倍角公式和半角公式一
余年寄山水
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2021年01月20日 14:40
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倍角公式和半角公式
一
目标认知：
学习目标：
1
．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式；
2
．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公
式）
；
3
．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用．
学习重点：
倍角公式及其变形．
学习难点：
倍半角公式变形及应用．
内容解析：
1
．倍角公式
在和角公式中令
=
，即得二倍角公式：
；
；
注意：
．
（
1
）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二
倍角与单角的三
角函数之间的互化问题．
（
2
）
“ 倍角”
的意义是相对的，
不局限于
等，也为
与
的形式．
例如
与
，
与
引出半角作准备．
（
3
）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式．
（
4
）二倍角的正切公式成立的条件：
（
5< br>）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）
．
．
（
6
）公式的逆用及变形：
．
2
．半角公式
由倍角公式变形得到：
；
；
；
前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式：
；
；
；
其中正负号由
的象限确定．
借助倍角公式还可得到另一个半角公式：
不必考虑正负．
，好处在于可以
3
．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）
（
1
）积化和差：
（
2
）和差化积：
本周典型例题：
1
．已知
，求
sin2a
，
cos2a
，
tan2a
的值．
解析：∵
∴
∴
sin2a = 2sinacosa =
cos2a =
tan2a =
2
．已知
，求
．
解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论．
3
．求值：
=
．
（
1
）
；
（
2
）
；
（
3
）
；
（
4
）
；
（
5
）
cos20
°
cos40
°
cos80
°；
解析：
（
1
）
=
；
（
2
）
＝
；
（
3
）
＝
；
（
4
）
＝
；
（
5
）
cos20
°
cos40
°cos80
°
=
注意：
关注（
5
）的结构特点．