particularly-幼儿园卫生保健工作总结

四年级奥数：数的整除性

这一讲主要讲能被
11
整除的数的特征。

一个数从右边数起，第
1
，
3
，
5
，
…
位称为奇数位，第
2< br>，
4
，
6
，
…
位称为
偶数位。也就是说，个 位、百位、万位
……
是奇数位，十位、千位、十万位
……
是偶数位。例如9
位数
768325419
中，奇数位与偶数位如下图所示：


能被
11
整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和
的差（大数减小数）如果能被
11
整除，那么这个数就能被
11
整除。
例
1

判断七位数
1839673
能否被
11
整除。

分 析与解：奇数位上的数字之和为
1
＋
3
＋
6
＋
3= 13
，偶数位上的数字之和为
8
＋
9
＋
7=24
， 因为
24-13=11
能被
11
整除，所以
1839673
能被
11
整除。

根据能被
11
整除的数的特征，也能求出一个数除以
11
的余数。

一个数除以
11
的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之
和所得的差除以
11
的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字
之和 ，那么应在奇数位上的数字之和上再增加
11
的整数倍，使其大于偶数位上
的数字之和 。

例
2
求下列各数除以
11
的余数：

（
1
）
41873
；

（
2
）
296738185
。

11
分 析与解：（
1
）
[
（
4
＋
8
＋
3
）－（
1
＋
7
）
]÷
11
＝
0… …7
，


=7÷
所以
41873
除以
11
的余数是
7
。

（
2
）奇数位之和为
2
＋
6
＋
3
＋
1
＋
5=17
，偶数位之和为
9
＋
7
＋
8
＋
8
＝
32
。因为
17
＜
32
，所以应给
17
增加
11
的整数倍，使其大于
32
。

2
）
-32
＝
7
，

（
17+11×
所以
296738185
除以
11
的余数是
7
。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时 ，为了计算方
便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以
11
，所得余 数与
11
11
＝
1……4
，所求余数是
11-4=7
。

的差即为所求。如上题（
2
）中，（
32-17
）< br>÷
例
3

求除以
11
的余数。

分 析与解：奇数位是
101
个
1
，偶数位是
100
个
9
。

100-1×101
）
÷11
（
9×

=799÷11=72……7
，


11-7=4
，所求余数是
4
。

例
3
还有其它简捷解法，例如每个
“19”
奇偶数位上的数字相差
9-1
＝8
，

奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差
8×99=8×9×1 1
，能被
11
整除。所以例
3
相当于求最后三位数
191< br>除以
11
的余数。

例
4

用
3< br>，
3
，
7
，
7
四个数码能排出哪些能被
11
整除的四位数？

解：只要奇数位和偶数位上各有一个
3
和一个7
即可。有
3377
，
3773
，
7337
，
7733
。

例
5

用
1
～9
九个数码组成能被
11
整除的没有重复数字的最大九位数。

分析与解：最大的没有重复数字的九位数是
987654321
，由

（
9
＋
7
＋
5
＋
3
＋
1
）
-
（
8
＋
6
＋
4
＋
2
）＝
5
知，
987654321
不能被
11整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整
低位数字，只要使奇数位的数字和增加
3< br>（偶数位的数字和自然就减少
3
），奇
2=11
，这个数就能被
11
数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为
5
＋
3×
整除 。调整
“4321”
，只要
4
调到奇数位，
1
调到偶数位， 奇数位就比原来增大
3
，
就可达到目的。此时，
4
，
3在奇数位，
2
，
1
在偶数位，后四位最大是
2413
。 所
求数为
987652413
。

例
6
六位数能被
99
整除，求
A
和
B
。
11
，且
9
与
11
互质，所以六位数既能被
9
整除又能被
11
整分析与解：由
99=9×
除。因为六位数能被
9< br>整除，所以


A+2+8+7+5+B
＝
22+A+B

应能被
9
整除，由此推知
A< br>＋
B
＝
5
或
14
。又因为六位数能被
11< br>整除，所
以

（
A
＋
8
＋
5< br>）－（
2
＋
7
＋
B
）

＝
A-B
＋
4
应能被
11
整除，即


A-B+4=0
或
A-B+4=11
。

化简得
B-A
＝
4
或
A-B
＝
7
。

因为
A+B
与
A-B
同奇同偶，所以有


在（
1
）中，
A≤5
与
A≥7
不能同时满足， 所以无解。

在（
2
）中，上、下两式相加，得

（
B
＋
A
）＋（
B-A
）＝
14
＋
4
，


2B
＝
18
，


B=9
。

将
B=9
代入
A
＋
B=14
，得
A
＝
5
。

所以，
A=5
，
B
＝
9
。


练习
6


1
．为使五位数
6□295
能被
11
整除，
□
内应当填几？


2
．用
1
，
2
，
3
，
4
四个数码能排出哪些 能被
11
整除的没有重复数字的四位
数？


3
．求能被
11
整除的最大的没有重复数字的五位数。


4
．求下列各数除以
11
的余数：

（
1
）
2485
；

（
2
）
63582
；

（
3
）
987654321
。


5
．求

6
．六位数
7
．七位数
除以
11
的余数。

5A634B
能被
33
整除，求
A+B
。

3A8629B
是
88
的倍数，求
A
和
B
。

答案

练习
6


1.4
。


2.1243
，
1342
，
2134
，
2431
，
3124
，
3421，
4213
，
4312
。


3.98736
。


4.
（
1
）
10
；

（
2
）
2
；

（
3
）
5
。


5.2
。


6.12
。提示：由能被
11整除推知
A+B=1
或
12
，再由能被
3
整除推知A+B=12
。


7.A=4
，
B=6
。 提示：由能被
8
整除，推知
B=6
；再由能被
11
整除，推
知
A=4
。