一半)

**（7）三角形的角平 分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切
圆的圆心，它到各边的距离相等.
** （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的
交点，它到三个顶点的距离相等.
**（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距
离等于它到对边中 点的距离的2倍。
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12。
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。特殊
三角形
1.相似三角形
（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形
（2）相似三角形性质
相似三角形对应边成比例，对应角相等
相似三角形对应边的比叫做相似比
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比
若a、b、b、c成比例，即a:b=b:c，则称b是a和c的比例中项
（3）相似三角形的判定
【1】三边对应成比例则这两个三角形相似
【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似
【3】两角对应相等则两三角形相似
2.全等三角形
（四）、全等三角形
（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
（2）全等三角形的性质。
全等三角形对应角（边）相等。
全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面
积相等。
（3）全等三角形的判定
① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形)】
寻找全等三角形的对应角、对应边常用方法：
3.等腰三角形
等腰三角形的性质：
（1）两底角相等；

(2) 两条腰相等 ；
（3）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
等腰三角形的判定：
（1）等角对等边；
（2）两底角相等；
4.等边三角形
等边三角形的性质：
（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。
等边三角形的判定：
（1）三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三角形的面积公式
(1)S△=12ah （a是三角形的底，h是底所对应的高）
(2)S△=12acsinB＝12bcsinA＝12absinC （三个角为∠A∠B∠C，
对边分别为a,b,c，参见三角函数）
(3)S△=√［p(p-a)(p-b)(p-c)］ ［p=12(a+b+c)］（海伦—秦九韶
公式）
(4)S△=abc(4R) (R是外接圆半径)
(5)S△=12(a+b+c)r (r是内切圆半径)
(6) ........... | a b 1 |
S△=12 | c d 1 |
............| e f 1 |
［| a b 1 | ....| c d 1 | ....| e f 1 |为三阶行列式,此三角形
ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f), 这里ABC选区取最好按
逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果
不按这个规则取，可能会得到负值，但只要取绝对值就可以了，不会影响
三角形面积的大小］
(7)S△=c^2sinAsinB2sin(A+B)
(8)S正△= [（√3）4]a^2 (正三角形面积公式，a是三角形的边长)
[海伦公式(3)特殊情况]
三角形重要定理
勾股定理（毕达哥拉斯定理）
内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于
斜边长的平方。
几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB²+BC²=AC²

勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平
方，则这个三角形是直角三角形
几何语言：若△ABC满足，则∠ABC=90°。


[3]


正弦定理
内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面
积的两倍与三边边长和的乘积之比
几何语言：在△ABC中，sinAa=sinBb=sinCc=2S三角形abc
结合三角形面积公式，可以变形为asinA=bsinB=csinC=2R（R是外
接圆半径）
余弦定理
内容：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和
减 去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦
几何语言：在△ABC中，a²=b²+c²-2bc×cosA
此定理可以变形为：cosA=（b²+c²-a²）÷2bc
生活中的三角形物品
雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形
的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、
金字塔、三角内裤、机 器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥
等。
三角形全等的条件 注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等，
也不可以用“SSA”
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“SSS”。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成
“AAS”。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成
“HL”。
全等三角形的性质
全等三角形的对应角相等，对应边也相等，并且全等三角形能重合。
三角形中的线段
中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形的面积.
高 ：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作
的垂线段（顶点至对边垂足间的线段） ，叫做三角形的高。
角平分线:平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线,它到两边距离相等。(注:一个角的平分线是射线,平分线的所在直线是这个角
的对称轴)
中位线：任意两边中点的连线。
三角形相关定理
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
三边关系定理
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
勾股定理(又称毕达哥拉斯定理）
在Rt三角形ABC中，A=90度，则
AB^2+AC^2=BC^2
****梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅 劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、< br>E点，那么(AFFB)×(BDDC)×(CEEA)=1。
证明：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AFFB=AGBD , BDDC=BDDC , CEEA=DCAG。
三式相乘得：AFFB×BDDC×CEEA=AGBD×BDDC×DCAG=1
它的逆定理 也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延
长线上，且满足(AFFB)×(BD DC)×(CEEA)=1，则F、D、E三点共线。利
用这个逆定理，可以判断三点共线。
*****塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BDDC*CEEA*AFFB=1

证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ CBBD*DOOA*AEEC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ BCCD*DOOA*AFBF=1②
②÷①:即得：BDDC*CEEA*AFFB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BDDC=S△ABDS△ACD=S△BODS△COD=(S△ABD-S△BOD )(S△ACD-S△C
OD)=S△AOBS△AOC ③
同理 CEEA=S△BOC S△AOB ④ AFFB=S△AOCS△BOC ⑤
③×④×⑤得BDDC*CEEA*AFFB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB) *(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）
[(CD*ctgB）]*[(AE*ct gB)(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)
[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
*****莫利定理
将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个
交点，则这样的三个交 点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫
利正三角形。
三角函数
三 角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一
类函数。它们的本质是 任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定 义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷
数 列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它由于三角函数的
周期性，它并不具有单值函数意义 上的反函数、但具有特殊的反三角函数
(如：arcsin)，三角函数在复数中有较为重要的应用。在 物理学中，三角
函数也是常用的工具。
三角函数 种类
包含六种基本函数： 正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、
正割(sec)、余割(csc )。