平均变化率的概念及几何意义
巡山小妖精
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2021年01月28日 03:21
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布兰德符文-2007年高考作文
一对一辅导教案
学生姓名
授课教师
教学课题
性别
年级
学科
课时：
课时
上课时间
年
月
日
第（
）次课
共（
）次课
平均变化率的概念及几何意义；
1
．了解平均变化率的几何意义；
2
．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学目标
教学重点
与难点
教学过程
平均变化率的概念，导数的几何意义
教学过程
一、复习预习
问题
1
气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程
,
可以发现
,
随着气球内空气 容量的增加
,
气球的半径增加越来越慢
.
从数学角度
,
如何 描述这种现象呢
?
问题
2
高台跳水
在高台跳水运动 中
,
运动员相对于水面的高度
h
(
单位：
m
)与起跳后的时间
t
（单位：
s
）存在函数关系
h
(t
)=
-4.9
t
+6.5
t
+10.
如何 用运动员在某些时间段内的平均速
v
度粗略地描述其运动状态
?
2
二、知识讲解
本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析
考点
1
：
平均变化率概念
1
．上述问题中的变化率可用式子
f
(
x
2< br>)
f
(
x
1
)
表示
,
称为函数
f
(
x
)
从
x
1
到
x< br>2
的平均变化率
x
2
x
1
2< br>．若设
x
x
2
x
1
,
f
f
(
x
2
)
f
(
x
1
)
(
这里
x
看作 是对于
x
1
的一个“增量”可用
x
1
+
x
代替
x
2
,
同样
f
y
f
(
x
2
)
f
(x
1
)
)
3
．
则平均变化率为
f
(
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
1
x
)
f
(
x
1
)
y
f
x
x
x
2
x
1
x
考点
2
导数的概念
从 函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
x
0
处的瞬时变化率是
:
x
0
l im
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
f
lim< br>
x
0
x
x
'
'< br>我们称它为函数
y
f
(
x
)
在
x
x
0
出的导数，记作
f
(
x
0
)
或
y
|
x
x
0
，即
f
(
x
0
)
lim
x
0
f
(
x0
x
)
f
(
x
0)
x
f
(
x
)
f(
x
0
)
x
x
0
说明：
（
1
）导数即为函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
x
0
处的瞬时变化率
（
2
）
x
x
x
0
，当
x
0
时，
x
x
0
，所以
f
(
x
0
)
li m
考点
/3
导数的几何意义
函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
x
0
处的导数等于 在该点
(
x
0
,
f
(
x
0
))< br>处的切线的斜率
，
即
f
(
x
0
)
lim
x
0
x
0
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
k
x
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤
:
①求出
P
点的坐标
;
②求出函数在点
x
0
处的变化率
f
(
x
0
)
lim③利用点斜式求切线方程
.
x
0
f< br>(
x
0
x
)
f
(< br>x
0
)
得到曲线在点
(
x
0
,
f< br>(
x
0
))
的切线的斜率；
k
，
x
三、例题精析
【
例
题
1
】
已
知
函
数
f
(
x
) =
x
x
的
图
象
上
的
一
点
A
(
1
,
2
)
及
临
近
一
点
B
(
1
x
,
2
y
)
,
则
2
y
．
x
【答案】
3
x
【解析】
解：
2
y
(
1
x
)
(
1
x
)
，
2
y
(
1
x
)
2
(
1
x
)
2
3
x
∴
x
x
2
【例题
2
】
求
y
x
在< br>x
x
0
附近的平均变化率
【答案】
2
x
0
x
y
(
x
0
x
)
2
x
0
2
【解析】
解：
y
(
x
0
x
)
x
0
，所以
x
x
2
2
x
0< br>
2
x
0
x
x
2< br>
x
0
2
x
0
< br>x
x
2
2
2
< br>所以
y
x
在
x
x
0
附 近的平均变化率为
2
x
0
x
2【例题
3
】
求函数
y
=
3
x
在
x
=1
处的导数
.
【答案】
6
2
【解析】
：
先求
Δ
f
=
Δ
y
=
f
(
１＋Δ
x
)-
f
(
１
)=6
Δ
x
+(
Δ
x
)
再求
f
f
6
x
再求
lim
6
x
0
x
x
2
【例题
4
】
:
求曲线
y
=
f
(
x
)=
x
+1
在点
P
(1,2)
处的切线方程
.
【答案】
2
x
y
0
[(1
x
)
2
1]
(1
2
1)
2
x
x
2
lim
2
,
【解析】
y
|< br>x
1
lim
x
0
x
0
x
x
所以，所求切线的斜率 为
2
，因此，所求的切线方程为
y
2
2(x
1)
即
2
x
y
0< br>
四、课堂运用
【基础】
2
1.
求
y
2
x
1
在
x
0
到
x
0
x
之间的平均变化率，并求
x
0
1
，
x
1
时平均变化率的值
.
2
【解 析】
当变量从
x
0
变到
x
0
x
时，函数的平均变化率为
2
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
[2(
x
0
x
)
2
1]< br>
[2
x
0
1]
4
x
0
2
x
x
x
当
x
0
1
，
x
1
1
时，平均变化率的值为：
4
1
2
5
.
2
2
2.
求函数
y=5x
2
+6
在区间
[2
，
2+
x
]
内的平均变化率
【解析】
y
5(2
x
)
6
(5
2
6)
20
x
5
x
，
所以平均变化率为
【巩固】
1.
自由落体运动的运动方程为
s
移
s
的单位为
m
）
。
【解析】
要求平均速度，就是求
2
2
2
y
20
5
x
x
1
2
gt
，计算
t
从
3s
到
3.1s
，
3.01s
，
3.001s< br>各段内的平均速度（位
2
s
的值，为此需求出
s
、
t
。
t
设在
[3
，
3.1]
内的平均速度为
v
1
，则
t
1
3.1
3
0.1(s)
，< br>
s
1
s
(3.1)
s(3)
所以
v
1
1
1
g
3.1
2
g
3
2
0.3 05
g
(m)
。
2
2
s
1< br>0.305
g
3.05
g
(m / s)
。
t
1
0.1
s
2< br>0.03005
g
3.005
g
(m / s)
。
t
2
0.01
同理
v
2
v
3
s
3
0.003 0005
g
3.0005
g
(m / s)
。
t
3
0.001
2.
过曲线
y
f
(
x
)
x
上 两点
P
(1,1)
和
Q
(1
x
,1
y
)
作曲线的割线，求出当
x
0.1
时割线的斜率
.
【解析】
当
x
0.1
时
3
k
PQ
(1
y
)
1
y
f
(1
x
)
f(1)
(1
x
)
3
1
1.1
3
1
3.31
(1
x
)
1
x
x
x
0.1
……
【拔高】
1.
用导数的定义，求函数
y
f
(
x
)
1
在
x=1
处的导数
x
∵
y
f
(1
x
)
f
(1)
1
1
1
x
1
1
x
1
1
x
1
x
(1
1
x
)
1
x
x
(1
1
x
)
1
x
∴
y
1
x
(1
1
x
)
1
x
∴
f
'(1)
lim
y
1
。
x
0
x
2
f
(
x
2
)
3
2.
已知函数
f
(
x
)
可导，若
f
(1)
3
，
f
'(1)
3
，求
lim
x
1
x
1