【精品整理】2020年初二数学上册重点知识点精编
余年寄山水
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2021年01月24日 22:04
最佳经验
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岁寒三友的诗句-七星瓢虫
第一部分
全等三角形
一、全等三角形
1
、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。< br>一个三角形经过平移、翻折、旋转
可以得到它的全等形。
2
、全等三角形有哪些性质（理解熟悉，并能熟练应用）
（
1
）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（
2
）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（
3
）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3
、全等三角形的判定（理解熟悉，并能熟练应用）
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“
SSS
”
)
边角边
:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“
SAS
”< br>)
角边角
:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“
ASA
”
)
角角边
:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角 形全等（可简写成“
AAS
”
)
斜边
.
直角边：斜边和一 条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“
HL
”
)
方法指引< br>4
、证明两个三角形全等的基本思路：（归纳概括，课梳理解题思路）
证明两 个三角形全等的基本思路：
（
1
）：已知两边
----
找第三边(
SSS
)
找夹角
（
SAS
)
找是否有直角< br>(
HL
)
找这边的另一个邻角
(
ASA
)
已 知一边和它的邻角
(2):
已知一边一角
---
已知一边和它的对角
找这个角的另一个边
(
SAS)
找这边的对角
(
AAS
)< br>找一角
(
AAS
)
已知角是直角，找一边
(
HL)
找两角的夹边
(ASA)
找夹边外的任意边
(
AAS
)
(3):
已知两角
---
练习
二、角的平分线
：
1
、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等
.
2
、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（
1):
要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与
“对角”的不同含义；
（
2
）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（
3
）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形 不一
定全等；
（
4
）：时刻注意图形中的隐含条件，如
“公共角”
、“公共边”、“对顶角”
二、经典例题：
例
1
、
如图，
已知在
Rt
△
ABC
中，
∠
ACB
=90
°，
AC
=
BC
，
D
是
AB
的中点，
E
、
F
分别在
AC
、
BC
上，且
ED
⊥
FD
．求证：
．
分析：
由
D
点为
AB
的中点可知△< br>ACD
，△
BCD
的面积都等于△
ABC
的面积的一半．因此 可
采用割补法证明．
证明：
连结
CD
．
∵在
Rt
△
ABC
中，
∠
ACB=90
°，
AC=BC
，
D
为
AB
的中点，
∴△
ACD
≌△
BCD
∴∠
ADC=
∠
BDC
且∠
A
＝∠
B
＝
45
°
又∵∠
ADC
＋∠
BDC
＝
180
°
∴∠
ADC=
∠
BDC=90
°
∴∠
BCD
＝
90
°－∠
B
＝
45
°＝∠
B
∴∠
ACD
＝90
°－∠
A
＝
45
°＝∠
A
∴
AD=BD=CD
，
又∵
ED< br>⊥
FD
，∴∠
EDC
＋∠
CDF=90
°
∵∠
ADE
＋∠
EDC=90
°
∴∠
ADE=
∠
CDF
．
在△
ADE
和△
CDF
中，
∴△
ADE
≌△
CDF
∴
S
△
ADE
=S
△
CDF
同理可证：
S
△
CDE
=S
△
BDF
∴
．
例
2
、在△
ABC
中，请证明：
（
1
）若
AD
为角平分线，则
（
2
）设
D
是
BC
上一点，连接
AD
，若
分析：
如图，
，则
AD
为角平分线．
（
1
）由三角形的面积及底边联想到作三角形的高，作
DE
⊥
AB
于
E
，作
DF
⊥
AC
于
F
，
则
DE< br>=
DF
，即结论①成立；②由①结合△
ABD
与△
ACD是共高三角形，即可得到结论．
（
2
）逆用上述的思路即可证明结论成立．
证明：
（
1
）①如图，过
D
作
DE⊥
AB
于
E
，作
DF
⊥
AC
于
F
．
∵
AD
为角平分线，∴
DE
=
DF
∴
．
②如图，过< br>A
作
AH
⊥
BC
于
H
，
则
S
△
ABD
=
BD·
AH
，
S
△
ACD
=
CD
·
AH
，
∴
结合①有
（
2
）作
DE
⊥
AB
于
E
，
DF
⊥
AC
于
F
．
∵
∴
DE
︰
DF
=1
，即
DE
=
DF
．
∴
AD
为△
ABC
的角平分线．
例
3< br>、
如图，
已知在
Rt
△
ABC
中，
∠
ACB
=90
°，
AC
=
BC
，
D
是< br>AB
的中点，
E
、
F
分别在
AC
、
BC
上，且
ED
⊥
FD
．求证：
．
< br>分析：
由
D
点为
AB
的中点可知△
ACD
， △
BCD
的面积都等于△
ABC
的面积的一半．因此可
采用割补法证 明．
证明：
连结
CD
．
∵在
Rt
△
ABC
中，
∠
ACB=90
°，
AC=BC
，
D
为
AB
的中点，
∴△
ACD
≌△
BCD
∴∠
ADC=
∠
BDC
且∠
A
＝∠
B
＝
45
°
又∵∠
ADC
＋∠
BDC
＝
180
°
∴∠
ADC=
∠
BDC=90
°
∴∠
BCD
＝
90
°－∠
B
＝
45
°＝∠
B
∴∠
ACD
＝90
°－∠
A
＝
45
°＝∠
A
∴
AD=BD=CD
，
又∵
ED< br>⊥
FD
，∴∠
EDC
＋∠
CDF=90
°
∵∠
ADE
＋∠
EDC=90
°
∴∠
ADE=
∠
CDF
．
在△
ADE
和△
CDF
中，
∴△
ADE
≌△
CDF
∴
S
△
ADE
=S
△
CDF
同理可证：
S
△
CDE
=S
△
BDF
∴
．
例
4
、在△
ABC
中，请证明：
（
1
）若
AD
为角平分线，则
（
2
）设
D
是
BC
上一点，连接
AD
，若
分析：
如图，
，则
AD
为角平分线．
（
1
）由三角形的面积及底边联想到作三角形的高，作
DE
⊥
AB
于
E
，作
DF
⊥
AC
于
F
，
则
DE< br>=
DF
，即结论①成立；②由①结合△
ABD
与△
ACD是共高三角形，即可得到结论．
（
2
）逆用上述的思路即可证明结论成立．
证明：
（
1
）①如图，过
D
作
DE
⊥
AB
于
E
，作
DF
⊥
AC
于
F
．
∵
AD
为角平分线，∴
DE
=
DF
∴
．
②如图，过< br>A
作
AH
⊥
BC
于
H
，
则
S
△
ABD
=
BD·
AH
，
S
△
ACD
=
CD
·
AH
，
∴
结合①有
（
2
）作
DE
⊥
AB
于
E
，
DF
⊥
AC
于
F
．
∵
．
∴
DE
︰
DF
=1
，即
DE
=
DF
∴
AD
为△
ABC
的角平分线．
三、练习题：
选择题
１．如图１，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＤ＝∠Ｃ ＡＤ，ＡＢ＝６，ＢＤ＝４，ＡＤ＝３，则
ＣＤ等于（
）
（Ａ）６
（Ｂ）４
（Ｃ）３
（Ｄ）５
２．如图２，△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ，∠ＢＡＣ＝８５°，∠Ｂ＝６５°，则∠ＣＡＤ度数为（
）
（Ａ）８５°
（Ｂ）６５°
（Ｃ）４０°
（Ｄ）３０°
３．
如图３，
ＡＣ、
ＢＤ相交于点Ｏ，
ＯＡ＝ＯＣ，
ＯＢ＝ＯＤ，
则图中 全等三角形有
（
）
（Ａ）２对
（Ｂ）３对
（Ｃ）４对
（Ｄ）５对
B
A
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｏ
Ｃ
Ｄ
Ａ
D
图
1
C
图
3
Ｂ
图
2
Ｃ
４．如图４，点Ｄ、Ｅ在线段ＢＣ上 ，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，ＢＥ＝ＣＤ，要判定△Ａ
ＢＤ≌△ＡＣＥ，较为快捷的方法为（
）
（Ａ）
SSS
（Ｂ）
SAS
（Ｃ）
ASA
（Ｄ）
AAS
５．根据下列条件，能唯一画出△ＡＢＣ的是（
）
（Ａ）ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＣ＝８
（Ｂ）ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，∠Ａ＝３０°
（Ｃ）∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝４５°，ＡＢ＝４
（Ｄ）∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝６
６．
如图５，
等边△ＡＢＣ中，< br>ＢＤ
=
ＣＥ，
ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，
则∠ＡＰＥ的度数为
（< br>
）
．
（Ａ）７０°
（Ｂ）６０°
（Ｃ）４０°
（Ｄ）３０°
参考答案：
BDCACB
填空题
７
．
如图
６，
ＡＣ
＝ＡＤ
，
ＢＣ
＝Ｂ
Ｄ，
则△Ａ
Ｂ
Ｃ
≌
；
应用
的
识别
方法
是
．
８．如图７，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，则∠ＢＡＤ的对应角为
．
９．
已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，
Ｄ Ｅ⊥ＡＢ于Ｅ，
且ＤＥ＝３
cm
，
则点Ｄ到ＡＣ的距
离为
．
１０．如图８，ＡＢ与ＣＤ交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＯＤ＝
，
根据
可得△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，从而可以得到ＡＤ＝
．
１１．如图９，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＤＢ，欲使ＯＢ＝ＯＣ， 可以先利用“ＨＬ”说
明
≌
得到ＡＢ＝ＤＣ，再利用“
”证明△
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
Ｐ
Ｂ
Ｄ
图
5
Ａ
Ａ
Ａ
图
6
Ｃ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
图
4
ＡＯＢ≌
得到ＯＢ＝ＯＣ．
１２．
如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，
那么这两个三角形< br>的第三边所对的角的关系是
．
参考答案
：
7.
△
ABD
SSS
8.
∠
ABC
9.3cm
10.
∠
COB
SAS
BC
11.
△
ACB ,
△
DBC
SAS
△
DOC
12.
相等
解答题：
13.
如图， 已知
AE
⊥
AD
，
AF
⊥
AB
，
AF=AB
，
AE=AD=BC
，
AD//BC.
D
C
D
O
A
图
7
B
C
图
8
B
A
O
D
A
B
图
9
C
求证：（
1< br>）
AC=EF
，（
2
）
AC
⊥
EF
14.
如图所示，
BE
、
CF
是△
ABC
的高，
BE
、
CF
相交于
O
，
且
OA平分∠
BAC
.
求证：
OB
=
OC
.
参考答案：
13
解：分析：
（
1
）要证
AC=EF
，可证△
ABC
≌△
FAE
，而
BC=AE
，
AB=AF
，所以只需证明∠
B=
∠
EAF
即可
.
（
2
）要证
AC
⊥
EF
，若延长
CA
交EF
于
G
，可证∠
2=90
°，
而∠
3
＋∠
1=
∠
2＋∠
F
，而由（
1
）得∠
1=
∠
F.
所以∠
2=
∠
3
，而∠
3=90
°
于是可证明∠
2=90
°
证明：（
1
）∵
AD//BC
，∴∠
B
＋∠
DAB=180
°
又∵∠
DAB
＋∠
4
＋∠
EAF
＋∠
3= 360
°，∠
3=
∠
4=90
°
∴∠
DAB
＋∠
EAF=180
°
∴∠
B=
∠
EAF
在△
ABC
和△
FAE
中
∴△
ABC
≌△
FAE
（
SAS
）
∴
AC=EF
（
2
）∵△
ABC
≌△
FAE
∴∠
1=
∠
F
又∵∠
1
＋∠
3=
∠
2
＋∠
F
∴∠
2=
∠
3
又∵∠
3=90
°
∴∠
2=90
°
∴
AG
⊥
EF
，即
AC
⊥
EF
14.
解答，分析：要证
OB
=
OC
，需证△
BOF
≌△
COE
，条件有对顶角，直角，又
OA
是角平
分线，不难证< br>OF
=
OE
，此问题得证
.
证明：因为
BE
⊥
AC
，
AB
⊥
CF
（已知），
所以∠
BFO
=
∠
CEO
=90
°（垂 直定义）
.
又因为
BE
、
CF
相交 于
O
，且
OA
平分∠
BAC
，
所以
OF
=
OE
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
.
在△
BOF
和△
COE
中，
所以△
BOF
≌△
COE
（
ASA< br>），所以
OB
=
OC
（全等三角形的对应边相等）
.
第二部分
轴对称
知识梳理
一、轴对称图形：（理解掌握）
1.
把一个图形沿着一条直线折叠，如果 直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫
做
轴对称图形。
这条直线就是它的对 称轴
。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对
称。
2.
把一个图形沿着某一条直线折叠，
如果它能与
另一个图形
完全重合，
那么就说这两个图
关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点
,
叫做对称点
3
、轴对称图形和轴对称的区别与联系
知识回顾：
3
、
轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称 图形
A
轴对称
A
'
图形
B
A
C
B
C
C'
B'
区别
(1)
轴对称图形是指
(
)
一个
具
有特殊形状的图形
,
只对
( )
图形而言
;
一个
(2)
对称轴
( )
不 一定
只有一条
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分
,
那么这两个图 形
就关于这条直线成轴对称
.
(1)
轴对称是指
( )
两个
图形
的位置关系
,
必须涉及
( )
两个
图形
;
(2)
只有
( )
一条对称轴
.
如果把两个成轴对称的图形
拼在一起看成一个整体
,
那
么它就是一个轴对称图形
.
联系
4.
轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图 形关于某条直线对称，
那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线 对
称。
二、
线段的垂直平分线（理解掌握，能熟练应用）
1.
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中
垂线。
2.
线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
在平面直角坐标系中，关于
x轴对称的点横坐标相等
,
纵坐标互为相反数
.
关于
y
轴 对称的点
横坐标互为相反数
,
纵坐标相等
.
点（
x, y
）关于
x
轴对称的点的坐标为
______.
点（
x, y
）关于
y
轴对称的点的坐标为
______.
2.
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形
)
知识点回顾
1.
等腰三角形的性质
①
.
等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②< br>.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
2
、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1
.
等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于
60
0
。
2
、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是
60
0
的等腰三角形是等边三角形。
3.< br>在直角三角形中，如果一个锐角等于
30
0
，那么它所对的直角边等于斜边的一 半。
经典例题分析
例
1
、
如图，△
ABC
为等边三角形，
AE=CD
，
AD
、
BE< br>相交于点
P
，
BQ
⊥
AD
于
Q
，< br>PQ=3
，
PE=1
．求
AD
的长．
< br>分析
：
由已知条件易知△
ABE
≌△
CAD
，从而< br>
AD=BE
，只须求
BP
长即可，由
BQ
⊥
AD
知，
若在
Rt
△
BPQ
中有∠
PBQ
＝
30
°，
就可求出
BP
的长，
于是求证∠
BP Q
＝
60
°为问题的突破口．
证明：∵△
ABC
为等边三角形，
∴∠
BAC=
∠
C=60
°，
AB=AC
．
又
AE=CD
，∴△
ABE
≌△
CAD
，
∴∠
ABE=
∠
CAD
，
BE=AD
，
∴∠
BPQ=
∠
BAP
＋∠
ABE=
∠
BAP
＋∠
PAE=
∠
BAC=60
°，
∴∠
PBQ=30
°．
又
BQ
⊥
PQ
，∴
PB=2PQ=6
，
∴
BE=PB
＋
PE=7
，
∴
AD=BE=7
．
例
2
、如图，已知△
ABC
中，
AB=AC
，
AB
、
A C
的垂直平分线
DF
、
EG
分别交
BC
、
CB
的延
长线于
F
、
G
．求证：∠
1=
∠
2
．
分析：
遇到线段垂直平分线和等腰三角形，
首先考虑运用等腰三角形的性质和线段垂直平分
线的性质，寻求最简捷的解题途径．
证明：
因为
AB=AC
，所以∠
4=
∠
5
．
因为
DF
、
EG
分别为AB
、
AC
的垂直平分线，
所以
AF=BF
，
AG=CG
，
所以∠
1
＋∠
3=
∠
5
，∠
2
＋∠
3=
∠
4
．
所以∠
1
＋∠
3=
∠
2
＋∠
3
．
所以∠
1=
∠
2
．
例
3
、如图，在△
ABC
中，
AB=AC
，过BC
上一点
D
作
BC
的垂线，交
BA
的延长线 于
P
，
交
AC
于
Q
．判断△
APQ
的形状，并证明你的结论．
解：
△
APQ
是等腰三角形．证明如下：
因为
AB=AC
，所以∠
B=
∠
C
．
因为
PD
⊥
BC
，所以∠
P
＋∠
B=90
°，∠
2
＋∠
C=90
°，
所以∠
P=
∠
2
．
又因为∠
1=
∠
2
，所以∠
P=
∠1
．
所以
AP=AQ
．
所以△
APQ
为等腰三角形．
三、练习题
< br>1.
等腰三角形的一边等于
5
，一边等于
12
，则它的周长为
(
)
A.22
B.29
C.22
或
29
D.17
2.
如图
14
－
110
所示，图中不是 轴对称图形的是
(
)
3.
在 △
ABC
中，∠
A
和∠
B
的度数如下，其中能判定△
ABC
是等腰三角形的是
(
)
A.
∠
A=50
°，∠
B=70
°
C.
∠
A=30
°，∠
B=90
°
B.
∠
A=70
°，∠
B=40
°
D.
∠
A=80
°，∠
B=60
°
4.
如图
14-111
所示，
在△
ABC
中，
AB=A C
，
BD
是角平分线，
若∠
BDC=69
°，
则∠
A
等于
(
)
A.32
°
B.36
°
C.48
°
D.52
°
5.
成轴对称的两个图形的对应角
，对应线段
.
6.
等边三角形是轴对称图形，它有
条对称轴
.
7.
等腰三角形顶角的
与底边上的
、
重合，称三线合一
.
8.
（
1
）等腰三角形的一个内角等 于
130
°，则其余两个角分别为
；
（
2
）等腰三角形的一个内角等于
70
°，则其余两个角分别为
.
9.
如图
14
－
112
所示，△
ABC
是 等边三角形，∠
1=
∠
2=
∠
3
，求∠
BEC的度数
.
10.
如图
14
－
113
所示，在△
ABC
中，
AB=AC
，
E
在
CA< br>延长线上，
AE=AF
，
AD
是高，试
判断
EF与
BC
的位置关系，并说明理由
.