棋盘上的数学竞赛
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棋盘上的数学竞赛
作者：向中军
来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第05期
这里所说
的棋盘,并非都是现实生活中真实的棋盘,而是泛指各种矩形方格表.数学竞赛中有
很多与方格表有关的
问题,这类问题大多非常有趣又有一定的难度,这倒不是说解决它需要多么
高深、专门的数学知识,恰恰
相反,它用到的都是些我们司空见惯的非常浅显的道理,如：奇偶分
析、抽屉原理等.正因如此,常常使
那些习惯了套用定理、公式者感到束手无策.事实上,这类问题
主要考察你的数学机智,只要我们能摆脱
固有的思维方式的束缚,做到随机应变,很多问题三两句
话就可以干脆利索地解决了．
例1 图1表示16间陈列室,凡邻室(有公共边的方格)都有门相通,一游客从A进入,他想每室
都参
观一次且只参观一次,最后从B室出来,这种路线是否存在？
分析 表面看来,似乎
游客的愿望是可以实现的,但试验几次就会动摇最初的想法,可要证明满
足要求的路线不存在,又几乎没
有可供运算的数据,所以我们必须认真分析参观规则和16的奇偶
性,很可能它就与16的奇偶性有关．
解 这种路线不存在．
如图2,将陈列室染色,显然,游客每次只能
由白室进入黑室或由黑室进入白室.由
于第一次进入的是白室,从而他第奇数次进入的一定
是白室,而第偶数次进入的是一定是黑室,所以,如
果满足要求的线路存在,那么这位游客第16次
进入的一定是黑室,而不可能是B室,从而满足要求的线
路是不存在的．
例2 设有2n×2n的正方形方格棋盘,在其中任意3n个方格中
各放一枚棋子.求证：可以选出
n行n列,使得3n枚棋子都在这n行n列中(1990年全国初中数学
联赛试题)．
分析 要想使选出的n行n列能够满足要求,只要我们能使选出的n行
(或列)中的棋子不少于
2n就可以了,而要想使选出的n行(或列)中的棋子尽可能的多,我们必须选
出棋子数较多的n行,
所以我们只需证明这n行的棋子数不少于2n即可．
解 把各行的棋子数由多到少排列如下：p1≥p2≥p3≥…≥p2n.显然前n行的棋子总数不少于
后n行的棋子总数,只需证明前n行的棋子总数不少于2n即可．
假定前n行的棋子
总数少于2n,则必有pn≥1,从而pn+1≥1,后n行的棋子总数不超过n,从而
所有的棋子总数
少于3n,矛盾．