平均值不等式公式四个
余年寄山水
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2021年01月28日 03:11
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平均值不等式公式四个
均值不等式公式
对于两个数
a,b
他们的调和平均
,
算术平均
,
平方平
均
,
几何平均分别是什么
?
这
4
个平均之间的关系是什么
? (a,b
的平方
平均是√
(ab)
还是
2*
√
(ab),
还有对于三个数
a ,b,c
的平方平均是
三次
根号下
(abc)
还是
3*
三次根号下
(abc) )
写错了最下面的不是平方平均
是几何平均
平方平均
>=
算 术平均
>=
几何平均
>=
调和平均
举个三个数的例子
,
即：
[
√
(a^2+b^2+c^2)]/3
>=
(a+b+c)/3
>=
三
次
根
号
下
(abc) >=3/[(1/a)+(1/b)+(1/c)]
这个公式就背吧
,
很有用的
.
此外关于均值不等式的证明 方法有很多，
例如数学归纳法
（第一数学
归纳法或反向归纳法）
、拉格朗日乘 数法、琴生不等式法、排序不等
式法、柯西不等式法等等，
都可以证明均值不等式，在这里简要 介绍
数学归纳法的证明方法：
（注：在此证明的，是对
n
维形式的 均值
不等式的证明方法。
）
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引
理：设
A
≥< br>0
，
B
≥
0
，则
，且仅当
B=0
时取等号。
注：引理的正确性
较明显，条 件
A
≥
0
，
B
≥
0
可以弱化为
A
≥
0
，
A+B
≥
0
，有兴趣的同学可
以想 想如何证明
（用数学归纳法）
（或用二项展开公式更为简便）
。
原
题等价于：
,
当且仅当时取等号。
当
n=2
时易证；
假设当
n=k
时
命题成立，即
,
当 且仅当时取等号。那么当
n=k+1
时，不妨设是中
最大者，
则
设
，
，
根据引理
，
当且仅当
且
时，
即时取等号。
值得一提的是利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，
同