高中数学专题讲义-导数的概念与几何意义
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2021年01月28日 03:14
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.
导数的概念
与几何意义
知识内容
1
．函数的平均变化率：
一般地， 已知函数
y
f
(
x
)
，
x
0< br>，
x
1
是其定义域内不同的两点，记
x
x
1
x
0
，
y
y
1
y
0
f
(
x
1
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
，
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
y
则当
x
0
时，
商
称作函数
y
f
(
x
)
在区间
[
x
0
,x
0
x
]
（或
[
x
0< br>
x
,
x
0
]
）的
x
x
平均变化率．
注：这里
x
，
y
可为正值，也可为负值．但
x
< br>0
，
y
可以为
0
．
2
．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数
y
f
(
x
)
在
x
0
附近有定义，当自变量在
x
x
0
附近改变量为
x
时，函数值相应的改 变
y
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
．
y
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
如果当
x
趋近于
0
时，
平均变化率
趋近于一个常数
l
（也就是说平均变化率
x
x
与某个常数
l
的差的绝对值越 来越小，
可以小于任意小的正数）
，
那么常数
l
称为函数
f
(
x
)
在点
x
0
的
瞬时变化率．
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
“
当
x
趋近于零时，
趋近于常数
l
”
可以用符号
“
”
记作：
x
f
(
x
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
“
当
x
0
时，
0
或记作“
lim
符号
“
”
读作
“
趋近于< br>”
．
l
”
，
l
”< br>，
x
0
x
x
函数 在
x
0
的瞬时变化率，通常称为
f
(
x
)
在
x
x
0
处的导数，并记作
f
(x
0
)
．
这时又称
f
(
x
)
在
x
x
0
处是可导的．于是上述变化过程，可以记作< br>
f
(
x
0
x
)
< br>f
(
x
0
)
f
(
x
0
< br>
x
)
f
(
x
0
)
“< br>当
x
0
时，
f
(
x
0
)
”
或
“
lim
f
(
x
0
)
”
．
x
0
x
x
3
．可导与导函数：
如果
f
(
x
)在开区间
(
a
,
b
)
内每一点都是可导的，
则 称
f
(
x
)
在区间
(
a
,
b)
可导．
这样，
对开区间
(
a
,
b
)
内每个值
x
，都对应一个确定的导数
f
(x
)
．于是，在区间
(
a
,
b
)
内，
f
(
x
)
构成一个新的函数，我
们把这个函数称 为函数
y
f
(
x
)
的导函数．记为
f< br>
(
x
)
或
y
（或
y
x
）
．
导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．
4
．导数的几何意义：
设
函
数
y
f
(
x
)
的
图
象
如
图所
示
．
AB
为
过
点
A
(
x< br>0
,
f
(
x
0
))
与
B
(
x
0
x
,
f
(
x
0
x
))
的
一
条
割
线
．
由
此
割
线
的
斜
率
是
y
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
，
可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化
x
x
率．当点
B
沿曲线趋近于点
A
时，割线
AB
绕点
A
转动，它的最终
位置为直线
AD
，这条直线
AD
叫做此曲线过点
A
的切线，即
y
D
B
C
A
O
x
x
0
x
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
切线
AD
的斜率．
x
0
x
由导数意义可知，曲线
y
f
(
x
)
过点
(
x
0,
f
(
x
0
))
的切线的斜率等于
f
(
x
0
)
．
lim
典例分析
题型一：极限与导数
【例
1
】
正三棱锥相邻两侧面所成的角为
，则
的取值范围是（
）
A
．
(0
，
180
)
B
．
(0
，
60
)
C
．
(60
，
90
)
D
．
(60
，
180
)
在正
n
棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（
）
A
．
n
1
n
2
n
1
π
n
2
π
，
π
B
．
π
，
π
C
．
0
，
D
．
π
，
π
n
n
n
2
n
【例
2
】
【例
3
】
π
2
A
．
sin(sin
)
cos
< br>
cos(cos
)
B
．
sin(sin
)
cos
cos(cos
)
对于任意
0
，
都有（
）
C
．
sin(cos
)
cos
cos(sin
)< br>
D
．
sin(sin
)
cos
cos(sin
)
【例
4
】
若
lim
x
0
f
(
x
)
f
(2
x
)
1
，则
lim
________
．
x
0
x
x
f
(
x
1)f
(2
2
x
)
1
，则
l im
_______
．
x
1
x
1
x
1
f
x
0
x
f
x
0
3
x
【例
5
】
若
lim
x
1
【例
6
】
等于（
）
x
A
．
2
f
x
0
B
．
f
x
0
C
．
3
f
x
0
D
．
4
f
x
0
x
0
设
f
(
x
)
在
x
0
可导，则
lim
【例
7
】
f
(
x
0
2
x
)
f
(
x
0
)
1
，则
f
(
x
0
)
等于（
）
x
0
3
x
2
3
A
．
B
．
C
．
3
D
．
2
3
2
若
lim
【例
8
】
f
(
x
a
x
)
f(
x
b
x
)
．
（
）
x
0
x
A
．
f
(
x
)
B
．
(
a
b
)
f
(
x
)
C
．
(
a
b
)
f
(
x
)
D
．
f
(
x
)
设
f
(
x
)
在
x
处可导，
a
，
b为非零常数，则
lim
【例
9
】
设
f
(3)
4
，则
lim
h
0
A
．
1
f
(3
h
)
f
(3)
（
）
2
h
B
．
2
C
．
3
D
．
1
【例
10
】
若
f
(
a
)
2
，则当
h
无限趋近于
0
时，
f< br>(
a
h
)
f
(
a
)< br>
______
．
2
h
【例
11
】
已知函数
f
(
x
)
x
8
x
2
，则
lim
x
0
f
(1
2
x
)< br>
f
(1)
的值为
．
x
【例
12
】
已知
f
(
x
)
1
f
(2
x
)
f< br>(2)
，则
lim
的值是（
）
x
0
x
x
1
1
A
．
B
．
2
C
．
D
．
2
4
4
2
【例
13
】
若
f
(
x
1)
f
(1)
2
x
x
， 则
f
(1)
_______
．
< br>[
f
(
x
0
x
)]
2
[
f
(
x
0
)]
2
【例
14
】
已知函数
f
(
x
)
在
x
x
0
处可导，则
lim
（
）
x
0
x
A
．
f
(
x
0
)
B
．
f
(
x
0
)
C
．
[
f
(
x
0
) ]
2
D
．
2
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
3
n
2
【例
15
】
计算
lim
________
．
n
4
n
3
n
2
2
n
【例
16
】
lim
_______
．
n
2
n
2
3
*
【例
17
】
将直线
l
2
:< br>nx
y
n
0
、
l
3
:
x
ny
n
0
（
n
N
，
n
≥
2
）
x
轴、
y
轴围成的封闭图形的面积
记为
S
n
，则
lim
S
n
．
n
【例
18
】
lim
1
n< br>
A
．
5
3
1
1
1
2
L
n
3
3
3
3
B
．
2
（
）
C
．
2
D
．
不存在
【例
19
】
如图 ，在半径为
r
的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接
正六边形，如此无限继续下去．设
S
n
为前
n
个圆的面积之和，则< br>lim
S
n
（
）
n
r
O
8
A
．
2
π
r
2
B
．
π
r
2
C
．
4
π
r
2
D
．
6
π
r
2
3
【例
20
】
lim
x
< br>1
1
2
______< br>．
2
2
x
3
x
2< br>x
4
x
3
1
n< br>(
n
a
n
)
1
，则 常数
a
_______
．
【例
21
】
若
lim
n
【例
22
】
lim
x
π
(< br>x
π
)cos
x
x
π
_____
．
【例
23
】
lim
1
2
3
L
n
_________
n
n
2
1
2
________
．
x
x
(
x
2)
【例
24
】
lim
x
0
【例
25
】
lim
x
1
__________
．
x
1
x
2
3
x
4
【例
26
】
lim
x
< br>2
1
4
（
）
2
x
4
x
2
1
1
A
．
1
B
．
C
．
4
4
D
．
1
【例
27
】
lim
x
1
x
x
x
．
x
1
【例
28
】
设函数< br>f
(
x
)
a
1
sin
x
a
2
sin
2
x
L
an
sin
nx
，其中
a
1
，
a
2，
L
，
a
n
R
，
n
N
，已知对一切
x
R
，有
f
(< br>x
)
≤
sin
x
和
lim
sin
x
1
，求证：
a
1
2
a
2
L
na
n
≤
1
．
x
0
x
【例
29
】
如图，函数
f
(
x
)
的图象是折线段
ABC
，其 中
A
，
B
，
C
的坐标分别为
(0
，
4)
，
(2
，
0)
，
(6
，
4)
，则
f
(
f
(0))
；函数
f
(
x
)
在
x
1
处的导数
f
(1)
．
y
4
3
2
1
A
C
O
B
1
2
3
4
5
6
x
【例
30
】
如图，
函数
f
(
x
)
的图象是折线段
ABC
，
其中
A
，
B< br>，
C
的坐标分别为
0
，
4
，< br>
2
，
0
，
6
，
4< br>
，
则
f
(
f
(0))
；
lim
y
4
3
2
1
x
0
f
(1
x
)
f
(1)
（用数字作答 ）
．
x
A
C
O
B
1
2
3
4
5
6
x
y
y
）
y
【例
31
】
下列哪个图象表示的函数在
x
1
点处是可导的（
y
O
1
x
O
1
x
O
1
x
O
1
x
A.
B.
2
C.
D.
【例
32
】
函数
f
(
x
)
2
x
1
在闭区间
[1
，
1
x
]
内的平均变化率为（
）
A
．
1
2
x
B
．
2
x
C
．
3
2
x
D
．
4
2
x
x
2
1
在
x
0
到
x
0
x
之间的平均变化率．
【例
33
】
求函数
y
【例
34
】
若函数
f
(
x
)< br>
2
，则当
x
1
时，函数的瞬时变化率 为（
）
x
A
．
1
B
．
1
C
．
2
D
．
2
2
【例
35
】
求函数
f
(< br>x
)
x
x
在
x
< br>
1
附近的平均变化率，在
x
1
处的瞬 时变化率与导数．
【例
36
】
求函数
f
(
x
)
x
2
x
在
x
1
附近的平均变化率，在
x
1
处的瞬时变 化率与导数．
3
【例
37
】
已知某 物体的运动方程是
s
9
t
1
3
t，则当
t
3
s
时的瞬时速度是
_______
．
9
【例
38
】
已知某物体的运 动方程是
s
2
t
3
2
t< br>2
，则
t
3
时的瞬时速度是
_______
．
2
t
【例
39
】
< br>已知物体的运动方程是
s
t
2
3
，则物 体在时刻
t
4
时的速度
v
____
， 加速度
a
．
t
【例
40
】
物体运动方程为
s
A
．
2
1
4
t
3
，则
t
2
时瞬时速度为（
）
4
B
．
4
C
．
6
D
．
8
【例
41
】
一质点做直线运动，由始点起经过
t
1
s
后的距离为
s
t
4
4
t
3
16
t
2
，
4
则速度为零的时刻是（
）
A
．
4s
末
B
．
8s
末
C
．
0s
与
8s
末
D
．
0s
，
4s
，
8s
末
【例
42
】
如果某物体做运动方程为
s
2(1
t
)
的直线运动
（
s
的单位 为
2
t
的单位为
s
）
m
，
，
那么 其在
1.2
s
末的瞬时速度为（
）
A
．
0.88
m/s
B
．
0.88
m/s
C
．
4.8
m/s
D
．
4.8
m/s
【例
43
】
求
y
x
在
x
x
0
处的导数．
题型二：导数的几何意义
【例
44
】
已知曲线
y
x
1
5
上一点
A
2
，
，用斜率定义求：
x
2
⑴
过点
A
的切线的斜率；
⑵
过点
A
的切线方程．
【例
45
】
已知曲线
y
1
上 一点
A
(1
，
2)
，用斜率定义求：
x
⑴
过点
A
的切线的斜率；
⑵
过点
A
的切线方程．< br>
x
【例
46
】
函数
f
(
x
)
的图象如图所示，下列数值排序正确的是（< br>
）