e218-五猖会

2021年1月16日发(作者：曾鲁)
平行四边形的性质及判定

（典型例题）

1
．平行四边形及其性质


例
1
如图，
O
是

ABCD
对角线的交点．
△
OBC
的周长为
59
，
BD=38
，
AC=24
， 则
AD=____
若△
OBC
与△
OAB
的周长之差为15
，则
AB=
ABCD
的周长
=____.
分析：

AC
，可得
BC
，再由平行四边形对边相等知AD=BC
，由平行四
边形的对角线互相平分，
可知△
OBC
与 △
OAB
的周长之差就为
BC
与
AB
之差，可得
A B
，进而可得
ABCD
的周长．


对角线互相平分
)
∴△
OBC
的周长
=OB
＋
OC
＋
EC

=19
＋
12
＋
BC=59
∴
BC=28
ABCD
中，

∴
BC=AD(
平行四边形对边相等
)
∴
AD=28
△
OBC
的周长
-
△
OAB
的周长

=(OB
＋
OC
＋
BC)-(OB
＋
OA+AB)
=BC-AB=15
∴
AB=13
∴
ABCD
的周长

=AB
＋
BC
＋
CD
＋
AD
=2(AB
＋
BC)
=2(13
＋
28)
=82
说明：
本题条件中的
“
△
OBC
占△OAB
的周长之差为
15”
，
用符
号语言表示出来后，便容易发 现其实质，即
BC
与
AB
之差是
15
．

例
2
判断题

(1)
两条对边平行的四边形叫做平行四边形．

(


)
(2)
平行四边形的两角相等．

(



)
(3)
平行四边形的两条对角线相等．

(



)
(4)
平行四边形的两条对角线互相平分．

(




)
(5)
两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂 线段叫
做两条平行线的距离．

(




)
(6)
平行四边形的邻角互补．

(





)
分析：根据平行四边形的定义和性质判断．

解：

(1)
错


“
两组对边分别平行 的四边形叫做平行四边形
”
是两组对边，
而不
是两条对边．如图四边形
ABCD
，两条对边
AD
∥
BC
．显然四边形
ABCD< br>不是平行四边形．

(2)
错

平行四边形的性定理
1
，
“
平行四边形的对角相等．
”
对角是指四
边形中设有公 共边的两个角，也就是相对的两个角．

(3)
错

平行四边形的性 质定理
3
，
“
平行四边形的对角线互相平分．
”
一
般地不相等．
(
矩形的两条对角线相等
)
．

(4)
对

根据平行四边形的性质定理
3
可判断是正确的．

(5)
错

线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做
这两条平行线的距离．

(6)
对

由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可
知．平行四边形的邻角互补．



例
3
．如图
1
，在
ABCD
中，
E
、
F
是
AC上的两点．且
AE=CF
．求证：
ED
∥
BF
．


分析：
欲址
DE
∥
BF
，
只需∠< br>DEC=
∠
AFB,
转证
=
∠
ABF
≌△< br>CDF,
因
ABCD
，
则有
AB
CD
，从而有∠
BAC=
∠
CDA
．
再由
AF=CF
得
AF=CE
．满足了三角形全等的条件．

证明：

∵
AE=CF
AE+EF=CF+EF
∴
AF=CE
在
ABCD
中

AB
∥
CD(
平行四边形的对边平行
)
∴∠
BAC=
∠
DCA(
两直线平行内错角相等
)
AB=CD(
平行四边形的对边也相等
)
∴△
ABF
≌△
CDE(SAS)
∴∠
AFB=
∠
DCE
∴
ED
∥
BF(
内错角相等两直线平行
)
说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处
理．



例
4
如图已知在△
ABC
中
DE
∥< br>BC
∥
FG
，若
BD=AF
、求证；
DE
＋
FG=BC
．


分析
1
：要证
DE＋
FG=DC
由于它们是平行线，由平行四边形
定义和性质．
考虑将DE
平移列
BC
上为此，
过
E(
或
D)
作
EH
∥
AB(
或
DM
∥
AC)
，得到
DE=BH
、
只需证
HC=FG
，
因
AF =BD=EH
，
∠
CEH=
∠
A.
∠
AGF
＝∠
C
所以△
AFG
≌∠
EHC
．此方法称为截长法．< br>
分析
2
：
过
C
点作
CK
∥
AB
交
DE
的延长线于
K
，
只需证
FG=EK< br>，
转证△
AFG
≌△
CKE
．


证法
1
：

过
E
作
EH
∥
AB
交于
H
∵
DE
∥
BC
∴四边形
DBHE
是平行四边形
(
平行四边形定义
)
∴
DB=EH
DE=BH(
平行四边形对边也相等
)
又
BD=AF
∴
AF=EH
∵
BC
∥
FG
∴∠
AGF=
∠
C(
两直线平行同位角相等
)
同理

∠
A=
∠
CEH
∴△
AFG
≌△
EHC(AAS)
∴
FG=HC
∴
BC=BH+HC=DE=FG
即
CE+FG=BD

证法
2
：

.
过
C
作
CK∥
AB
交
DE
的延长线于
K.
∵
DE
∥
BC
∴四边形
DBCK
是平行四边形
(
平行四边形定义
)
∴
CK=BD DK=BC
(
平行四边形对边相等
)
又
BD=AF
∴
AF=CK
∵
CK
∥
AB
∴∠
A=
∠
ECK(
两直线平行内错角相等
)
∵
BC
∥
FG
∴∠
AGF=
∠
AED(
两直线平行同位角相等
)
又∠
CEK=
∠
AED(
对顶角相等
)
∴∠
AGF=
∠
CEK
∴△
AFG
≌△
CKE(AAS)
FG=EK
DE+EK=BC
∴
DE+FG=BC


例
5
如图
ABCD
中，∠
ABC=3
∠
A
，点
E
在
CD
上
,CE=1
，
EF⊥
CD
交
CB
延长线于
F
，若
AD=1
，求
BF
的长．


分析：

根据平行四边形对 角相等，
邻角互补，
可得∠
C=
∠
F=45°
进而由勾股定 理求出
CF
，
再根据平行四边形对边相等，
得
BF
的长．< br>
解：

在
ABCD
中，
AD
∥
BC
∴∠
A＋∠
ABC=180°
(
两直线平行同旁内角互补
)
∵∠
ABC=3
∠
A
∴∠
A=45°
，∠
ABC=135°

∴∠
C=
∠
A=45°
(
平行四边形的对角相等
)
∴
EF
⊥
CD
∴∠
F=45°
(
直角三角形两锐角互余
)
∴
EF=CE=1

∵
AD=BC=1



例
6
如图
1
，
AB
长为
6c m
，求
ABCD
中，
对角线
AC
长为
10cm，
∠
CAB=30°
，
ABCD
的面积．


解：

过点
C
作
CH
⊥
AB
，交
AB
的延长线于点
H
．
(
图
2)
∵∠
CAB=30°


∴
S
答：
ABC D
＝
AB·
CH
＝
6×
5=30(cm2)
ABCD
的面积为
30cm2
．

=
底
×
高，题设中已知
AB
的长，须求出与底
AB
说明：

由于
相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点
D
的高，故选择
过点
C
作高．



例
7
如图，
E
、
F
分别在
BD
ABCD
的边
CD
、
BC
上，且
EF
∥

求证：
S
△
ACE=S
△
ABF
分析：

运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等
底同高的三角形．


证明：将
EF
向两边延长分别交
AD
、
AB
的延长 线于
G
、
H.
ABCD DE
∥
AB
∴∠
DEG=
∠
BHF(
两直线平行同位角相等
)
∠
GDE=
∠
DAB(
同上
)
AD
∥
BC
∴∠
DAB=
∠
FBH(
同上
)
∴∠
GDE=
∠
FBH
∵
DE
∥
BH
，
DB
∥
EH
∴四边形
BHED
是平行四边形

∵
DE=BH(
平行四边形对边相等
)
∴△
GDE
≌△
FBH(ASA)
∴
S
△
GDE=S
△
FBH(
全等三角形面积相等
)
∴
GE=FH(
全等三角形对应边相等
)
∴
S
△
ACE=S
△
AFH(
等底同高的三角形面积相等
)
∴
S
△
ADE
＝
S
△
ABF
说 明：
平行四边形的面积等于它的底和高的积．
即
S
=a·
ha
．
a
可以是平行四边形的任何一边，
h
必须是
a
边与其对 边的距离．即
对应的高，为了区别，可以把高记成
ha
，表明它所对应的底是
a
．



例
8
如图，在
ABCD中，
BE
平分∠
B
交
CD
于点
E
，< br>DF
平分∠
D
交
AB
于点
F
，求证
BF=DE
．



证明：

∵四边形
ABCD
是平行四边形

∴
DE
∥
FB
，∠
ABC=
∠
ADC(
平行四边形的对边也平行对角相等
)
∴∠
1=
∠
3(
两直线平行内错角相等
)

∴∠
1=
∠
2
∴∠
2=
∠
3
∴
DF
∥
BE(
同位角相等两条直线平行
)
∴四边形
BEDF
为平行四边形
(
平行四边形定义
)
∴
BF=DE
．
(
平行四边形的对边相等
)
说明：

此例也可通过△
ADF
≌△
CBE
来证明 ，
但不如上面的方
法简捷．



例
9
如图，
CD
的
Rt
△
ABC
斜边
AB
上的 高，
AE
平分∠
BAC
交
CD
于
E
，EF
∥
AB
，交
BC
于点
F
，求证
C E=BF
．


分析

作
EG
∥
BC
，交
AB
于
G
，易得
EG=BF
．再由基本图 ，
可得
EG=EC
，从而得出结论．


证明：

过
E
点作
EG
∥
BC
交
AB
于< br>G
点．

∴∠
EGA=
∠
B
∵
EF
∥
AB
∴
EG=BF
∵
CD< br>为
Rt
△
ABC
斜边
AB
上的高

∴∠
BAC
＋∠
B=90°
．∠
BAC
＋∠
ACD
＝
90°

∴∠
B=
∠
ACD
∴∠
ACD=
∠
EGA
∵
AE
平分∠
BAC
∴∠
1=
∠
2
又
AE=AE
∴△
AGE
≌△
ACE(AAS)
∴
CE=EG
∴
CE=BF
．

说明：

(1)
在上述证法中，
“
平移
”
起着把条件集中的作用．< br>AE
．
(
连
F
点作
FG
∥
AE，交
AB
于
G)
本题也可
(2)
以设法平移


例
10
如图，已知
ABCD
的周长为
32cm
，
AB
∶
BC=5
∶
3
，
AE
⊥
BC
于
E
，
AF
⊥
DC
于
F，∠
EAF=2
∠
C
，求
AE
和
AF
的长．


分析：

从化简条件开始


①由
长．

ABCD
的周长及两邻边的比，
不难得到平行四边形的边

②∠
EAF=2
∠
C
告诉我们什么？


这样，立即可以看出△
ADF
、△
AEB
都是有一个锐角为
30°< br>的
直角三角形．

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