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三角形形状的判定

长沙市天心一中 胡同文

判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题：
1、 基本知识点：（1）等腰三角形

a=b或A=B
（2）直角三角形

a
2
b
2
c
2
或 A=
90


（3）钝角三角形

a
2
b
2
c
2
或A

90< br>

（4）锐角三角形

若a为最大 边且
a
2
b
2
c
2
或A为最大角且A

90


2、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进 行代换、转化。逐步化为
纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：
（1） 统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；
（2） 统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等；
常见的题型有：
一、 利用三角形三边的代数关系直接判断
1、 在三角形ABC中，三边a、b、c满足
a:b: c2:6:(31)
，试判断三角形的形状。
解析：
abc
则c边最大，且
c423
，
a
2
b
2
8< br>，

c
2
a
2
b
2，则最大角C为锐角，所以三角形为锐角三角形。
二、运用三角函数的关系直接判断
2 、（05北京）在
ABC
中已知
2sinAcosAsinC,
那么ABC
一定是（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、等腰直角三角形三角形 D、正三角形

C

(AB),sinCsinA(B)
2
解析：
2sinAcoBssAin(B),AsinBcosAcoBs
sinA( B)又0AB,是C,三角形的内角A-B=0,则选B

sin0
3、在△< br>ABC
中，已知
sinBsinC
＝cos
2
解析： ∵< br>sinBsinC
＝cos
2
A
2
A
2
，试 判断此三角形的类型.


1cosA
2
∴
sinBsinC
＝

∴2
sinBsinC
＝1＋< br>cos[180(BC)]

将
cos(B+C)=cosBcosC- sinBsinC
代入上式得
cosBcosC+sinBsinC=1


∴cos（
B
－
C
）＝1


1

又0＜
B
，
C
＜π，∴－π＜
B
－C
＜π

∴
B
－
C
＝0 ∴
B
＝
C

故此三角形是等腰三角形.


评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cos
A
＝2cos
2
A
2
－1的逆用.


(2)由于已知条件就是三角函 数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒
等变形
三、运用向量进行判断
→→→→
ABACABAC1
→→→
4、(06陕西卷) 已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△
→
||AC
→
|
→
||AC
→
|
2
|AB|AB
AB C为( )
A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形
C、等腰非等边三角形 D、等边三角形

AB AC



)·
解析：非零向量与满足(
=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，
|AB||AC|


ABAC
1



=
，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D． 又
cosA

3
|AB||AC|
2

 
5、在
ABC
中，设
BCa, CAb,ABc,
若
abbcca,
判断
ABC
的 形状。


2

2

2
 
2
2
解析：

abc0
，
a bc,(ab)c
，
ab2abc


2
2

2

2

2
< br>2

2
同理
bc2bca
，两式相减，得
a c2(abbc)ca
，



2

2

abbc
，

a
=c
，
ac
，同理
ab
，

abc，故
ABC
是等边三角
形。
四、运用正（余）弦定理判断
6、在△ABC中，
bcosAacosB
试判断三角形的形状
分析：三 角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的
运用上，可以考虑两种途径 ：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行
分析.


解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵
bcosAacosB

∴
b
·
2222222
bca
2bc
2
222
a
acb
2ac
222

∴
b< br>＋
c
－
a
＝
a
＋
c
－
b
∴
a
＝
b

∴
a
＝
b

故此三角形是等腰三角形.


解法二：利用正弦定理将边转化为角.


∵
bcosAacosB

又
b2RsinB,a2RsinA

2

∴
2RsinBcosA=2RsinAcosB

∴
sinAcosB-cosAsinB=0

∴sin（
A
－
B
）＝0


∵0＜A
，
B
＜π，∴－π＜
A
－
B
＜π


∴
A
－
B
＝0 即
A
＝
B

故此三角形是等腰三角形.


评述： (1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数
变形 之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用
正弦定理.要求学 生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；


(2)解法二中用到了三角函数中两 角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，
一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角 函数的商数关系，在等式
sinBcosA=sinAcosB
端同除以
sinAsi nB
得
cotAcotB
，再由0＜
A
，
B
＜π ，而得
A
＝
B
.
7、在
ABC
中，如果
lgalgc
=
lgsinBlg
的形状。
解析：由
lg algc
=
lgsinBlg2
，得
lgsBinlg
 lg
2
2
，且角
B
为锐角，判断此三角形
2
2，
sinB
2
2
，又
B
是锐角，

B45

，又
lgalgc
lg2
，
即
lg
a
c
lg
2
2
,
a
c

2
2
,

由正弦定理，得：

sinA
sinC


2
2
，


2sinC 2sinA,

ABC180

，
A180CB1 8045C135C
，


2sinC2sin(135C)< br>，

sinCsinCcosC,
cosC0,C90
故此三角形是等腰直角三角形。
巩固练习：在
ABC
中，若
tanA: tanBa:b,
试判断
ABC
的形状。
sinAcosB
c osAsinB
sinA
sinB
2
2
22
解一：由已知条 件及正弦定理可得

，
A,B
为三角形的内角，
sinA0 ,sinB0
，
sin2Asin2B,2A2B
或
2A

2B
，
AB
或
AB

2
，所以
ABC
为等腰三角形或直角三角形。
3

sinA
cosBsin
sinA
解二：由已 知条件及正弦定理可得
cosA

，即

2
sinB
cosAsin
sinB
cosB
2
A
B
，由正弦定理和 余弦
acb
222
定理可得
a
2ac
=，整理，得a
4
a
2
c
2
b
2
c
2
b
4
0
，即
(a
2
b
2
)


222
bca
b
2bc
(abc) 0
，
ab或abc0
，

ab或abc

ABC
为等腰三角形或直角三角形。
222
22222222
小结：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，
再进行三角恒等变 换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三
条边之间的关系式。两种转化主 要应用正弦定理和余弦定理。
本题的两种解法，就是通过两种不同的转化来实现的。
求解有关三角形的形状问题时，除了要掌握正、余弦定理并能熟练运用它们外，还应掌握：
（1） 三角形的内角和定理A+B+C=

，大边对大角；
（2）
sin(AB)sinC,sin
（3） 三角形面积公式
S
1
2
AB
2
cos
1
2
C
2
等；
1
2
casinB
。
absinCbcsinA
4