高中数学选修公开课教案导数的几何意义
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2021年01月28日 03:15
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§
1
.
1
.
3
导
数
的
几
何
意
义
教学目标
1
．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2
．理解曲线的切线的概念；
3
．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道 ，
导数表示函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
x
0
处的瞬时变化率，
反映了
函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
x
0
附近的变
化情况，导数
f
(
x
0
)
的几 何意义是什么呢？
二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率
：如图
3.1-2
，当
P
n
(
x
n
,f
(
x
n
))(
n
1,
2,3,< br>4)
沿着曲线
f
(
x
)
趋
近于点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
))
时，割线
PP
n
的变化趋势是什么？
我
着曲< br>Δ
x
→
近于
确定
为曲
线
.
问题：
率
k
n
⑴
割线
PP
n
的
斜
与切线
PT
的斜率
图
3.1-2
什么关系？
⑵
切线
PT
的斜率
们发现
,
当点
P
n
沿
线无限接近点
P
即
0
时
,
割线PP
n
趋
确定的位置，这个
位置
的直线
PT
称
线在点
P
处的
切
k
有
k
为多少？
容易知道，割线
PP
n
的斜率是k
n
f
(
x
n
)
f(
x
0
)
,
当点
P
n
沿着曲线无限接 近点
P
时，
k
n
无限趋
x
n
x
0
近于切线
PT
的斜率
k
，即
k
lim
x
0
f
(
x
0
< br>
x
)
f
(
x
0
)
< br>f
(
x
0
)
x
说明 ：（
1
）
设切线的倾斜角为
α
,
那么当Δ
x
→
0
时
,
割线
PQ
的斜率
,
称为曲线在 点
P
处的切线的
斜率
.
这个概念
:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法
;
②切线斜率的本质—函数在
x
x
0
处的导数
.
（
2
）
曲线在某点处的切线
:1)
与该点的位置有关
;2)
要根据割线是否
有极限位置来判断与求解
.
如有极限
,则在此点有切线
,
且切线是唯一的
;
如不存在
,
则在此 点处无切线
;3)
曲线的切线
,
并不一
定与曲线只有一个交点
,
可以有多个
,
甚至可以
无穷多个
.
（二）导数的几何意义
：
函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
x
0
处的导数
等于在 该点
(
x
0
,
f
(
x
0
))处的切线的斜率，
即
f
(
x
0
)
lim
x
0
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
k
x
说明：
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤
:
①求出
P
点的坐标
;
②求出函数在点
x
0
处的变化率
f
(
x
0
)
lim
x
0
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
k
，得到曲线在点
x
(
x
0
,
f< br>(
x
0
))
的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程
.
（二）导函数
：
由函数f
(
x
)
在
x
=
x
0
处求导 数的过程可以看到
,
当时
,
f
(
x
0< br>)
是一个确定的数，
那么
,
当
x
变化时
,
便是
x
的一个函数
,
我们叫它为
f
(
x
)
的导函数
.
记作：
f
(
x
)
或
即
:
y
，
f
(
x
)
y
lim
x
0
f
(
x
x
)
f
(
x
)
x
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数f
(
x
)
在点
x
0
处的导数
f
(
x
0
)
、导函数
f
(
x
)
、导数
之间的区别与联系。
1
）函数在一点 处的导数
f
(
x
0
)
，就是在该点的函数的改变 量与自变量的改变量之
比的极限，它
是一个常数，不是变数。
2
）函数的导数，是指某一区间内任意点
x
而言的，
就是
函数
f(x)
的导函数
3
）函 数
f
(
x
)
在点
x
0
处的导
数< br>f
(
x
0
)
就是导函数
f
(x
)
在
x
x
0
处的函数值，这也是
求函数在
点
x
0
处的导数的方法之一。
三．典例分析
2
例
1:
（
1
）
求曲线
y
=
f
(
x
)=
x
+1
在 点
P
(1,2)
处的切线方程
.
2
（
2
）
求函数
y
=3
x
在点
(1,3)
处的导 数
.
'