数列通项公式求解及用放缩法和数学归纳法证明数
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2021年01月19日 19:24
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数列通项公式求解及用放缩法
和数学归纳法证明数列不等式
递推式求数列通项公式常见类型及解法
一、
型
例
1.
在数列
{a
n
}
中，已知
，求通项公式。
解：已知递推式化为
，即
，
所以
。
将以上
个式子相加，得
，
所以
二、
型
。
例
2.
求数列
的通项公式。
解：当
，
即
当
，所以
。
三、
例
3.
在 数列
解法
1
：
设
于是，
得
比数列。
所以有
型
中，
，
对比
，求
。
，
得
。
，以
3
为公比的等
。
，
因此，
数列
是以
解法
2
：又已知递推式，得上述两式相减，
得
为首项，以
3
为公比的等比数列。
所以
四、
型
，所以
。
例
4.
设数列
，求通项公式
解：设
，则
，
。
，
所以
，
即
。
设
这时，所以
。
由于
{b
n
}
是以
3
为首项，以
为公比的等比数列，所以有
。
由此得：
。
说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与 比较，把问题
转化成基本数列（等差或等比数列）。
五、
型
例
5.
已知
b
≠
0
，
b
≠±< br>1
，
写出用
n
和
b
表示
a
n
的通项公式。
，
解：将已知递推式两边乘以
设
，得
，又
，仿类型三，可解得
。
，于是，原递推式化为
，故
说明： 对于递推式
入辅助数列
六、
型
，可两边除以
，得
，引
，然后可归结为类型三。
例
6.
已知数列
，求
。
解：在
两边减去
。
所以
为首项，以
。
所以
令上式
，再把这
个等式累加，得