英语四六级口语考试-管仲与鲍叔牙

数学解题说题

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2

1.
如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=< br>66
，高CD=3，点
E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥A B，
现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，
V（x）表示四棱锥P-ACEF的体
P
积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最
大值？
（3）当V（x）取得最大值时， 求
异面直线AC与PF所成角的余弦值。

【命题意图】考查棱锥的体积的求法，函数的极值和空间直线的关系
【参考答案】(1)已知 EF

AB,那么翻折后，显然有PE

EF,又PE

A E,从而PE

面ABC,
即PE为四棱锥的高。
S
ABC96
，
S
BEF
A
C
D
E
BF
图6
x
2
6
2
S
BDC
x

5412
V(x)=
61
x(9x
2
)
（
0x36
）
312
61
(9x
2
)< br>，所以
x(0,6)
时，
v'(x)0
，V(x)单调递增；< br>6x36
时
34
（2）
V'(x)
v'(x)0 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值
126
；
（3）过 F作MFAC交AD与M,则
BMBFBEBE
,MB2BE12
，PM=
62
，
ABBCBD
1
AB
2
MFBFPF 
6
36
BC
6
54942
，
3
在△PFM中，
cosPFM
84722

，∴ 异面直线AC与PF所成角的余弦值为17；
427


3 8

解2：
四棱锥的底面积S=
S
ABC
-
S
BEF

2
而△BEF与△BDC相似，那么
S
BEF
则S=
=
(
x
36
)
S
BDC
=
(
x< br>36
108
ABC
xS
ABC
=
)
S< br>
2
108
2
2
S
ABC
2
xS
ABC
=（1-
x
）

1

6-
2
108
2
6

3=9
6
（1-
x2
108
）
11
故四棱锥的体积V(x)=SH=

9
6
（1-
x
）


=3
6
< br>（1-
x
）(06
)
33
108108
(2) V’(x)= 3
6
-
22
6
2
x(06
)
12
令V’(x)=0得x=6
当x ∈(0，6)时，V’(x)>0,V(x)单调递增；x∈(6，3
6
)时V’(x)><0 ,V(x)单调递减；因此x=6
时， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12
6

(3)过P作PQ∥AC交AB于点Q
那么△PQF中
PF=FQ=
42

而PQ=6
2

进而求得cos∠PFQ=
7

1
故异面直线AC与PF所成角的余弦值为
1
7






4 8

2.
在数列

a
n

与

b
n
< br>中，
a
1
1
，
b
1
4
，数列< br>
a
n

的前
n
项和
S
n
满足
nS
n1
(n3)S
n
0
，
2an1
为
b
n
与
b
n1
的等比中项，
nN
*
．
（Ⅰ）求
a
2
，
b
2
的值；
（Ⅱ）求数 列

a
n

与

b
n

的通项公式；
（Ⅲ）设
T
n
(1)
a
b
1< br>(1)
a
b
2
…(1)
a
b
n< br>，nN
*
，证明
T
n
2n
2
，n≥3< br>．
12
n
本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前
n
项和公式、等比数列的概念、等比中项、
不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证 能力及分类讨论的思想方法．
2
（Ⅰ）解：由题设有
a
1
a2
4a
1
0
，
a
1
1
，解得< br>a
2
3
．由题设又有
4a
2
b
2
b
1
，
b
1
4
，
解得
b
2< br>9
．
（Ⅱ）解法一：由题设
nS
n1
(n3)S< br>n
0
，
a
1
1
，
b
1
4
，及
a
2
3
，
b
2
9
，
进一步可得
a
3
6
，
b
3
16
，
a
4
10
，
b
4
25
，猜想 < br>n(n1)
2
*
，
b
n
(n1)
，< br>nN
．
2
n(n1)
*
先证
a
n
，
nN
．
2
1(11)
当
n1< br>时，
a
1

，等式成立．当
n≥2
时用数学归纳法证 明如下：
2
2(21)
（1）当
n2
时，
a
2

，等式成立．
2
k(k1)
（2）假设当
nk
时等式成立，即
a
k

，
k≥2
．
2
a
n

由题设，
kS
k1
(k3)S
k
， ①
(k1)S
k
(k2)S
k1
． ②
①的两 边分别减去②的两边，整理得
ka
k1
(k2)a
k
，从而
a
k1

k2k2k(k1)
(k1)

(k1)1

a
k
g
．
kk22
这就 是说，当
nk1
时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式
a
n
的
n≥2
成立．
n(n1)
对任何
2
5 8

综上所述，等式
a
n

n(n1)
*
对任何的
nN
都成立．
2
2
*
再用 数学归纳法证明
b
n
(n1)
，
nN
．
2
（1）当
n1
时，
b
1
(11)
，等式成立 ．
2
（2）假设当
nk
时等式成立，即
b
k
 (k1)
，那么
2
22
4a
k
(k1)(k2)< br>2
1
．
b
k1
(k1)1
2
b
k
(k1)
2
这就是说，当
nk1
时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式
b
n
(n1)
对任何的< br>nN
*
都成立．
解法二：由题设
nS
n1
(n3)S
n
， ①
(n1)S
n
(n2)S
n1
． ②
①的两边分别减去②的两边，整理得
na
n1
(n2)a
n
，
n≥2
，所以
2a
3
4a
2
，
3a
4
5a
3
，
……
(n1)a
n
(n1)a
n1
，
n≥3
．
将以上各式左右两端分别相乘，得
(n1)!a
n

(n1)!
a
2
，
6
由（Ⅰ）并化简得
n(n1)n(n1)
，
n≥3
．
a
2
< br>62
上式对
n1
，
2
也成立．
a
n
222
由题设有
b
n1
b
n
4a
n1
，所以
b
n1
b
n
(n2)(n1)，即
b
n
b
n1
g
1
，
n< br>N
*
．
22
(n1)(n2)
令
x
n

b
n
1
xx1
x
，则，即．由
x< br>1
1
得
x
n
1
，
n≥1
．所以
nn1
n1
x
n
(n1)
2
6 8

b
n
1
．即
2
(n1)< br>b
n
(n1)
2
，
n≥1
．
*
解法三：由题设有
nS
n1
(n3)S
n
，
nN
，所以
S
2
4S
1
，
2S
3
5S
2
，
……
(n1)S
n
(n2)S
n1
，
n≥2
．
将以上各式左右两端分别相乘，得
12…(n1)S
n
45…(n2)S
1
，
化简得
n(n1)(n2)n(n1)(n2)
，
n≥3
．
a< br>1

236
由（Ⅰ），上式对
n1
，
2
也成立．所以
n(n1)
，
n≥2
．
a
n
 S
n
S
n1

2
上式对
n1
也成立 ．
S
n

2
以下同解法二，可得
b
n
 (n1)
，
n≥1
．
（Ⅲ）证明：
T
n
( 1)
1
b
1
(1)
2
b
2
…( 1)
n
b
n

aa
a
23…(1)< br>*
22
n(n1)
2
(n1)
2
．
当
n4k
，
kN
时，
T
n
2< br>2
3
2
4
2
5
2
…(4k2)
2
(4k1)
2
(4k)
2
(4k1)
2
．
注意到
(4k2)(4k1)(4k)(4k1)32k4
，故
2222
T
n
32(12…k)4k32
k(k 1)
4k

2
4k(4k4)4k(4k)
2
 34kn
2
3n
．
当
n4k1
，
kN
时，
*
T
n< br>(4k)
2
34k(4k1)
2
(n1)
2< br>3(n1)
2
(n2)
2
n
．
7 8

当
n4k2
，
kN
时，
*
T
n
(4k)
2
34k(4k1)
2
(4k)
2
3(n2)(n3)
2
n
2
3 n3
．
当
n4k3
，
kN
时，
*T
n
34k(4k1)
2
(4k1)
2
 3(n3)(n4)
2
(n2)
2
n3
．
所以，
n4k3，

n3，

2
n4k2，

n3n3，
T
n


kN
*

n4k1，

n，

n
2
3n， n4k，

从而
n≥3
时，有

13
n5，9，，13…，

n

n
2
2，

1
3

3
2， n6，10，14，…，
T
n

nn
2



n
2

1
2， n3，7，，11…，

n

3

12， n4，8，12，…．

n
总之，当
n≥3
时有


T
n
2
2
，即．
T2n
n
2
n
8 8