局部换元法解决函数问题的常见题型
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局部换元法解决函数问题的常见题型
作者：欧建敏
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011年第12期
摘 要：局部换元是换元法中的一种最常用的方法，是在已知或者未知中，某个代数式
多
次出现，而用一个变量来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．
在高中数学关
于求解某些函数的解析式、最值、值域等问题时，也经常用到局部换元法．
关键词：函数；换元法；转化；局部换元法
局部换元法
又称整体换元法，是换元法中的一种最常用方法，解题时把已知或者未知中某
个多次出现的式子看做一个
整体，用一个变量去代替它，当然有时候要通过变形才能发现．
既然局部换元是一种
换元方法，那么它的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是
等量代换，目的是变换研究对象，使
得复杂问题简单化． 比如，当朋友弄不明白你的说话意
思时，你会来一个“换句话说”，就是保留原意
而改变表述形式的意思．在处理数学问题时，往
往需要若干次的“换句话说”才能把原来的问题化难为易
、化繁为简或化生为熟．
那么在高中数学的函数问题中，有哪些题型可以用局部换元法呢？笔者简单归纳如下：
1． 函数F（f（x））=g（x）
形如F（f（x））=g（x），我们通常是
令t=f（x），再用t来表示x，得到x=h（t），最
后将t=f（x）和x=h（t）代入F（f
（x））=g（x）中就达到了换元的目的，得到F（x）的解
析式．
例1
已知函数f（x3）=lgx（x>0），求f（x）．
解：令t=x3（t>0），则x=，则f（t）=lg=lgt=lgt，故f（x）=lgx（x>0）．
再如已知f（3x+1）=4x+3，求f（4）的值．
我们只需令t=3x+1（t∈R），则x=，则f
（t）=4+3=+，故f（4）=+=7．
2． 三角函数f（sinx±cosx，sinxcosx）
形如f（sinx±cosx，sinxcosx）的三角函数，求三角式的最大值和最小值时，我们往往是令<
br>题中的sinx+cosx=t，然后两边平方，找出sinx•cosx与t的关系，最后将题中的si
nx和cosx转
化为关于t的二次函数或一次函数来研究．其中最常用的公式是平方关系式sin2x
+cos2x=1．