五年级奥数-数的整除
崔成国表情-枯萎
专题一 数的整除
数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学
中的重要课题，也是小
学数学竞赛命题内容之一。
一、基本概念和知识
1.整除
例如：15÷3=5，63÷7=9
一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，
即整数a除以整除b（b不
等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说
，a
能被b整除（或者说b能整除a）
7是63的约数。
2.数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.
即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,
那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征
①
能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.
②
能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
③
能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
④
能被5整除的数的特征：个位是0或5。
⑤
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥ 能被11整除的数的特
征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的
数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。
⑦ 能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的
数字所组成的
数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例题1.
四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数）
解析：已知四位数3AA1正好
是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9
的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试
之。
练习（1） 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,
方格内应填_____。（小五奥数）
练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。
例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。
解析：先求出1~1
00这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,
以上二和之差就是所有不能被3整除
的数的和。
(1+2+3+„+100)-（3+6+9+12+„+99） =(1+100)<
br>
2
100-(3+99)
2
33
=5050-1683=3367
练习
所有能被3整除的两位数的和是______。
例题3.
能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。
练习
能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。
例题4.
173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,
所得到的3个四位数,依次
可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个
数字的和是多少？
答案：∵能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，
1+7+3+□=11+□ ∴□内只能填7。
∵能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减
去十位与千位的数字和
所得的差能被11整除。∴ (7+□)-(1+3)=3+□ 能被11整除,
∴□内只能填8。
∵能被6整除的自然数是偶数,并且数字和能被3整除,而1+7+3+□=11+□,
∴□内只能填4。 所以,所填三个数字之和是7+8+4=19。
练习
在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2
3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
2、约数和倍数
例如：15÷3=5，63÷7=9
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数
例题1．28的所有约数之和是_____。
例题2.
用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法。
2 解析：因
为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分
别是105和
1,35和3,21与5,15与7。所以能拼成4种不同的长方形。
例题3. 一个两位
数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数
字的积是24.这个两位数是_____
。
例题4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树
667棵
,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人。
答案：28。解析：
因为667=23
29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约
数:1,23
,29,667.显然,每人种667棵是不可能的。
2答案：1。
解析：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是1
1的倍数,那么这
个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+
9
应等于12,□内应填12-2-9=1
3、990。
4、答案：99960。
先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和
之差
就是所有不能被3整除的数的和。
(1+2+3+„+100)-（3+6+9+12+„+99）
=(1+100)
2
100-(3+99)
2
33 =5050-1683=3367 。
5、所以,所填三个数字之和是7+8+4=19。
5、答案：1665。
解析：能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位
数如下:
12,15,18,21,„，96，99这一列数共30个数，其和为
12+15+18+„+96+99 =(12+99)
30
2
=1665 。
6、答案：96910或46915。
解析：五位数
A691B
能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除。
以B=0或5。当B=0时,
A6910
能被11整除,所以(A+9+0)-(6+
1)=A+2能被11整
除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4。所以,所求的五位数是96
910或46915。
7[注]小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被2,3,5
,11整除的条件,这个七位数必
定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的最小公倍数是
2
3
5
11=330。这
样,199200
0
330=6036„120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即
1992000+(330-120)=1992210。
1、56
3 答案：
64。解析：因为28=2
2
7,所以28的约数有6个:1,2,4,
7,14,28。在
数字0,1,2,„，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=
2，8-3=5。
故符合题目