小学奥数同余问题
玛丽莲梦兔
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2021年01月23日 12:35
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-经典格言
小
学
奥
数
同
余
问
题
Prepared on 21 November 2021
同
余
问
题
（
一
）
在平时解题中 ，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是
7
时
30
分， 再过
52
小时是几时几分？我们知道一天是
24
小时，
，也就是说< br>52
小时里包含两个整天再
加上
4
小时，这样就在
7
时
30
分的基础上加上
4
小时，就是
11
时
30< br>分。很明显这个问题的着眼点
是放在余数上了。
1.
同余的表达式和特殊符号
37
和
44
同除以
7
，余数都是
2
，把除数
7
称作“模
7”，
37
、
44
对于模
7
同余。
记作：
（
mod7
）
“
”读作同余。
一般地，两个整数
a
和
b
，除以大于
1
的自然数< br>m
所得的余数相同，就称
a
、
b
对于模
m
同 余，记
作：
2.
同余的性质
（
1
）
（< br>2
）若
（
3
）若
（
4
）若
性）
（称为同余的可乘性）
（
5
）若
如果
那么
（
的差一定能被
k
整除）
，则
，
n
为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
，那么
，
，
，则
，则
（这称作同余的对称性）
（这称为同余的传递性）
（
）（这称为同余的可加性、可减
这是为什么呢？
k
也就是
的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例
1 .
用
412
、
133
和
257
除以一个相同的自然 数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假 设这个自然数是
a
，因为
412
、
133
和
257
除以
a
所得的余数相同，所以
，
，
说明
a
是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。