十 一笔画和迷宫
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2021年01月28日 01:17
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十
一笔画和迷宫
1
．一笔画
(1)
一笔画就是指能一笔画成 的图形。注意，这里要求：①下笔后笔不能离
开纸；②每条线都只能画一次而不许重复；③画时，任何两 条线不许交叉而过。
下面两图都是一笔画，
其中右图是一种较特殊的一笔画，
它最后又 画回到起始点。
下面几个图形，你能一笔画成吗？
(2)
一笔画问题是由十八世纪的大数学家欧拉提出并解决的 。原苏联有个城
市加里宁格勒，
旧称哥尼斯堡，
城中有一条河，
河上有两个岛 ，
两岸与两岛之间
共架有七座桥
(
下图
)
。
当时的 居民热衷于讨论这样一个问题：
一个散步者怎样才
能不重复地一次走遍所有的七座桥，
而回到出发点？这个问题似乎不难，
所以谁
都愿意试一试，
但结果谁也下不了结论。< br>问题提到了欧拉那里。
千百人的失败使
欧拉想到，
也许那样的走法根本就不存在 。
后来，
他用数学方法证实了自己的猜
想。欧拉把七桥问题中的岛
A
、
C
，陆地
B
、
D
当作
4
个点，于是上图 就变成了下
图。
七桥问题也就变成了能否一笔画出下图的问题。
经过欧拉的研究，终于找到
了鉴别一个图形能否一笔画成的简便方法。
下面就简要地介绍一下这个方法的基< br>本思想。
可以想象，
凡是一笔画 ，
一定有一个起点、
一个终点，
还有一些其他的中间
点。
起点可以由 几条线汇合，
但是画图时，
总是先从它画出去，
然后进来出去几
次
(
进出一次，
得到两条线：
进来是一条线，
出去也是一条线
)
，
而最后一次是出
去的，所以集中在起点的线只能是一条、三条、五条，„„，即是奇数条。终 点
是先画进去，
然后出去进来几次，
而最后一次是进来的，
所以集中在终点的 线也
只能是奇数条。
至于中间各点，
则应是进去出来的次数相等，
即每一点上 都只能
有偶数条线。
如果起点与终点重合，
即最后又画回到起点，
那么所有的 点上就都
有偶数条的线了。
这样一分析就可以知道，
能一笔画的图形，
其中有 奇数条线的
顶点的个数只能是
0
或
2
。
上图中有
4
个顶点，
每个顶点都有奇数条线，
因此它不能 一笔画，
也就是要
不重复地一次走遍哥尼斯堡七桥是不可能的。
现在请你想一想：
①
在七桥问题中，如果 允许你再架一座桥，那么你能否不重复地一次走遍
这八座桥？这座桥应架在哪里？
②
下图中哪些能一笔画？哪些不能一笔画？能一笔画的，怎样画？
(3)
下图是两个花园的平面图，其中有不少小路，你能分别走遍这两个花园
的小路，而线路既不重复又不交叉吗？
(4)
下 图表示一座彩牌，它是用一根彩绳扎成的，且线路没有一处重复。试
问这彩绳从哪里开始，到哪里结束？ 中间的线路又是怎样的
(
允许线路交叉
)
？
(5)
有座房屋，沿街有甲、乙两扇门，里面每间房间又各有两扇门，小李从
甲门进去，欲通过每个房间一次，然后从乙门出来，能做到吗？
(6 )
下左图是一个展览馆的平面图，每个房间都有一扇门通往馆外，每相邻
两个房间之间各有一门 相通。
能不能无重复地一次穿过每一扇门？如能，
请画出
它的行进路线；如不能，关闭 哪扇门后，就能无重复地一次穿过每一扇门了？
(7)一个邮递员送信件的街道如上右图所示。如果每一小段街道长
1
千米，
那么他从邮 局出发，走遍所有街道，再回到邮局，最少要走多少千米路？
2
．迷宫
迷宫
(
也叫迷阵
)
游戏流行于世界各国。
国外著名的有英国伦敦汉普顿公园中
的汉普顿迷宫
(
下左图
)
，
法国凡尔赛迷宫
(
下右图
)
等 。
我国著名古典小说
《三国
演义》中有这么一段故事：东吴大将陆逊大败刘备蜀军。直 追至长江边上
(
据考
证，在今四川奉节市城东约一千米的大江边
)
， 只见乱石八、九十堆，其间隐藏
杀气。陆逊进入石阵，只见“飞沙走石，遮天盖地，怪石嵯峨，横沙立土 ，重叠
如山；„„”他要想回去，竟无路可走。幸有一老者指引，才得脱身。这就是诸
葛亮布下 的“八阵图”。实际上这也就是一个迷阵。
苏州著名园林狮 子林，
它的主体是一座曲折盘旋的假山，
你如不熟悉它的路
径，
走来兜去，< br>会在原地转圈子。
这是一座典型的中国庭园迷宫。
它建于元代至
正二年
(
公元
1342
年
)
，比汉普顿迷宫还早三百年呢！
要走通迷阵，
一般可用下面的方法
(
有时可能要多走一 些路，
但总能走得通
)
：
(1)
走到死路，马上折回。
(2)
走到交叉口做个记号，向另一条新路走。
(3)
走到已做记号的交叉口，可作如下处理：
①
如果来路只走过一回，就沿原路折回；
②
如果来路是走过两回的，则沿未曾走过的路前进；
③
如果来路是走过两回的，而未曾走过的路又没有，则沿只走过一回的路
前进。
因为对于任何一个图形，
只要每条线重复画两次，
就可以一笔画 成，
所以上
面这样的走法总可以走到迷宫的任何一个角落，包括所要去的地点。
下面一些迷宫，请你试着来走一走。
(1)
视察油田
一个小组要视察下图所示的油田。
他们从进口处进 去，
从出口
处出来，一路上要视察遍所有的宿营地和各座油井，所走的路线要无一处重复。你知道他们是怎样走的吗？
(2)
参观展览会
科技展览馆展出新型电脑，
一位青年技术员前去 学习。
下图
是展览馆以及周围地区的地图。他应怎样走才能进入展览馆？
(3)
游园会
甲、
乙、
丙三人去参 加游园会，
如下图。
他们分别从三个入口处
进去，不能重复走别人走过的路，各该怎样 走？
(4)
牛栏的门
下面的牛 栏中共有
36
扇门。晚上，牛的主人只要堵住了一扇
门，两头牛就无法跑出来了。请你 仔细观察，应堵住几号门呢？
(5)
火柴棒迷宫
下图是用火柴摆成的迷宫，沿火柴棒由
B
到
A
，规定火柴首
尾相接的才能通行。而两头或两尾相接的不能通行，那么该怎么走 呢？
(6)
走向平顶台
下图是一个立体的迷宫。
有人要从最下面到平顶台上去乘直
升飞机，但他只能一阶一阶地往 上走或往下走，不能跳越。他应该怎样走？
(7)
修水箱
楼顶上的水箱坏了，
修理工要从底楼走到屋顶上去修 理。
他该怎
么走？