有关圆锥展开图计算的两个重要公式
巡山小妖精
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2021年01月20日 05:02
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有关圆锥展开图计算的两个重要公式
大家在解决有关圆锥侧面 展开图的计算问题时，通常利用了两个
等量关系，第一个是
=
×底面圆周长
(
或侧面的弧长
)
×母线长，
第二个就是侧面的弧长等于底面的周长，
但每次都直接利用这两个等
量关系来计算还是很麻烦，
特别是同学们往往容易忘记乘以系数，< br>基
于此我们不妨把这两个等量关系进一步推导，
得出实质性的乘积、
比
例公式。
我相信同学们在理解并运用这两个公式后，
解题的思路可以
变得清晰，速度和 准确度也可以得到很大的提高。
一、推导公式：
1.
乘积式：侧面积：
全面积：
2.
比例式：弧长
∵
等于⊙
O1
的周长
∴
又∵
即：
这两组公式的优点是避开了求底面圆周长，而直接建立了
S
侧
与< br>R
、
r
的乘积关系，以及圆心角
n
与
R
、< br>r
的比例关系，减少
了许多中间过程，特别是比例式给我们的计算带来了极大的便利。< br>
二、运用乘积式：
类型一：顺向使用公式
【问
题】（
2009
济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作
了一个圆锥 形漏斗模型．如图所示，它的底面半径
则这个圆锥漏斗的侧面积是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
高
分
析：
从刚才推导出的
可以看出，
只与圆锥的母线长度以及底面圆半径有关，
若题目没有直接给出母线长度以及底面圆半
径，往往还 可以利用
R
、
r
和
h
组成的直角三角形，求出未知的
R
或
r
来，从而计算出侧面积。
结
论：要求
,
就求
R
、
r
。
高
可以求出母线
BC
为
，选
C
。
解
答：
此题由底面半径
10
cm
，即
R =10
cm
，
r=6
cm
，再由
【练
习】
1.
（
2009
铁岭）小丽想用一张半径为
5
cm
的扇形纸片围成一个底面
半
径
为
4
cm< br>的
圆
锥
，
接
缝
忽
略
不
计< br>，
则
扇
形
纸
片
的
面
积
是< br>
cm
2
．（结果用
表示）
20
< br>2.
（
2009
南昌）一个圆锥的底面直径是
80
cm
,
母线长是
90
cm
,
则它的
侧面积是
____
。
3600
cm
2
3.
（
2008
成都）小红同学要用纸板制作一个高
4
cm
，底面周长是
6
π
cm
的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积
是（
）
B
A
．
12
π
cm
2
B
．
15
π
cm
2
C
．
18
π
cm
2
D
．
24
π
cm
2
类型二：逆向使用公式
，底面半径为
3
，
【问
题】（
2009
义乌）如图，圆锥的侧面积为
则圆锥的高
AO
为
.
分
析：从刚才推导出的
可以看出，已知
、< br>R
、
r
中任
意两个量可以求出余下未知的量，若题目要求求出圆锥的高
h
，往往
还可以利用
R
、
r
和
h
组成的直角三角形，从而求出
解
答：此题由
出高
AO= 4
。
【练
习】
（
2009
营口）
小红用一个半径为
36cm
，
面积为
324
cm2
的扇形纸板，
制作一个圆锥形
玩
具
帽
（< br>接
缝
的
重
合
部
分
忽
略
不< br>计
）
，
则
帽
子
的
底
面
半< br>径
为
cm
．
9
三、运用比例式：
=
。
，
r=3
，可 以求出
R=5
，再根据勾股定理求
类型一：公式
【问
< br>题】（
2009
抚顺）如图所示，已知圆锥的高
AO
为
8cm
，底面
圆的直径
BC
长为
12
cm
，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为
度．