第二讲 关于取整计算
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第二讲 关于取整计算
在数学计算中,有时会略去某些
量的小数部分,而只需求它的整数部
分.比如,用5米长的花布做上衣,已知每件上衣需用布2米,求这
块布
料
们收水费时,为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数,而是先按用水量的
整数吨
数收费把余量推至下一个月一起收.所以数学上引进了符号〔 〕,
使我们的表述简明.
[a] 表示不超过a的最大整数,称为a的整数部分.
[a] 显然有以下性质:
①[a] 是整数;
②[x]≤x;
③x<[x]+1;
④若b≥1,则[a+b]>〔a〕;
若b≤1,则〔a+b〕≤[a]+1.
请你自己举些例子验证前三条性质.
性质④举例:a取2.7,则〔a〕=2.
若b=1.1,那么〔a+b〕=〔2.7+1.1〕=3>2=〔a〕.
若b=0.5,那么[a+b]=[2.7+0.5]=〔3.2〕=3=〔a〕+1;
若b=0.1,那么[a+b]=〔2.8〕=2<〔a〕+1.
〔a〕还有许多性质.例:若n是整数,则有:
〔a+n〕=〔a〕+n.
与〔a〕相关的是数a的小数部分,我们用符号{a}表示.
显然,a=〔a〕+{a},而且0≤{a}<1.
下面我们应用取整符号〔〕解题.
例1 判断正误:若2x+3〔x〕=1.则{x}=0.
解:不正确.
假设
{x}=0,则:[x]=x.
原式为:2〔x〕+3〔x〕=1,5[x]=1,
例2 求1~1993中可被2或3或5整除的整数的个数.
多
了,因为有些数被重复计算了.例如6及其倍数,既是2的倍数,又是
3的倍数,被计算了两次.同理,
重复计算两次的数还有10及它的倍数
和
15
步还要考虑30及它的倍数,它们既是2
、3与5的公倍数,也是6、10
与15的公倍数.开始计算了三次,后来又减去了三次,所以要补上.
解:合题意的数有:
分析 加
法运算中常用高斯求和法简算.求[x]的基本方法是根据定义
x=[x]+{x}.要善于观察特殊值
.
在0至2之间的整数只有1.
例4 求满足方程〔x〕+[2x〕=19的x的值.
分析
解这道题的关键是由x=〔x〕+{x}求2x的整数部分和小数部分.
解:因为x=[x]+{x},
则 2x=2[x]+2{x}.
〔2x〕=[2[x]+2{x}]
=2[x]+[2{x}].
因0≤{x}<1,∴0≤2{x}<2.
现在对{x}分段来讨论:
0≤2{x}<1,
这时〔2x〕=2[X],
此时无解.
这时〔2x〕=2〔x〕+1,原方程化为:3[x]+1=19,
∴ 3[x]=18,
∴ [x]=6.
说明:此题运用了适当分类讨论的数学思想.
例5 问下面一列数中共出现了多少个互不相同的数?
分析 首先要考虑由已知条件我们能推出什么?
②
可推知这一列数不等于同一个数,但也不是互不相同.
④
考虑利用公式(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
分析项的
变化.
数。
1993.
也就是k>996.
1993-997+1=997(个).
而当k≤996时,前996项的相邻两项相等或差1.因知第一项
同的数.
综上所述,这一列数共有997+498=1495个不同的数.
例6
设A=100!=12
n
·M,其中M、n均是自然数.则n最大取多少?
解:∵12=2
2
×3,
∴ A
=2
48
×
2+1
·3
48
·k=2·(12)
4
8
· k=12
48
·M,
∴
n最大取48.
习题二
1.在1~10000这一万个自然数中,有多少个数能够被5或7整除?
S=?
求:
3.求满足方程〔x〕+[2x]=18的x的值.4.k是自然数,且
习题二解答
1.解:在1~10000这一万个自然数中,能被5或7整除的数
有
∴ S=198×48=9504.
3.解:∵x=〔x〕+{x},2x=2[x]+2{x},
∴
〔2x〕=2[x]+〔2{x}〕
原方程化为3〔x〕=18,〔x〕=6,
原方程化为3〔x〕+1=18,显然此时无解.∴ 适合方程的x
为
4
.解:由已知条件推知,k的最大值=1001·1002·…·1985·1986
中因子11的个数
,也就是11的幂次数.∵
1001·1002·…·1985·1986=1986!÷1000!
而1986!中因子11的幂次数为:
1000!中因子11的幂次数为:
∴
k的最大值为197-98=99.